big_doc_LKG
.pdf
Формування вихідної інформації для аналізу і дослідження систем |
41 |
де 
, 
.
Гіпотеза про нормальний розподіл випадкової величини приймається, якщо 
. Критичні значення 
і 
критерію нормальності 
на рівні значимості 
наведені в табл. 1.14.
Таблиця 1.14
Критичні значення 
і 
критерію нормальності 
на рівні значимості 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
–3,25 |
0,299 |
36 |
–2,85 |
0,917 |
150 |
–2,45 |
1,420 |
12 |
–3,20 |
0,381 |
38 |
–2,83 |
0,941 |
200 |
–2,39 |
1,500 |
14 |
–3,16 |
0,460 |
40 |
–2,81 |
0,964 |
250 |
–2,35 |
1,540 |
16 |
–3,12 |
0,526 |
42 |
–2,80 |
0,986 |
300 |
–2,32 |
1,570 |
18 |
–3,08 |
0,574 |
44 |
–2,78 |
1,010 |
350 |
–2,29 |
1,610 |
20 |
–3,04 |
0,628 |
46 |
–2,77 |
1,020 |
400 |
–2,27 |
1,630 |
22 |
–3,01 |
0,627 |
48 |
–2,75 |
1,040 |
450 |
–2,25 |
1,650 |
24 |
–2,98 |
0,720 |
50 |
–2,74 |
1,060 |
500 |
–2,24 |
1,676 |
26 |
–2,96 |
0,760 |
60 |
–2,68 |
1,130 |
600 |
–2,21 |
1,690 |
28 |
–2,93 |
0,797 |
70 |
–2,64 |
1,190 |
700 |
–2,20 |
1,710 |
30 |
–2,91 |
0,830 |
80 |
–2,60 |
1,240 |
800 |
–2,18 |
1,730 |
32 |
–2,88 |
0,862 |
90 |
–2,57 |
1,280 |
900 |
–2,17 |
1,740 |
34 |
–2,86 |
0,891 |
100 |
–2,54 |
1,310 |
1000 |
–2,16 |
1,750 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 9. За даними прикладу 6 перевірити гіпотезу про нормальність розподілу величини статичного навантаження автомобіля за V-критерієм нормальності на рівні значимості 
.
Розв’язок. Обчислюємо параметри 
та 
:
42 |
Розділ 1 |
.
Розраховуємо статистику V-критерію нормальності
.
Із табл. 1.14 для 
і 
знаходимо 
і 
. Так як 
, то гіпотеза нормальності роз-
поділу підтверджується.
1.3.2.5. Критерій нормальності Саркаді. Розглядається вибірка зна-
чень випадкової величини 
. Утворюємо статистику
, 
. (1.36)
Величина 
розраховується за формулою
, 
, (1.37)
де 
– довільне фіксоване число (
).
Якщо складна гіпотеза нормальності є вірною, то змінні 
взаємно незалежні і мають 
-розподіл Стьюдента з 
ступенями вільності. Тоді випадкові величини
|
|
. |
будуть розподілені рівномірно на інтервалі |
|
. |
Функція -розподілу Стьюдента |
з |
ступенями |
вільності для 
наведена у додатку Д4, де 
. У випадку 
та 
значення функції можна обчислити за такими на-
ближеними формулами:
(1.38)
Формування вихідної інформації для аналізу і дослідження систем |
43 |
або
, (1.39)
де 
– значення функції для 
.
Таким чином, задача зводиться до перевірки рівномірності розподілу величин 
за одним із критеріїв згоди. Якщо перевіряється тільки
факт нормальності розподілу, то слід вибирати |
або . |
Для перевірки рівномірності розподілу величин |
пропонується |
використання «гладкого критерію» Неймана, статистика якого має вигляд
. (1.40)
Значення 
розраховуються за формулами:
(1.41)
Розподіл 
близький до розподілу 
з 
ступенями вільності. Отже, якщо 
, то на рівні значимості 
гіпотеза нормаль-
ності підтверджується.
Приклад 10. Перевірити гіпотезу про нормальний розподіл випадкової величини за вихідними даними прикладу 6.
Розв’язок. Вибираємо 
і обчислюємо величину 
. За фор-
мулою (1.37) для 
обчислюємо величини 
:
44 |
Розділ 1 |
;
; 
; 
; 
; 
;
; 
; 
.
За формулою (1.36) розраховуємо величини 
:
; |
; |
; |
; |
. |
Користуючись додатком Д4 визначаємо значення |
-розподілу Стьюдента |
|||
для |
ступенів вільності і змінні |
: |
|
|
;
;
;
Формування вихідної інформації для аналізу і дослідження систем |
45 |
;
;
;
; |
. |
Обчислюємо статистику «гладкого критерію» Неймана. Для чого знаходимо:
;
;
;
.
Аналогічні розрахунки за формулами (1.41) виконуємо для 
. Результати подальших обчислень зводимо до таблиці.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–0,5834 |
1,6852 |
–1,4255 |
0,8900 |
2,5072 |
2,8399 |
2,0320 |
0,7921 |
|
–1,5173 |
1,7361 |
–0,9690 |
0,2209 |
2,3022 |
3,0140 |
0,9390 |
0,0488 |
|
–1,7076 |
1,7630 |
–1,5874 |
1,1458 |
2,9159 |
3,1082 |
2,5198 |
1,3122 |
|
–0,3825 |
1,0189 |
–0,1958 |
–0,7149 |
1,9113 |
1,0382 |
0,0383 |
0,5111 |
|
–0,9630 |
–0,0804 |
1,0696 |
–1,0992 |
0,9274 |
0,0065 |
1,1440 |
1,2082 |
|
–0,3748 |
–0,9610 |
0,7919 |
0,6270 |
0,1405 |
0,9235 |
0,6271 |
0,3931 |
|
0,0120 |
–1,0720 |
–0,0270 |
1,1244 |
0,0001 |
1,1470 |
0,0007 |
1,2643 |
|
0,5996 |
–1,0677 |
–1,0120 |
0,2188 |
0,3595 |
1,1400 |
1,0241 |
0,0479 |
|
|
|
|
|
11,0641 |
13,2173 |
8,3252 |
5,5777 |
Обчислюємо статистику
.
Із додатка Д3 для 
знаходимо критичне значення 
. Так як 
, гіпотеза про нормальність розподілу випадкової ве-
личини підтверджується.
46 |
Розділ 1 |
1.3.2.6. Перевірка нормальності розподілу на ЕОМ. Перевірка нормальності розподілу випадкових величин виконується у модулі BA- SIC STATISTICS/TABLES – ОСНОВНІ СТАТИСТИКИ/ТАБЛИЦІ інтерфейсу
STATISTICA. Для виконання тесту на нормальність розподілу необхідно виконати таку послідовність дій:
1)відкрити файл даних у модулі BASIC STATISTICS/TABLES;
2)у вікні вибору статистичної процедури (рис. 1.1) активізувати рядок FREQUENCY TABLES – ТАБЛИЦІ ЧАСТОТ та натиснути кнопку ОК. На екрані з’являється діалогове вікно FREQUENCY TABLES (рис. 1.6);
Рис. 1.6. Вікно статистичної процедури таблиць частот
3) у цьому діалоговому вікні у групі опцій TEST FOR NORMALITY – ТЕСТ НА НОРМАЛЬНІСТЬ можна вибрати один чи декілька тестів (K-S
TEST – ТЕСТ КОЛМОГОРОВА-СМІРНОВА, LILLEFORS TEST – ТЕСТ ЛІЛЕФОРСА, SHAPIRO-WILK’S W TEST – ТЕСТ ШАПІРО-УІЛКА). Після вибору необхідних тестів слід натиснути кнопку 
– ТЕСТ НА НОРМАЛЬНІСТЬ. Результати розрахунку по кожному з обраних тестів виводяться у окремому вікні (рис. 1.7). Зокрема, для тесту Кол- могорова-Смірнова (рис. 1.7, а) виводиться обсяг вибірки 
, величина
(
) та імовірність узгодження вибірки з нормальним розподілом 
. Для тесту Шапіро-Уілка виводиться значення статистики 
.
Формування вихідної інформації для аналізу і дослідження систем |
47 |
а) б)
Рис. 1.7. Результати статистичних тестів на нормальність
У випадку, коли гіпотезу про нормальність розподілу випадкової величини слід відкинути, рядки результатів розрахунку у відповідних вікнах будуть підсвічені червоним кольором.
1.3.3. Критерії перевірки нормальності розподілу за сукупністю незалежних вибірок малого обсягу. Дуже часто на практиці зустріча-
ються ситуації, коли при дослідженні і аналізі того чи іншого процесу або явища статистична інформація представляється сукупністю малих вибірок, отриманих в результаті послідовного проведення спостережень або випробовувань протягом тривалого проміжку часу. У цьому випадку виникає необхідність перевірки нормальності розподілу випадкової величини за сукупністю вибірок малого обсягу, в яких середні і дисперсії у загальному випадку можуть бути різними. Існує декілька методів встановлення нормальності розподілу випадкової величини в такій ситуації.
1.3.3.1. Використання критерію 
Шапіро–Уілка (1.3.2.1). Роз-
глядаються 
незалежних вибірок обсягом 
(
), в кожній з яких випадкові дані ранжовані (
). Для кожної вибірки обчислюється статистика
, (1.42)
де 
– найбільше ціле число, що не перевищує 
. Коефіцієнти 
визначаються за табл. 1.10, де 
, 
.
48 |
Розділ 1 |
Можливі два способи перевірки нормальності розподілу.
Спосіб 1. За допомогою критичного значення квантилі стандартного нормального розподілу. Розраховується для 
вибірок статистичне узагальнене значення квантилі за формулою
, |
(1.43) |
де 
– 
-квантиль стандартного нормального розподілу для 
-ої вибірки, розраховується за формулою (1.27).
Розрахункове значення критерію 
порівнюється з критичним 
(додаток Д2) для прийнятої довірчої ймовірності 
. Якщо 
, то на рівні значимості 
гіпотеза нормальності відхиля-
ється.
Спосіб 2. За допомогою критичного значення 
-статистики на рівні значимості 
з 
ступенями вільності. Перевірка проводиться у такій послідовності.
1.Із додатку Д2 визначають величину рівня значимості 
, що відповідає обчисленому за формулою (1.27) значенню квантилі стандартного нормального розподілу 
.
2.Розраховують верхню 
-точку розподілу 
з 
ступенями вільності за формулою
. (1.44)
3. Розраховують величину
. (1.45)
4.Для прийнятого рівня значимості 
і кількості ступенів вільності 
із додатка Д3 знаходять 
.
5.Порівнюють величину 
з 
. Якщо 
, то гіпотеза нормальності підтверджується.
Формування вихідної інформації для аналізу і дослідження систем |
49 |
Приклад 11. Обсяги вантажопереробки на складі п’яти (
) видів тарноштучних вантажів за чотири (
) дні представлені такими незалежними ранжованими вибірками (додатне значення – надходження вантажів, від’ємне – відправлення).
Необхідно перевірити гіпотезу про нормальний розподіл випадкової величини обсягів вантажопереробки за наведеною сукупністю при довірчій імовірності 
.
Розв’язок. Для першої вибірки знаходимо |
; |
. За дани- |
ми табл. 1.10 для 
знаходимо 
і 
. Тоді, за формулою (1.42) маємо
Із табл. 1.11 для 
визначаємо 
; 
; 
і за формулою (1.27) обчислюємо
.
Із додатка Д2 знаходимо 
, що відповідає квантилі стандартного нормального розподілу 
– це 
.
Далі аналогічним чином розраховуємо:
Перший спосіб перевірки.
Обчислюємо
.
50 |
Розділ 1 |
Із додатка Д2 для довірчої імовірності 
знаходимо 
. Так як 
, гіпотеза про нормальний розподіл випадкової величини
відхиляється.
Другий спосіб перевірки.
Обчислюємо величину
.
Для кількості ступенів вільності |
із додатка Д2 маємо |
. Так як 
, гіпотеза нормальності
відхиляється.
1.3.3.2. Використання критерію Саркаді. Статистика критерію для кожної 
-ої вибірки розраховується за формулою
, (1.46)
; 
.
Величина 
розраховується за формулою
, 
. (1.47)
Змінні 
взаємно незалежні і мають 
-розподіл Стьюдента з функцією розподілу імовірностей 
для ступеню вільності 
(додаток Д4). Випадкові величини 
визначаються як
. (1.48)
Всі обчислені величини |
об’єднують в одну вибірку обсягом |
і до неї застосовують «гладкий» критерій Неймана для перевірки рівномірності розподілу 
на інтервалі 
із статистикою