big_doc_LKG

3.3.2. Аналіз марківського випадкового процесу з дискретним часом. Розглянемо деяку фізичну систему з кінцевою кількістю всіх можливих станів , , ..., , для якої переходи із стану в стан можливі тільки в дискретні моменти часу , , ..., , ..., .

Для будь-якого моменту часу , , ..., існують деякі імовірності переходу системи із одного стану в будь-який інший, а також імовірності перебування (затримки) системи у даному стані. Ці імовірності на-

зиваються перехідними імовірностями марківського ланцюга.

Поведінка системи, яка описується ланцюгом Маркова, характеризується тим, що у послідовні моменти часу , , ... система переходить в інший стан (або залишається у попередньому) випадково (наприклад, , або i т.д.).

Позначимо подію перебування системи після моментів часу (кроків) у стані через , а імовірності цих подій після -го кроку як

; ; ... ; .

Процес, який відбувається в системі, можна подати послідовністю (ланцюгом) подій

, , , , , ...

Така випадкова послідовність подій називається марківським ланцюгом, якщо для кожного кроку ймовірність переходу із будь-якого стану в будь-який стан не залежить від того, коли і як систе-

ма прийшла в стан . Найважливішою особливістю марківського ланцюга є те, що перехід системи у наступні моменти в деякий стан залежить тільки від стану, у якому вона була в даний момент.

Стан системи , , ..., в момент часу характеризують умовними ймовірностями

того, що система за один крок перейде в деякий стан за умови, що в момент часу вона знаходилась у стані .

4)матриця перехідних ймовірностей є обов’язково квадратною матрицею з невід’ємними елементами, причому , а .

5)рівність означає, що перехід за один крок із і-го стану до

j-го є неможливим;

6) по головній діагоналі перехідних ймовірностей стоять імовірності того, що система не вийде із стану , а залишиться в ньому.

Випадковий процес функціонування системи з дискретними станами можна представити у вигляді геометричної схеми – графу станів

(рис. 3.7).

Рис. 3.7. Розмічений граф станів і переходів системи

Вершини графа, зображені прямокутниками, визначають стани системи, а дуги графа, показані стрілками – переходи її із одних станів до інших.

Імовірності станів i переходів системи зображують на відповідних дугах графа. Такий граф називається розміченим графом станів. Матрицю перехідних ймовірностей можна будувати декількома способами.

–імовірність перебування системи в j-му стані, в якому вона опинилась після (k 1) -го переходу;

– імовірність переходу системи із j-го в i-й стан.

Приклад 5. Розглянемо процес функціонування організаційної системи управління перевізним процесом на автотранспортному підприємстві. При плануванні і організації роботи транспортних засобів необхідно врахувати їх можливі стани.

Кожний автомобіль в заданий момент часу може бути в одному із наступних станів:

–робота на лінії (Л);

–технічне обслуговування ТО-1 (1);

–технічний ремонт ТР (Р);

–технічне обслуговування ТО-2 (2);

–перебування у парку (резерві) (П).

Для заданих станів складемо матрицю перехідних ймовірностей за дискретними періодами часу доба. Зафіксовані за часом стани 10 автомобілів КАМАЗ–5320 протягом періоду часу місяць (31 день) наведені в табл. 3.17.

Послідовно проглядаємо рядки табл. 3.17, підраховуємо кількість відповідних переходів і проставляємо їх на перехрещені відповідних станів. Кількість переходів слід підраховувати так:

1) кількість переходів одних і тих же станів в самих себе (наприклад «лінія – лінія») на одиницю менше того числа днів, протягом яких автомобіль знаходився в цих станах. Наприклад, перший автомобіль (рядок 1 табл. 3.17) три дні (1–3-й дні місяця) працював на лінії, тобто 3–1=2 рази виконував перехід «лінія – лінія», потім один раз (4-й день) перейшов із стану «лінія» в стан «технічний ремонт» (Р); далі (5-й день) перейшов в стан «лінія – лінія» і т. д.

2) при переході із одного рядка до іншого, тобто до показників наступного автомобіля, останні дані попереднього рядка і наступного рядка необхідно розглядати як неперервну інформацію. Наприклад, при аналізі закінчення рядка 5 і початку рядка 6 два дні (30-й і 31-й) перебування п’ятого автомобіля на лінії і 5 днів (з 1-го по 5-й) шостого автомобіля слід об’єднати. При цьому кількість днів, проведених на лінії, складатимуть 7, а переходів «лінія – лінія» 7–1=6. Результати підрахунків для станів Л–Л; Л–1; Л–Р; Л–2; Л–Л наведені в п’яти стовпчиках табл. 3.18. Інші значення табл. 3.18 наведені лише підсумковими даними.

Визначивши для першого рядка табл. 3.18 сумарне значення відповідних переходів отримаємо матрицю п’ятого порядку

.

Сумарні значення переходів за всіма рядками матриці відповідно дорівнюють: 262; 22; 11; 6; 8. Поділивши кожний елемент рядка на відповідну суму, одержимо основну матрицю перехідних ймовірностей

.

Згідно з матрицею перехідних ймовірностей на рис. 3.8 зображено розмічений граф станів технологічного процесу роботи автомобілів.

Розрахуємо компоненти вектора для декількох періодів n. Спочатку визначимо початковий розподіл автомобілів для п’яти станів, використовуючи звітні дані АТП за розглядуваний період часу (1 місяць). Для цього кількість днів роботи усіх автомобілів на лінії, а також їх перебування відповідно на ТО-1, ТР, ТО-2 і в резерві розділимо на їх сумарну кількість.

Нехай в розглядуваний момент вектор початкових розподілів складає

.