big_doc_LKG
.pdf
Продовження таблиці 2.4
Закон |
Графічне представлення, щільність імовірності |
Статистичні |
Параметри закону |
|
розподілу |
розподілу |
та функція розподілу |
характеристики |
та їх оцінка |
6. Розподіл Ер- |
0,20 |
|
|
k 2; =2 |
|
|
|
; |
|
|
– порядок |
ланга |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0,16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
закону, де […] – ціла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частина числа; |
|
|
0,12 |
|
|
k 2; =3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
– параметр |
||
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,08 |
|
|
|
|
|
k 6; =2 |
|
|
. |
масштабу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0,04 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
4 |
8 |
12 |
16 |
20 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продовження таблиці 2.4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
Закон |
Графічне представлення, щільність |
Статистичні |
|
Параметри закону |
||
імовірності розподілу |
та функція |
|
||||
розподілу |
характеристики |
|
та їх оцінка |
|||
розподілу |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
7. Розподіл |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
Вейбулла |
0,16 |
|
|
2; =5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
0,12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
2; =8 |
|
|
|
параметр форми; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,08 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– па- |
|
0,04 |
|
|
|
|
|
1,5; |
=8 |
раметр масштабу; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
4 |
8 |
12 |
16 |
20 |
24 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продовження таблиці 2.4
Закон |
Графічне представлення, щільність імовірності |
Статистичні |
Параметри закону та |
|
розподілу |
розподілу |
та функція розподілу |
характеристики |
їх оцінка |
8. Розподіл |
0,24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Релея |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– параметр масшта- |
|
|
0,18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бу. |
(x) |
0,12 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
; |
|
0,06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
0 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
Ідентифікація параметрів статистичними законами розподілу |
113 |
2.4. Апроксимація вхідних параметрів системи аналітичними функціями розподілу
Апроксимація полягає у підборі теоретичної функції розподілу, яка найкращим чином описує досліджуваний параметр, представлений статистичною вибіркою. Ця задача розв’язується шляхом оцінки узгодження теоретичного і емпіричного законів розподілу за допомо-
гою критеріїв згоди.
2.4.1. Оцінка з використанням загальних критеріїв згоди. Нульо-
ва гіпотеза при застосуванні загальних критеріїв згоди записується у такій формі
,
де 
– емпірична функція розподілу імовірностей;
– гіпотетична функція розподілу імовірностей.
В практиці дослідження найбільше застосування знайшли дві групи критеріїв:
–критерії, засновані на вивченні різниці між теоретичною щільністю розподілу і емпіричною гістограмою;
–критерії, засновані на вивченні різниці між теоретичною і емпіричною функціями розподілу імовірностей.
2.4.1.1. Критерії, засновані на порівнянні теоретичної щільності розподілу і емпіричної гістограми. Такими є критерії згоди Пірсо-
на 
і Романовського.
Критерій 
Пірсона має велику потужність і універсальність (придатний для будь-якого розподілу). Застосовується при опрацюванні групованих даних обсягом 
. Критерій передбачає контроль узгодження гіпотетичних ймовірностей 
випадкових подій 
з їх відносними частотами 
у вибірці із
незалежних спостережень. Кожна подія 
полягає у тому, що деяка випадкова величина 
попадає до певного інтервалу так, що критерій 
дозволяє порівнювати гіпотетичний розподіл величини 
з її емпіричним розподілом.
114 |
Розділ 2 |
Критерій згоди 
визначається за формулою
, |
(2.5) |
де 
– кількість інтервалів, на яку розбивається діапазон зміни випадкової величини;
– емпірична частота (кількість зареєстрованих випадків попадання значень випадкової величини до і-го інтервалу);
– теоретична частота (очікувана кількість випадків попадання випадкової величини до і-го інтервалу), обчислена згідно з прийнятим законом розподілу.
Формулу (2.5) можна представити у вигляді
|
, |
(2.6) |
або |
|
|
|
, |
(2.7) |
де |
– теоретичне значення імовірності у і-му інтервалі; |
|
|
– емпірична щільність імовірності розподілу; |
|
– відносна частота (частість) емпіричного розподілу;
– ширина і-го інтервалу;
– теоретична щільність імовірності розподілу.
Теоретична частота для неперервної випадкової величини обчислюється за формулою
, (2.8)
де 
і 
– значення інтегральної функції прийнятого тео-
ретичного закону розподілу на границях і-го інтервалу.
Значення 
, 
та 
для відповідних законів розподілу розраховуються за формулами, наведеними у табл. 2.3–2.4
Ідентифікація параметрів статистичними законами розподілу |
115 |
Для нормального розподілу для визначення теоретичної частоти використовують формулу
, |
(2.9) |
де 
та 
– значення функції Лапласа на кінцях і-го інтервалу (додаток Д5);
– аргумент (оператор) функції Лапласа.
У випадку експоненціального розподілу значення інтегральної функції розраховується за формулою
. (2.10)
Загальна схема перевірки узгодженості теоретичного і емпіричного розподілів за допомогою критерію 
включає такі процедури.
1.Діапазон змінювання випадкової величини 
у вибірці розбивається на 
інтервалів і для кожного із них визначається емпірична частота 
.
2.Будується гістограма і полігон розподілу.
3.Виходячи із форми полігону, візуально, у відповідності з графіками теоретичного розподілу (табл. 2.3–2.4), вибирають для аналізу декілька альтернативних теоретичних законів, якими на погляд дослідника можна апроксимувати розглядувану вибірку.
4.В залежності від вибраної розрахункової формули (2.5)–(2.7) об-
числюються відповідні складові для розрахунку величини критерію 
.
5.Розраховується величина критерію 
.
6.Коригується кількість інтервалів 
. Кількість спостережень у кожному інтервалі повинна бути не менше п’яти. При невиконанні цієї умови суміжні інтервали слід об’єднати.
7.Визначається кількість ступенів вільності для скоригованої кількості інтервалів 
і 
параметрів прийнятого теоретичного закону
розподілу 
.
8.Для рівня значимості 
і величини 
визначається табличне значення 
(додаток Д3).
9.Порівнюються обчислене значення 
з табличним 
і визначається міра розходження теоретичного і емпіричного розподілів.
116 |
Розділ 2 |
Якщо 
, то прийнятий апріорі теоретичний закон розподі-
лу узгоджується з емпіричним і може виступати як математична модель вхідного параметру.
Якщо 
, гіпотезу щодо теоретичного розподілу аналізова-
ної випадкової величини відкидають і переходять до перевірки наступного альтернативного теоретичного закону розподілу.
Якщо жодний із перевірених теоретичних законів не дає позитивного результату, що підтверджує висунуту гіпотезу, то вхідний параметр описується за допомогою емпіричного розподілу у вигляді табл. 2.1. для дискретних і табл. 2.2 для неперервних випадкових величин.
Критерій Романовського. За цим критерієм нульова гіпотеза 
відхиляється за умови
. (2.11)
Приклад 1. Результати дослідження випадкової величини – розміру партії дрібнопартіонних тарно-штучних вантажів, що надходять на підприємство, подані у вигляді наступного емпіричного ряду розподілу
Розмір партії |
10-20 |
20-30 |
30-40 |
40-50 |
50-60 |
60-70 |
70-80 |
80-90 |
90-100 |
|
|
поставки |
|
||||||||||
, т |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частота |
4 |
12 |
20 |
35 |
48 |
40 |
30 |
8 |
3 |
200 |
|
поставки, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Необхідно побудувати статистичну модель матеріального потоку на основі теоретичного закону розподілу випадкових величин.
Розв’язок.
1. Для вибору гіпотетичного теоретичного закону будуємо графічну модель емпіричного ряду (див. рисунок). Візуальне порівняння гістограми і полігона емпіричного розподілу з графіками теоретичних законів (табл. 2.4) вказує на те, що найбільш прийнятним для апроксимації є нормальний закон розподілу.
Обчислюємо статистичні оцінки параметрів нормального закону розподілу:
–вибіркове середнє 
;
–стандартне відхилення 
. Обчислюємо параметр функції Лапласа
.
Ідентифікація параметрів статистичними законами розподілу |
117 |
||
m |
|
|
|
|
Q , . |
|
|
За формулою (2.9) розраховуємо теоретичні частоти |
і критерій |
. Всі розра- |
|
хунки виконуємо в таблиці. |
|
|
|
Розрахунок критерію 
для нормального розподілу
Інтервали Q |
Частота т |
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10–20 |
4 |
2,36 |
–1,32 |
–0,4909 |
–0,4066 |
0,0843 |
16,84 |
0,7056 |
0,042 |
|
|
||||||||
20–30 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
30–40 |
20 |
–1,32 |
–0,80 |
–0,4066 |
–0,2881 |
0,1185 |
23,70 |
13,69 |
0,578 |
40–50 |
35 |
–0,80 |
–0,28 |
–0,2881 |
–0,1103 |
0,1778 |
35,56 |
0,314 |
0,009 |
50–60 |
48 |
–0,28 |
0,24 |
–0,1103 |
0,0948 |
0,2051 |
41,02 |
48,79 |
1,188 |
60–70 |
40 |
0,24 |
0,76 |
0,0948 |
0,2764 |
0,1816 |
36,32 |
13,54 |
0,372 |
70–80 |
30 |
0,76 |
1,28 |
0,2764 |
0,3997 |
0,1233 |
24,66 |
28,52 |
1,156 |
80–90 |
8 |
1,28 |
2,32 |
0,3997 |
0,4898 |
0,0901 |
18,02 |
49,28 |
2,735 |
|
|
||||||||
90–100 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так як для першого і останнього інтервалів 
, то їх об’єднуємо з сусідніми, що у таблиці показано фігурними дужками.
Тоді відповідні значення функції Лапласа є такими:
– для першого об’єднаного інтервалу
118 |
Розділ 2 |
;
.
– для другого інтервалу
.
Аналогічні обчислення виконуємо для всіх інтервалів і результати заносимо в таблицю. 2. Розраховуємо кількість ступенів вільності. Нормальний закон є двохпараметричним, скоригована кількість інтервалів дорівнює 
, кількість ступенів вільності
.
3. У додатку Д3 для |
і |
знаходимо |
. Так як |
, то робимо висновок, що розподіл кількості вантажів в транспортній партії узгоджується з нормальним розподілом.
Застосування спрощеного критерію Романовського дає результат
,
який також підтверджує нормальність розподілу. Отже, статистична модель розміру партії поставки має вигляд
.
Отримана модель адекватна реальному процесу і може бути використана для аналізу і нормування величини транспортної партії при постачанні дрібнопартіонних вантажів.
Приклад 2. Розглядається неперервна випадкова величина – тривалість робочого циклу 
(с) електронавантажувача при розвантаженні вагонів на вантажному пункті, яка представлена у вигляді інтервального статистичного ряду в наступній таблиці.
Інтервал значень |
20–40 |
40–60 |
60–80 |
80–100 |
100–120 |
120–140 |
|
, с |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
Частота, |
30 |
22 |
16 |
20 |
8 |
4 |
Обґрунтувати теоретичний закон розподілу, за допомогою якого можна статистично описати процес обслуговування транспортних засобів на вантажному пункті.
Розв’язок.
Ідентифікація параметрів статистичними законами розподілу |
119 |
1. Будуємо гістограму і полігон розподілу .. |
|
m |
|
t , |
|
На підставі аналізу таблиці вихідних даних і виду гістограми і полігона розподілу для апроксимації вибираємо експоненціальний закон розподілу.
2. Визначаємо середнє вибіркове 
і параметр 
закону розподілу
;
.
Таким чином, закон розподілу тривалості циклу запишеться у такому вигляді
.
3. Розраховуємо за формулою (2.7) критерій 
. При цьому два останніх інтервали об’єднуємо в один. Результати розрахунків наведені в розрахунковій таблиці.
Визначаємо міру розбіжності
.
Експоненціальний розподіл є однопараметричним. Кількість інтервалів дорівнює 
, кількість ступенів вільності 
.
4. У додатку Д3 для |
і |
знаходимо |
. Так як |
, то вибраний апріорі теоретичний закон розподілу не узгоджується з емпіричним розподілом і не може бути використаний для статистичного опису розподілу тривалості циклу електронавантажувача в даних умовах, тобто гіпотетично обрана математична модель неадекватно відображає реальний процес.