big_doc_LKG

РОЗДІЛ 3

ВИПАДКОВІ ПРОЦЕСИ ТА ЇХ СТАТИСТИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Мета вивчення теми – засвоєння методики і набуття практичних навичок у проведенні аналізу поведінки динамічної системи з використанням випадкових функцій.

Після опрацювання теми ви повинні вміти:

–представляти випадкове явище у вигляді функції;

–визначати характеристики випадкового процесу із експериментальних даних (спостережень);

–представляти випадкову функцію у вигляді траєкторії;

–виокремлювати із загального процесу зони стаціонарності;

–виконувати аналіз стаціонарних процесів;

–досліджувати і аналізувати динаміку техніко-економічних показників в реальних виробничих та транспортно-технологічних системах;

3.1.Загальна характеристика випадкових процесів

3.1.1.Визначення випадкових процесів і основні задачі їх дослі-

дження. Випадкові величини характеризують те чи інше явище як би у

статиці, тобто в певні фіксовані постійні моменти спостережень. Випадковим процесом називається функція, значення якої при кожному значенні аргументу (або декількох аргументів) є випадковою величиною.

За аналогією з випадковою величиною, яка в результаті спостереження може мати те чи інше, заздалегідь невідоме значення, випадковий процес може набути того чи іншого вигляду, заздалегідь невідомо якого. Конкретний вигляд, якого набуває випадковий процес (функція) в результаті одного спостереження (експерименту), назива-

ється реалізацією випадкового процесу. При проведенні множини спостережень випадковий процес реалізується у вигляді групи, або сім’ї різних процесів (функцій).

Узагальному випадку випадковий процес може залежати від декількох параметрів (аргументів). Аргументами випадкового процесу можуть бути час, відстань, просторові координати і ін. Найчасті-

ше за аргумент випадкового процесу приймається час t .

Уподальшому випадкові процеси будемо позначати великими літерами латинського алфавіту із зазначенням у дужках аргументу ,

, , ... , а можливі реалізації випадкового процесу – відповідними малими літерами , , , ... .

Випадковий процес не можна відобразити ніякою конкретною аналітичною кривою, так як він реалізується у вигляді різних конкрет-

них функцій (процесів).

Кожна реалізація випадкового процесу , отримана в результаті спостереження (експерименту), перетворюється в звичайний невипадковий процес. Так, при деяких фіксованих значеннях аргументу (перерізах випадкового процесу) та випадковий процес перетворюється в звичайну випадкову величину, що набуває різних зна-

чень: , , ..., та , , ..., .

Типовим прикладом випадкового процесу є похибка вимірювання змінної величини, що змінюється протягом часу. У цьому випадку змінюється за часом і результат вимірювання, внаслідок чого похибка вимірювання, як різниця між результатом вимірювання і фактичним значенням, також буде функцією часу. Так як значення похибки у кожний даний момент процесу є випадковою величиною, то вона являє собою випадковий процес.

Приклади випадкового процесу в транспортних системах:

–мікропрофіль автомобільного шляху, який характеризує різної висоти нерівності на протязі маршруту;

–швидкість руху автомобіля на мікропрофілі;

–часові ряди, що відображують техніко-економічні показники фу-

нкціонування транспортної системи по відповідних періодах. Задачі, пов’язані з випадковими процесами, розв’язують на основі

теорії випадкових процесів, методи якої дозволяють:

1)за імовірнісними характеристиками випадкових процесів визначити імовірнісні характеристики випадкових явищ, пов’язаних з цими випадковими процесами;

2)давати способи визначення імовірнісних характеристик випадкових процесів за їх реалізаціями;

3.1.2. Основні види випадкових процесів і їх інтерпретація. В до-

слідницькій практиці при аналізі систем використовуються такі види випадкових процесів (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Види випадкових процесів

Графічна інтерпретація дискретних і неперервних випадкових процесів показана на рис. 3.2.

Дискретна випадкова послідовність (рис. 3.2, а) являє собою дискретний процес з дискретним часом, характеризується дискретними значеннями аргументу і випадкового процесу . Процеси такого виду отримують шляхом квантування за рівнем і за часом неперервних процесів з неперервним часом. Таку послідовність утворюють кількість замовлень на транспортне обслуговування в дискретні моменти часу (години, зміни, дні), кількість автомобілів, що надходять на

Прикладами подібних процесів можуть виступати: кількість пасажирів, що чекають на автобус у момент часу ; кількість автомобілів у черзі перед світлофором в момент часу ; відкриття зеленого сигналу і т. ін.

У неперервній випадковій послідовності (рис.3.2, в) (непере-

рвний процес з дискретним часом) аргумент є дискретним, а може набувати будь яких значень на відрізку або осі. Такі процеси утворюються квантуванням будь-якого неперервного процесу за часом. До таких процесів відносяться: кількість автомобілів, що перетинають переріз автомобільної смуги в дискретні моменти часу (наприклад, за 10 хвилин); пропускна спроможність вантажного пункту за робочу зміну; величина пасажиропотоку на автобусному маршруті по годинах доби тощо.

У випадку неперервного випадкового процесу (рис. 3.2, г), як аргумент , так і випадковий процес можуть набувати будь-яких значень на відрізку або на всій числовій осі (наприклад, швидкість руху автомобіля, інтенсивність автомобільного потоку, технічний стан засобів механізації при переробці вантажів тощо).

3.1.3. Визначення характеристик випадкових процесів із експе-

риментів або спостережень. Випадковий процес визначається такими характеристиками:

–математичним очікуванням ;

–дисперсією ;

–кореляційною функцією .

Нехай в результаті проведення незалежних спостережень отримано реалізацій випадкового процесу . Будемо розглядати задані дискретні значення аргументу для випадкової послідовності або перерізу у випадку випадкового процесу для моментів часу , , ..., , ..., , тобто неперервний випадковий процес замінимо непере-

рвним випадковим процесом з дискретним часом (неперервною випадковою послідовністю).

Для явища, що описується випадковим процесом, тобто аргументом, який приймає будь які значення на відрізку або всій осі, значення , , ..., , ... рекомендується задавати рівновіддаленими, а величину інтервалу слід вибирати таким чином, щоб за вибраними точками можна було відновити основну форму кривої. Отримані в результаті спостережень значення зводимо в табл. 3.1, де кожний

При двох фіксованих значеннях аргументу ( і ) отримаємо два перерізи – систему двох випадкових величин і з кореляційним моментом

,

де ; – центровані випадкові величини.

Таким чином, кожна пара чисел і визначає систему двох випадкових величин, а кожній такій системі відповідає її кореляційний момент. Звідси виходить, що кожній парі фіксованих значень і відповідає певний кореляційний момент. Це означає, що кореляційний момент випадкової функції є невипадкова функція двох незалежних

значення якої при кожній парі фіксованих значень аргументів дорівнює кореляційному моменту перерізів, що відповідають цим фіксованим значенням аргументів.

У загальному випадку для реалізацій випадкового процесу середнє значення кореляційної функції визначається як

(3.3)

де , – індекси (; ).

Обчислені значення кореляційної функції заносяться в табл. 3.2 (матрицю), яка складається із однакової кількості рядків і стовпців, яка дорівнює загальній кількості вибраних дискретних значень аргументу .