9.3. Лінійні перетворення в евклідовому просторі

а) Перетворення, спряжене до даного

Нехай – лінійне перетворення евклідового простору. Лінійне перетворення, для якого при всіхx, y V

(x, y) = (x, ^*y),

називається спряженим до .

Покажемо, що для кожного лінійного перетворення евклідового простору існує спряжене до нього перетворення, матриця якого в довільному ортонормованому базисі є транспонованою до матриці перетворення.

Нехай A=[a_ij] – матриця лінійного перетворення в орто-нормованому базисі e₁, e₂, …, e_n, А' – матриця, транспонована до А, – лінійне перетворення з матрицею А' в тому ж базисі. Тоді, очевидно,

(e_i, e_j) = (a_1ie₁ + a_2ie₂ + … + a_nie_n, e_j) = a_ji,

(e_i, *e_j) = (e_i, a_j1e₁ + a_j2e₂ + … + a_jne_n) = a_ji,

тобто для всіх

(e_i, e_j) = (e_i, *e_j).

Тоді, якщо x = x₁e₁ + x₂e₂ + … +x_ne_n i y = y₁e₁ + y₂e₂ + … + y_ne_n, то

(x, y) = (x_ie_i, y_je_j) = x_iy_j(e_i e_j) i

(x,*y) = (x_ie_i,*y_je_j) = x_iy_j(e_i,*e_j) = x_iy_j(e_i e_j) = (x, y),

тобто перетворення є спряженим до .

Властивості:

1. .

Доведення. (x, y) = (x, y) = (x, y) = (x, y).

2. .

Доведення. (x, y) = (x, *y) = (*y, x) = (y, (*)^* x) = ((*)^* x, y).

3. .

Доведення. (x, (+)*y) = ((+)x, y) = (x+x, y) = (x, y)+(x, y)=

= (x, *y) + (x, *y) = (x, (^*+*)y).

4.

Доведення. (x, ()*y) = (()x, y) = ((x), y) = (x, *y) = = (x, ^*(*)y) = (x, ( ^**)y).

5. Якщо існує, то.

Доведення. .

б) Самоспряжені перетворення

Самоспряженим (симетричним) називається перетворення, яке співпадає зі своїм спряженим, тобто .

Якщо A – самоспряжене перетворення, то x,yV (x, y)=(x, y).

Якщо матрицею самоспряженого перетворення в орто-нормованому базисі є A=[a_ij], тоді A' = A, тобто a_ij = a_ji. Така матриця називається симетричною.

Властивості:

1. Тотожнє перетворення є самоспряженим.

Доведення. .

2. Сума самоспряжених перетворень є самоспряженим

перетворенням.

Доведення. .

3. Перетворення, обернене до невиродженого самоспряженого перетворення, є самоспряженим перетворенням.

Доведення. .

4. Добуток самоспряжених перетворень є самоспряженим перетворенням тоді і тільки тоді, коли ці перетворення переставні між собою.

Доведення.

а) якщо ,і, то, тобто.

б) якщо ,і, то, тобто –

самоспряжене перетворення.

5. Якщо підпростір інваріантний відносно лінійного перетворення, то його ортогональне доповненняінваріантне відносно спряженого доперетворення^*.

Доведення.

Нехай х – довільний вектор із ,у – довільний вектор із .

Тоді (^*x, y)=(x,y) = 0, оскільки y і, значить,хy. Значить, вектор ^*x, і є інваріантним відносно^*.

Наслідок. Якщо – самоспряжене перетворення і– підпростір,

інваріантний відносно , то іінваріантний

відносно .

6. Всі корені характеристичного полінома самоспряженого перетворення дійсні(власні значення самоспряженого перетворення дійсні).

Доведення.

(x, х) = (λx, х), (x, х) = = (x, х).

Оскільки – самоспряжений, то (x, х) = (x, х), значить , тобто– дійсне.

7. Власні вектори, що відповідають різним власним значенням самоспряженого перетворення, ортогональні.

Доведення.

Нехай –власні значення самоспряженого оператора , ах₁ та х₂ – відповідні їм власні вектори. Тоді (x₁,х₂) = λ₁(x₁,х₂), (x₁,х₂) = = λ₂(x₁,х₂). Звідси (x₁,х₂) = (x₁,х₂ ), оскільки – самоспряжений. Тоді

(x₁, х₂) = 0 (x₁, х₂) = 0,

що й треба було довести.

8. Матриця самоспряженого перетворення в деякому орто- нормованому базисі зводиться до діагонального вигляду.

Доведення.

Нехай – одне із власних значень самоспряженого перетворення (дійсне). Відповідний власний вектор позначимо е₁, тобто е₁= λ₁е₁. Вектор е₁ можна вважати одиничним, оскільки інакше його можна замінити одиничним власним вектором з тим же власним значенням .

Позначимо через одновимірний підпростір, породжений вектором е₁. Його ортогональне доповнення буде інваріантним відносно. Нехай– (дійсне) власне значення перетворенняв підпросторі, відповідний (одиничний) власний вектор позначимо е₂. Тоді е₂=λ₂е₂. Нехай буде (інваріантним) підпростором, породженим векторами е₁ і е₂. Тоді підпростір теж інваріантний відносно. Продовжуючи цю побудову, ми знайдемопопарно ортогональних (значить, лінійно незалежних) одиничних власних векторів перетворення. В базисі, що складається із цих векторів, матриця А перетвореннязводиться до діагонального вигляду:

е₁ = λ₁е₁,

е₂ = λ₂е₂,

…………..

е_n = λ_nе_n,

звідки А = .

Геометрично самоспряжене лінійне перетворення зводиться до розтягів з коефіцієнтамивздовжкоординатних осей, спів-напрямлених зе₁, е₂, …, е_n відповідно.

в) Ортогональні перетворення

Лінійне перетворення евклідового простору V називається ортогональним, якщо воно зберігає скалярний добуток векторів, тобто якщо x, y V(x, y) = (x, y).

Це означає , що ортогональне перетворення зберігає довжини векторів та кути між ними (тому ортогональні перетворення іноді називають ізометричними).

Ясно, що ортогональне перетворення переводить довільний ортонормований базис в ортонормований і навпаки.

Властивості:

1. *=, тобто*= ^-1.

Доведення.

Якщо – ортогональне перетворення і– спряжене до нього перетворення, тоx, y V (x, y) = (x, y) = (x, ^*(y)) = (x, ^*y). Значить, або. Із отриманих рівностей видно, щоортогональне перетворення завжди невироджене.

2. Перетворення, обернене до ортогонального, теж ортогональне.

Доведення.

Якщо , то.

Сума ортогональних перетворень, в загальному, не є ортогональним перетворенням.

2. Добуток ортогональних перетворень є ортогональним

перетворенням.

Доведення.

.

Матриця A, для якої A' = A^-1, називається ортогональною матрицею.

2. Визначник ортогональної матриці дорівнює .

Доведення.

Із AA' = E випливає: AA'| = |A||A'| = |E| = 1.

Оскільки |A| = |A'| (транспонування не змінює визначника), то

|A|² = 1 , звідки .

2. Власні значення ортогонального перетворення дорівнюють .

Доведення.

Якщо x – власний вектор і – відповідне йому власне значення ортогонального перетворення , то:

(x, x) = (x, x) = (λx, λx) = λ²(x, x),

звідки, оскільки (x, x) ≠ 0, отримуємо , і.

2. Якщо підпростір інваріантний відносно ортогонального перетворення, то його ортогональне доповненнятеж інваріантне відносно.

Доведення.

Із ортогональності перетворення випливає . Згідно властивості 5 пункту б підпростірінваріантний відносно перетворення. Але тоді цей підпростір інваріантний і відносно оберненого перетворення, тобто відносно.

Приклади

1. Нехай – ортогональне перетворення прямої іе. Тоді е і, значить, е = λе, де , тобто е = ±е. Це означає, що – або тотожнє перетворення, або центральна симетрія.

2. Нехай – ортогональне перетворення площини, і А – його матриця в деякому ортонормованому базисі. Тоді із А*А=Е, тобто

, отримаємо:

,

,

.

Для перших двох рівностей знайдуться такі і, що:

, ,,.

Тоді третя рівність дає , звідки випливає, щоабо.

В першому випадку , ,

і ми отримаємо: А,

тобто перетворення A – це поворот на кут α навколо початку координат.

В другому випадку ,, і А.

Ця матриця – симетрична, значить, ортогональне перетворення є і самоспряженим, тобто в деякому ортогональному базисі його матриця зводиться до діагонального вигляду:А, де .

Визначник цієї матриці повинен бути рівним:

,

значить імають різні знаки, тобто матриця перетворення зводиться до виглядуА. Це симетрія відносно прямої, яка визначається вектором е₁ (першим вектором нового базису).

Таким чином, ортогональне перетворення площини – це або поворот навколо початку координат на деякий кут (зокрема, тотожнє перетворення або центральна симетрія – визначник цих перетворень дорівнює 1) абоосьова симетрія (визначник дорівнює -1).

Лекція 10. Білінійні і квадратичні функції (форми)