big_doc_LKG
.pdf
Формування вихідної інформації для аналізу і дослідження систем |
31 |
Теоретична функція розподілу повинна бути відомою з точністю до параметрів. Критичні значення статистики 
на рівні значимості 
наведені у табл. 1.7.
|
|
|
|
Таблиця 1.7 |
|
Критичні значення статистики |
при |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Вихідні умови |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Параметри |
та |
відомі заздалегідь (великі вибірки) |
|
0,4614 |
|
Параметр |
відомий, а параметр |
оцінюється за ви- |
|
|
|
біркою |
|
|
|
|
0,1653 |
|
|
|
|
|
|
Параметр |
відомий, а параметр |
оцінюється за ви- |
|
|
|
біркою |
|
|
|
|
0,4418 |
|
|
|
|
|
|
Параметри |
та |
оцінюються за вибіркою |
|
0,1260 |
|
Якщо 
, то гіпотеза про нормальність розподілу випадкової величини відхиляється.
Приклад 4. Для даних прикладу 3 перевірити нормальність розподілу заданої вибірки випадкової величини.
Розв’язок. Всі необхідні розрахунки проведені у табличному вигляді.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
–1.386 |
0,0823 |
0,1 |
–0,0177 |
0,0003 |
2 |
7 |
–1,018 |
0,1535 |
0,3 |
–0,1465 |
0,0215 |
3 |
8 |
–0,896 |
0,1841 |
0,5 |
–0,3159 |
0,0998 |
4 |
9 |
–0,773 |
0,2207 |
0,7 |
–0,4793 |
0,2297 |
5 |
12 |
–0,405 |
0,3446 |
0,9 |
–0,5554 |
0,3087 |
6 |
18 |
–0,331 |
0,6293 |
1,1 |
–0,4707 |
0,2215 |
7 |
19 |
–0,454 |
0,6753 |
1,3 |
–0,6247 |
0,3902 |
8 |
21 |
–0,699 |
0,7580 |
1,5 |
–0,7420 |
0,5506 |
9 |
25 |
–1,190 |
0,8830 |
1,7 |
–0,8170 |
0,6675 |
10 |
30 |
–1,804 |
0,9640 |
1,9 |
–0,9360 |
0,8761 |
32 |
Розділ 1 |
Обчислюємо
.
У табл. 1.7 знаходимо 
. Так як 
, гіпотеза про нормальність розподілу відхиляється.
1.3.1.4. Критерій Фроціні. Цей критерій нормальності з параметрами, оцінюваними за вибіркою, заснований на статистиці
. (1.25)
Критичні значення 
наведені в табл. 1.8
Таблиця 1.8
Критичні значення статистики 
для 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0,2666 |
11 |
0,2774 |
17 |
0,2812 |
6 |
0,2698 |
12 |
0,2795 |
18 |
0,2822 |
7 |
0,2702 |
13 |
0,2784 |
19 |
0,2830 |
8 |
0,2756 |
14 |
0,2791 |
20 |
0,2839 |
9 |
0,2753 |
15 |
0,2820 |
|
0,2840 |
10 |
0,2789 |
16 |
0,2804 |
|
|
Приклад 5. Для даних прикладу 3 перевірити гіпотезу нормальності розподілу випадкової величини.
Розв’язок. Обчислюємо статистику
Із табл. 1.8 знаходимо критичне значення 
.
Так як 
, то гіпотеза нормальності розподілу випад-
кових величини підтверджується.
Формування вихідної інформації для аналізу і дослідження систем |
33 |
1.3.2. Спеціальні критерії нормальності
1.3.2.1. Критерій Шапіро-Уілка. Цей критерій є одним із найбільш ефективних критеріїв перевірки нормальності розподілу випадкової величини. Можливі три способи перевірки нормальності розподілу з його допомогою.
Спосіб 1. З використанням статистики
, (1.26)
де 
– найбільше ціле число, яке не перевищує 
.
Критичні значення статистики 
наведені в табл. 1.9, а коефіцієнти 
– в табл. 1.10.
Таблиця 1.9
Критичні точки критерію 
для рівня значимості 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0,767 |
15 |
|
0,881 |
27 |
0,923 |
39 |
0,939 |
|
4 |
0,748 |
16 |
|
0,887 |
28 |
0,924 |
40 |
0,940 |
|
5 |
0,762 |
17 |
|
0,892 |
29 |
0,926 |
41 |
0,941 |
|
6 |
0,788 |
18 |
|
0,897 |
30 |
0,927 |
42 |
0,942 |
|
7 |
0,803 |
19 |
|
0,901 |
31 |
0,929 |
43 |
0,943 |
|
8 |
0,818 |
20 |
|
0,905 |
32 |
0,930 |
44 |
0,944 |
|
9 |
0,829 |
21 |
|
0,908 |
33 |
0,931 |
45 |
0,945 |
|
10 |
0,842 |
22 |
|
0,911 |
34 |
0,933 |
46 |
0,945 |
|
11 |
0,850 |
23 |
|
0,914 |
35 |
0,934 |
47 |
0,946 |
|
12 |
0,859 |
24 |
|
0,916 |
36 |
0,935 |
48 |
0,947 |
|
13 |
0,866 |
25 |
|
0,918 |
37 |
0,936 |
49 |
0,947 |
|
14 |
0,974 |
26 |
|
0,920 |
38 |
0,938 |
50 |
0,947 |
|
У випадку |
|
гіпотеза про нормальність розподілу відхи- |
|||||||
ляється на рівні значимості 
.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 1.10 |
||
|
|
|
|
Коефіцієнти |
|
критерію Шапіро-Уілка |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0,7071 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0,6872 |
0,1677 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0,6646 |
0,2413 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
0,6431 |
0,2806 |
0,0875 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
0,6233 |
0,3031 |
0,1401 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
0,6052 |
0,3136 |
0,1743 |
0,0561 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
0,5888 |
0,3224 |
0,1976 |
0,9170 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
0,5739 |
0,3291 |
0,2141 |
0,1224 |
0,0399 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
0,5601 |
0,3315 |
0,2260 |
0,1429 |
0,6950 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
0,5475 |
0,3325 |
0,2347 |
0,1586 |
0,9220 |
0,0803 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
0,5359 |
0,3325 |
0,2412 |
0,1707 |
0,1099 |
0,0539 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
0,5251 |
0,3318 |
0,2460 |
0,1802 |
0,1240 |
0,0727 |
0,0240 |
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
0,5150 |
0,3306 |
0,2495 |
0,1878 |
0,1353 |
0,0880 |
0,0433 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
0,5056 |
0,3292 |
0,2521 |
0,1939 |
0,1447 |
0,1050 |
0,0593 |
0,0196 |
|
|
|
|
|
|
|
17 |
0,4968 |
0,3273 |
0,2540 |
0,1988 |
0,1524 |
0,1109 |
0,0725 |
0,0359 |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
0,4886 |
0,3253 |
0,2553 |
0,2027 |
0,1587 |
0,1197 |
0,0837 |
0,0496 |
0,0173 |
|
|
|
|
|
|
19 |
0,4808 |
0,3232 |
0,2561 |
0,2059 |
0,1641 |
0,1271 |
0,0932 |
0,0612 |
0,0303 |
|
|
|
|
|
|
20 |
0,4734 |
0,3211 |
0,2565 |
0,2085 |
0,1686 |
0,1334 |
0,1013 |
0,0711 |
0,0422 |
0,0140 |
|
|
|
|
|
21 |
0,4634 |
0,3185 |
0,2578 |
0,2119 |
0,1736 |
0,1399 |
0,1092 |
0,0804 |
0,0530 |
0,0263 |
|
|
|
|
|
22 |
0,4590 |
0,3156 |
0,2571 |
0,2131 |
0,1764 |
0,1430 |
0,1150 |
0,0878 |
0,0618 |
0,0368 |
0,0122 |
|
|
|
|
23 |
0,4542 |
0,3126 |
0,2563 |
0,2139 |
0,1787 |
0,1480 |
0,1201 |
0,0941 |
0,0696 |
0,0459 |
0,0228 |
|
|
|
|
24 |
0,4493 |
0,3098 |
0,2554 |
0,2124 |
0,1807 |
0,1512 |
0,1245 |
0,0997 |
0,0764 |
0,0539 |
0,0321 |
0,0107 |
|
|
|
25 |
0,4450 |
0,3069 |
0,2543 |
0,2148 |
0,1822 |
0,1539 |
0,1283 |
0,1046 |
0,0823 |
0,0610 |
0,0403 |
0,0200 |
|
|
|
26 |
0,4407 |
0,3043 |
0,2533 |
0,2151 |
0,1836 |
0,1563 |
0,1316 |
0,1089 |
0,0876 |
0,0672 |
0,0476 |
0,0284 |
0,0094 |
|
|
27 |
0,4366 |
0,3018 |
0,2522 |
0,2152 |
0,1848 |
0,1584 |
0,1346 |
0,1128 |
0,0923 |
0,0728 |
0,0540 |
0,0358 |
0,0178 |
|
|
28 |
0,4328 |
0,2992 |
0,2510 |
0,2151 |
0,1857 |
0,1601 |
0,1372 |
0,1162 |
0,0965 |
0,0778 |
0,0598 |
0,0424 |
0,0253 |
0,0084 |
|
29 |
0,4291 |
0,2962 |
0,2499 |
0,2150 |
0,1864 |
0,1616 |
0,1395 |
0,1192 |
0,1002 |
0,0822 |
0,0650 |
0,0483 |
0,0320 |
0,0159 |
|
30 |
0,4251 |
0,2944 |
0,2487 |
0,2118 |
0,1870 |
0,1630 |
0,1415 |
0,1219 |
0,1036 |
0,0862 |
0,0697 |
0,0537 |
0,0381 |
0,0227 |
0,0076 |
Формування вихідної інформації для аналізу і дослідження систем |
35 |
Спосіб 2. За допомогою квантилі стандартного нормального відхилення. Статистика 
зв’язана з 
-квантиллю стандартного нормального розподілу залежністю
. (1.27)
Значення коефіцієнтів 
, 
, 
у виразі (1.27) наведені у табл. 1.11.
Таблиця 1.11
Значення коефіцієнтів 
, 
і 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
–0,6250 |
0,3860 |
0,7500 |
19 |
–5,0180 |
1,7860 |
0,2440 |
35 |
–6,5590 |
2,0120 |
0,1727 |
4 |
–1,1070 |
0,7140 |
0,6297 |
20 |
–5,1840 |
1,7980 |
0,2375 |
36 |
–6,6400 |
2,0240 |
0,1702 |
5 |
–1,5300 |
0,9350 |
0,5521 |
20 |
–5,2910 |
1,8180 |
0,2261 |
37 |
–6,7210 |
2,0370 |
0,1677 |
6 |
–2,0100 |
1,1380 |
0,4963 |
22 |
–5,4130 |
1,8350 |
0,2207 |
38 |
–6,8030 |
2,0490 |
0,1656 |
7 |
–2,3560 |
1,2450 |
0,4533 |
23 |
–5,5080 |
1,8480 |
0,2157 |
39 |
–6,8870 |
2,0620 |
0,1633 |
8 |
–2,6960 |
1,3330 |
0,4186 |
24 |
–5,6050 |
1,8620 |
0,2106 |
40 |
–6,9610 |
2,0750 |
0,1612 |
9 |
–2,9680 |
1,4000 |
0,3900 |
25 |
–5,7040 |
1,8760 |
0,2063 |
41 |
–7,0350 |
2,0880 |
0,1591 |
10 |
–3,2620 |
1,4710 |
0,3660 |
26 |
–5,8030 |
1,8900 |
0,2020 |
42 |
–7,1110 |
2,1010 |
0,1572 |
11 |
–3,1850 |
1,5150 |
0,3451 |
27 |
–5,9050 |
1,9050 |
0,1980 |
43 |
–7,1880 |
2,1140 |
0,1552 |
12 |
–3,7310 |
1,5710 |
0,3270 |
28 |
–5,9880 |
1,9150 |
0,1943 |
44 |
–7,2120 |
2,1190 |
0,1548 |
13 |
–3,9360 |
1,6130 |
0,3111 |
29 |
–6,0740 |
1,9340 |
0,1907 |
45 |
–7,2660 |
2,1280 |
0,1534 |
14 |
–4,1550 |
1,6550 |
0,2969 |
30 |
–6,1600 |
1,9490 |
0,1872 |
46 |
–7,3450 |
2,1410 |
0,1526 |
15 |
–4,3730 |
1,6950 |
0,2842 |
31 |
–6,2480 |
1,9650 |
0,1840 |
47 |
–7,4140 |
2,1550 |
0,1499 |
16 |
–4,5670 |
1,7240 |
0,2727 |
32 |
–6,3240 |
1,9760 |
0,1811 |
48 |
–7,5550 |
2,1830 |
0,1466 |
17 |
–4,7130 |
1,7390 |
0,2622 |
33 |
–6,4020 |
1,9880 |
0,1781 |
49 |
–7,6150 |
2,1980 |
0,1451 |
18 |
–4,8850 |
1,7700 |
0,2528 |
34 |
–6,4800 |
2,0000 |
0,1755 |
50 |
–7,6770 |
2,2120 |
0,1436 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Цій квантилі відповідає (додаток Д2) імовірність 
. Якщо ця імовірність перевищує прийнятий рівень значимості 
, то гіпотеза про нормальність розподілу випадкової величини підтверджується.
36 |
Розділ 1 |
Спосіб 3. За наближеним критерієм. Цей критерій не потребує табульованих табличних даних. На рівні значимості 
пропонується статистика
, |
(1.28) |
де 
– квадрат абсолютного відхилення випадко-
вої величини;
; 
;
; |
. |
Якщо розраховане значення критерію 
, то гіпотеза про нормальний розподіл випадкової величини відхиляється.
Приклад 6. Для 
автомобілів, задіяних на перевезенні дрібнопартіонних вантажів, спостерігались такі ранжовані за зростанням значення статичного коефіцієнта використання вантажопідйомності: 
; 
; 
; 
; 
; 0,65; 
; 
; 
; 
. Необхідно перевірити гіпотезу про нормальність розподілу статичного коефіцієнта використання вантажопідйомності автомобіля за критерієм Шапіро-Уілка на рівні значимості 
.
Розв’язок. |
|
|
|
Спосіб 1. Маємо |
; |
; |
; |
значення коефіцієнтів з табл. 1.10 для 
: 
; 
; 
;
; 
.
Обчислюємо величину
Формування вихідної інформації для аналізу і дослідження систем |
37 |
Обчислюємо 
-статистику
.
З табл. 1.9 для 
знаходимо 
. Так як 
, то гіпотеза про нормальність розподілу випадкової величини підтверджується.
Спосіб 2. Із табл. 1.11 для 
знаходимо 
; 
; 
. Обчислюємо за формулою (1.27) значення квантилі
.
З додатка Д2 визначаємо 
. Ця імовірність суттєво перевищує прийнятий рівень значимості 
, що дає підстави стверджувати про нормальність розподілу статичного коефіцієнту вантажопідйомності автомобіля.
Спосіб 3. Обчислюємо складові формули (1.28):
|
|
; |
; |
|
|
; |
; |
|
|
; |
; |
|
|
|
; |
; |
; |
; |
; |
Обчислюємо 
-статистику:
.
Так як 
, то гіпотеза про нормальний закон розподілу статичного коефіцієнту використання вантажопідйомності автомобіля відхиляється.
38 |
Розділ 1 |
1.3.2.2. Критерій середнього абсолютного відхилення. Значення емпіричної статистики цього критерію розраховується за формулою
, |
(1.29) |
де величина 
розраховується за формулою (1.8) при 
, чи за формулою (1.9) при 
.
Величина 
порівнюється з критичними значеннями 
та 
, наведеними в табл. 1.12. Якщо 
, то гіпотеза про нормальний розподіл випадкової величини підтверджується.
Для практичних розрахунків рекомендується формула
, (1.30)
де 
– сума значень у вибірці, що перевищують 
;
– кількість значень у вибірці, що перевищують 
.
Таблиця 1.12
Критичні значення 
та 
критерію середнього абсолютного відхилення на рівні значимості 
11 0,7153 0,9073 31 0,7404 0,8625 51 0,7518 0,8481 91 0,7626 0,8353
16 0,7236 0,8884 36 0,7440 0,8578 61 0,7554 0,8434 101 0,7644 0,8344
21 0,7304 0,8768 41 0,7470 0,8540 71 0,7583 0,8403
26 0,7360 0,8686 46 0,7496 0,8508 81 0,7607 0,8376
Приклад 7. За даними прикладу 6 перевірити гіпотезу про нормальність розподілу величини статичного коефіцієнта використання вантажопідйомності автомобіля за критерієм середнього абсолютного відхилення на рівні значимості 
.
Формування вихідної інформації для аналізу і дослідження систем |
39 |
||
Розв’язок. Маємо |
; |
. |
|
Складова критерію середнього абсолютного відхилення дорівнює
Аналогічний результат можна отримати за спрощеною формулою (1.30) (
значень перевищують середнє вибіркове 
; сума цих значень дорівнює 
, тобто маємо 
.
Статистика критерію середнього абсолютного відхилення дорівнює
|
|
. |
|
В табл. 1.12 знаходимо для і |
: |
і |
. |
Так як |
|
, то нульова гіпотеза норма- |
|
льності розподілу підтверджується.
1.3.2.3. Критерій розмаху варіювання. Статистика критерію об-
числюється за формулою |
|
|
|
, |
(1.31) |
де |
– розмах вибірки. |
|
Гіпотеза про нормальний розподіл випадкової величини приймається, якщо 
. Значення 
та 
на рівні значимості 
наведені в табл. 1.13.
При 
справедливі такі співвідношення:
для |
; |
(1.32) |
для 
. (1.33)
40 |
Розділ 1 |
Таблиця 1.13
Критичні значення 
та 
критерію розмаху варіювання на рівні значимості 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1,758 |
1,999 |
12 |
2,800 |
3,910 |
25 |
3,340 |
4,710 |
70 |
4,060 |
5,630 |
4 |
1,980 |
2,429 |
13 |
2,860 |
4,000 |
30 |
3,470 |
4,890 |
75 |
4,130 |
5,680 |
5 |
2,150 |
2,753 |
14 |
2,920 |
4,090 |
35 |
3,580 |
5,040 |
80 |
4,150 |
5,730 |
6 |
2,200 |
3,012 |
15 |
2,970 |
4,170 |
40 |
3,670 |
5,160 |
85 |
4,200 |
5,780 |
7 |
2,400 |
3,222 |
16 |
3,010 |
4,240 |
45 |
3,750 |
5,260 |
90 |
4,240 |
5,820 |
8 |
2,500 |
3,399 |
17 |
3,060 |
4,310 |
50 |
3,830 |
5,350 |
95 |
4,270 |
5,860 |
9 |
2,590 |
3,552 |
18 |
3,100 |
4,370 |
55 |
3,900 |
5,430 |
100 |
4,310 |
5,900 |
10 |
2,670 |
3,685 |
19 |
3,140 |
4,430 |
60 |
3,960 |
5,510 |
|
|
|
11 |
2,740 |
3,800 |
20 |
3,180 |
4,490 |
65 |
4,010 |
5,570 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 8. За даними прикладу 6 перевірити гіпотезу про нормальність розподілу величини статичного коефіцієнту використання вантажопідйомності автомобіля за критерієм розмаху варіювання на рівні значимості 
.
Розв’язок. Обчислюємо значення розмаху вибірки 
і статистику
.
В табл. 1.13 для 
знаходимо 
; 
.
Так як 
, гіпотеза нормальності розподілу випадкової величини підтверджується.
1.3.2.4. V-критерій нормальності. Для перевірки нормальності розподілу використовують статистику
. (1.34)
Величина 
у формулі (1.34) розраховується за формулою
, |
(1.35) |