- •Множини
- •Відображення
- •1.3. Бінарні відношення на множині
- •2.1. Принцип математичної індукції Аксіома математичної індукції
- •Узагальнення другої форми принципу математичної індукції
- •2.2. Підстановки
- •Основні алгебраїчні структури
- •3.1. Означення комплексного числа
- •3.2. Дії над комплексними числами
- •3.3. Піднесення до степеня і добування кореня
- •4.1. Поліноми від однієї змінної
- •Г) Найбільший спільний дільник
- •Д) Найменше спільне кратне
- •4.3.Поліноми над числовими полями
- •4.4. Поліноми від багатьох змінних
- •Б) Симетричні поліноми
- •5.1. Поняття матриці
- •5.2. Дії над матрицями
- •6.1. Визначники малих порядків
- •6.2. Поняття визначника n-го порядку
- •6.3. Властивості визначника n-го порядку
- •6.4. Обчислення визначників n-го порядку
- •7.1. Загальні поняття
- •7.2. Способи розв’язування систем лінійних рівнянь
- •7.3. Матрична форма запису системи лінійних рівнянь
- •8.1. Поняття векторного простору, його розмірність і базис
- •8.3. Підпростори векторного простору
- •8.4. Лінійні перетворення у векторному просторі
- •8.5. Власні вектори і власні значення лінійного перетворення а) Інваріантні підпростори
- •Звідси із лінійної незалежності векторів e1, e2, …, en випливає:
- •9.1. Поняття евклідового простору
- •9.2. Ортонормований базис
- •9.3. Лінійні перетворення в евклідовому просторі
- •Властивості:
- •10.1. Лінійна функція (форма)
- •10.2. Поняття білінійної та квадратичної функції
- •10.3. Зведення квадратичної форми до суми квадратів
- •10.4. Закон інерції квадратичних форм
- •10.5. Класифікація квадратичних форм
- •10.6. Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі
- •10.7. Зведення рівняння другого порядку до канонічного вигляду
- •Виконаємо лінійне перетворення
- •11.2. Зведення матриць до жорданової нормальної форми
- •Необхідна і достатня умова зведення матриць до діагонального вигляду
9.3. Лінійні перетворення в евклідовому просторі
а) Перетворення, спряжене до даного
Нехай – лінійне перетворення евклідового простору. Лінійне перетворення, для якого при всіхx, y V
(x, y) = (x, *y),
називається спряженим до .
Покажемо, що для кожного лінійного перетворення евклідового простору існує спряжене до нього перетворення, матриця якого в довільному ортонормованому базисі є транспонованою до матриці перетворення.
Нехай A=[aij] – матриця лінійного перетворення в орто-нормованому базисі e1, e2, …, en, А' – матриця, транспонована до А, – лінійне перетворення з матрицею А' в тому ж базисі. Тоді, очевидно,
(ei, ej) = (a1ie1 + a2ie2 + … + anien, ej) = aji,
(ei, *ej) = (ei, aj1e1 + aj2e2 + … + ajnen) = aji,
тобто для всіх
(ei, ej) = (ei, *ej).
Тоді, якщо x = x1e1 + x2e2 + … +xnen i y = y1e1 + y2e2 + … + ynen, то
(x, y) = (xiei, yjej) = xiyj(ei ej) i
(x,*y) = (xiei,*yjej) = xiyj(ei,*ej) = xiyj(ei ej) = (x, y),
тобто перетворення є спряженим до .
Властивості:
.
Доведення. (x, y) = (x, y) = (x, y) = (x, y).
.
Доведення. (x, y) = (x, *y) = (*y, x) = (y, (*)* x) = ((*)* x, y).
.
Доведення. (x, (+)*y) = ((+)x, y) = (x+x, y) = (x, y)+(x, y)=
= (x, *y) + (x, *y) = (x, (*+*)y).
4.
Доведення. (x, ()*y) = (()x, y) = ((x), y) = (x, *y) = = (x, *(*)y) = (x, ( **)y).
Якщо існує, то.
Доведення. .
б) Самоспряжені перетворення
Самоспряженим (симетричним) називається перетворення, яке співпадає зі своїм спряженим, тобто .
Якщо A – самоспряжене перетворення, то x,yV (x, y)=(x, y).
Якщо матрицею самоспряженого перетворення в орто-нормованому базисі є A=[aij], тоді A' = A, тобто aij = aji. Така матриця називається симетричною.
Властивості:
Тотожнє перетворення є самоспряженим.
Доведення. .
Сума самоспряжених перетворень є самоспряженим
перетворенням.
Доведення. .
Перетворення, обернене до невиродженого самоспряженого перетворення, є самоспряженим перетворенням.
Доведення. .
Добуток самоспряжених перетворень є самоспряженим перетворенням тоді і тільки тоді, коли ці перетворення переставні між собою.
Доведення.
а) якщо ,і, то, тобто.
б) якщо ,і, то, тобто –
самоспряжене перетворення.
Якщо підпростір інваріантний відносно лінійного перетворення, то його ортогональне доповненняінваріантне відносно спряженого доперетворення*.
Доведення.
Нехай х – довільний вектор із ,у – довільний вектор із .
Тоді (*x, y)=(x,y) = 0, оскільки y і, значить,хy. Значить, вектор *x, і є інваріантним відносно*.
Наслідок. Якщо – самоспряжене перетворення і– підпростір,
інваріантний відносно , то іінваріантний
відносно .
Всі корені характеристичного полінома самоспряженого перетворення дійсні(власні значення самоспряженого перетворення дійсні).
Доведення.
(x, х) = (λx, х), (x, х) = = (x, х).
Оскільки – самоспряжений, то (x, х) = (x, х), значить , тобто– дійсне.
7. Власні вектори, що відповідають різним власним значенням самоспряженого перетворення, ортогональні.
Доведення.
Нехай –власні значення самоспряженого оператора , ах1 та х2 – відповідні їм власні вектори. Тоді (x1,х2) = λ1(x1,х2), (x1,х2) = = λ2(x1,х2). Звідси (x1,х2) = (x1,х2 ), оскільки – самоспряжений. Тоді
(x1, х2) = 0 (x1, х2) = 0,
що й треба було довести.
Матриця самоспряженого перетворення в деякому орто- нормованому базисі зводиться до діагонального вигляду.
Доведення.
Нехай – одне із власних значень самоспряженого перетворення (дійсне). Відповідний власний вектор позначимо е1, тобто е1= λ1е1. Вектор е1 можна вважати одиничним, оскільки інакше його можна замінити одиничним власним вектором з тим же власним значенням .
Позначимо через одновимірний підпростір, породжений вектором е1. Його ортогональне доповнення буде інваріантним відносно. Нехай– (дійсне) власне значення перетворенняв підпросторі, відповідний (одиничний) власний вектор позначимо е2. Тоді е2=λ2е2. Нехай буде (інваріантним) підпростором, породженим векторами е1 і е2. Тоді підпростір теж інваріантний відносно. Продовжуючи цю побудову, ми знайдемопопарно ортогональних (значить, лінійно незалежних) одиничних власних векторів перетворення. В базисі, що складається із цих векторів, матриця А перетвореннязводиться до діагонального вигляду:
е1 = λ1е1,
е2 = λ2е2,
…………..
еn = λnеn,
звідки А = .
Геометрично самоспряжене лінійне перетворення зводиться до розтягів з коефіцієнтамивздовжкоординатних осей, спів-напрямлених зе1, е2, …, еn відповідно.
в) Ортогональні перетворення
Лінійне перетворення евклідового простору V називається ортогональним, якщо воно зберігає скалярний добуток векторів, тобто якщо x, y V(x, y) = (x, y).
Це означає , що ортогональне перетворення зберігає довжини векторів та кути між ними (тому ортогональні перетворення іноді називають ізометричними).
Ясно, що ортогональне перетворення переводить довільний ортонормований базис в ортонормований і навпаки.
Властивості:
1. *=, тобто*= -1.
Доведення.
Якщо – ортогональне перетворення і– спряжене до нього перетворення, тоx, y V (x, y) = (x, y) = (x, *(y)) = (x, *y). Значить, або. Із отриманих рівностей видно, щоортогональне перетворення завжди невироджене.
Перетворення, обернене до ортогонального, теж ортогональне.
Доведення.
Якщо , то.
Сума ортогональних перетворень, в загальному, не є ортогональним перетворенням.
Добуток ортогональних перетворень є ортогональним
перетворенням.
Доведення.
.
Матриця A, для якої A' = A-1, називається ортогональною матрицею.
Визначник ортогональної матриці дорівнює .
Доведення.
Із AA' = E випливає: AA'| = |A||A'| = |E| = 1.
Оскільки |A| = |A'| (транспонування не змінює визначника), то
|A|2 = 1 , звідки .
Власні значення ортогонального перетворення дорівнюють .
Доведення.
Якщо x – власний вектор і – відповідне йому власне значення ортогонального перетворення , то:
(x, x) = (x, x) = (λx, λx) = λ2(x, x),
звідки, оскільки (x, x) ≠ 0, отримуємо , і.
Якщо підпростір інваріантний відносно ортогонального перетворення, то його ортогональне доповненнятеж інваріантне відносно.
Доведення.
Із ортогональності перетворення випливає . Згідно властивості 5 пункту б підпростірінваріантний відносно перетворення. Але тоді цей підпростір інваріантний і відносно оберненого перетворення, тобто відносно.
Приклади
Нехай – ортогональне перетворення прямої іе. Тоді е і, значить, е = λе, де , тобто е = ±е. Це означає, що – або тотожнє перетворення, або центральна симетрія.
Нехай – ортогональне перетворення площини, і А – його матриця в деякому ортонормованому базисі. Тоді із А*А=Е, тобто
, отримаємо:
,
,
.
Для перших двох рівностей знайдуться такі і, що:
, ,,.
Тоді третя рівність дає , звідки випливає, щоабо.
В першому випадку , ,
і ми отримаємо: А,
тобто перетворення A – це поворот на кут α навколо початку координат.
В другому випадку ,, і А.
Ця матриця – симетрична, значить, ортогональне перетворення є і самоспряженим, тобто в деякому ортогональному базисі його матриця зводиться до діагонального вигляду:А, де .
Визначник цієї матриці повинен бути рівним:
,
значить імають різні знаки, тобто матриця перетворення зводиться до виглядуА. Це симетрія відносно прямої, яка визначається вектором е1 (першим вектором нового базису).
Таким чином, ортогональне перетворення площини – це або поворот навколо початку координат на деякий кут (зокрема, тотожнє перетворення або центральна симетрія – визначник цих перетворень дорівнює 1) абоосьова симетрія (визначник дорівнює -1).
Лекція 10. Білінійні і квадратичні функції (форми)