4.5. Математическая модель ивс модульного типа на основе t -алгоритмов

Для отображения исходных задач из пространства R = С^l[a, b] функций, записанных на некотором формальном входном языке в виде выражений F_i, в модульную ИВС необходимо иметь набор определенных действий или правил отображения, которые позволили бы, основываясь на свойствах операторов из  - пространства, перейти от выражений F_i задач из R к операторной их записи в  с последующим отображением в интегрирующую вычислительную структуру модульного типа [32, 36] . Для этого определим систему правил, позволяющих сделать такой переход, и построим неформальную математическую модель модульной интегрирующей вычислительной структуры.

Для построения модели ИВС необходимо дать понятие базовой машины, или управляющего автомата ИВС (рис. 4.1).

О п р е д е л е н и е 4. Базовой машиной, или управляющим автоматом, ИВС является в смысле [1] конструкции вида

(4.14)

где W - некоторая система правил сложности S;

G - множество базисных операторов для операций из R;

G^-1 - множество обратных базисных операторов для операций из R;

- множество базисных операторов для функций из R;

- множество обратных базисных операторов для функций из R.

Под реализацией базовой машины W^s понимается либо комплект программ, либо автомат, предназначенные для организации работы ИВС.

Вследствие того, что структура операторов для вычисления функций и реализации операций одинакова, то под базисом -пространства понимается просто множество базисных Τ -операторов, представляющих собой схемы вычисления по Шеннону функций или реализации операций из R -пространства. Тогда базовая машина ИВС представится как _, где F_i - выражение, записанное на входном языке ИВС для исходной задачи.

Для построения системы правил W^s неформально введем следующие символы:

1. символ "I" - определяется как связка "или" для построения конструкций при переводе на основе входного языка;

2. символ < > - определяется как операторные скобки для записи выражений, внешних по отношению к языку (входное выражение для УА);

3. символы "", "" - определяются как простые выражения при переводе;

4) символ - определяется как шаг перевода входного слова изF_i в операторную запись. Если имеется конструкция , где , В - входное слово, то она означает символическую запись комплекса Т_А [B] на одном шаге перевода записи F_i в операторную форму.

Рассмотрим процесс построения операторного образа функции f(x) из R в -пространстве. Исходная запись имеет вид:

На первом шаге алгоритма в записи f(X) находится пара вида ( < оператор операции >, < операция f(Х)>) или ( < оператор функции > , < функция из f(X)>).

Основываясь на свойствах Τ-операторов, имеем:

1) действие обратного оператора на его прообраз (операцию или функцию) в R дает единичный оператор Т_е (4.5). При конструировании пары выражение f(X) сокращается на обнаруженный прообраз, а в операторной записи остается образ (оператор T_f или Т_g) вычеркнутой из f(X) операции или функции.

Например имеем запись

Пусть g₂ - оператор операции ,- оператор функцииsin x, тогда действие оператора на f(X) даст пару и в операторной записи останется оператор g₂, (интегрирования); действие на f(X) образует пару и в операторной записи останется оператор (функцииsin x);

2) действие обратного оператора на прямой дает единичный оператор Т_e (4.6) - после обнаружения пар в исходной записи уничтожаются неиспользованные пары по указанному свойству.

В результате реализации всех шагов алгоритма исходная запись превращается в операторное представление следующего вида:

, которую, пользуясь свойством кратности операторов (4.7), можно окончательно представить как - операторная запись исходного выражения f(X).

Таким образом, простое выражение  определяется как

_(4.15)

т.е. на данном шаге перевода F_i в операторную запись образовалcя комплекс вида , где - слово входного языка, кодирующее запись операции из R-пространства в исходной задаче. Таким образом, на данном шаге перевода из F_i выделилось слово g, образом которого является оператор с приоритетом k;

- остаток входного выражения.

Простое выражение  определяется аналогично

_(4.16)

таким образом, на данном шаге перевода F_i - в операторную запись образовался комплекс , где - слово входного языка, кодирующее запись функции из R-пространства в исходной задаче. Следовательно, при переводе из F_i выделилось слово f, образом которого является оператор с приоритетом m; остаток входного выражения.

О п р е д е л е н и е 5. Конструкция вида

_(4.17)

называется t - операцией над входным выражением F_i.

При переводе выражения F_i в операторную запись t - операция над F_i дает либо шаг перевода с образованием комплекса и выделением оператора, либо шаг перевода с образованием комплекса и выделением оператора .

Полагая, что , по индукции имеем:

где

Вообще

Если длина исходного выражения (количество слов) F_i равна L_b, а базовая машина W^S работает со словами длины L_c, то для получения образа выражения R, закодированного символом F_i, в -пространстве необходимо выполнить - операций, каждая из которых переводит слово в соответствующий Т -оператор с приоритетом.

О п р е д е л е н и е 6. Система правил W^S

_(4.18)

над выражением F_i , кодирующим , есть t - алгоритм.

Если теперь к базовой машине W^s добавить дисциплину назначения приоритетов у T-операторов, то в совокупности с базисом получается модель базовой машины (управляющего автомата) MS :

(4.19)

где - процедура назначения приоритетов

Построим математическую модель функционального модуля ИВС. Моделью универсального цифрового интегратора (УЦИ) [86], составляющего основу функционального модуля, является система разностных уравнений интегрирования по Стилтьесу для вычисления приращения интеграла по подынтегральной функции и переменной интегрирования.

В интегрирующих вычислительных структурах модульного типа обработка информации ведется на уровне функциональных зависимостей. В этом случае моделью архитектурной единицы ИВС - функционального модуля - является некоторый оператор, представляющий собой реализацию системы дифференциальных уравнений Шеннона для какой-либо функции безотносительно к аргументу. Например, для цифровой интегрирующей машины (ЦИМ), основу которой составляют УЦИ, система уравнений Шеннона для функции y = sin(tg x) включала бы в себя систему для реализации аргумента y = sin(y₁), т.е. систему для y₁ = tg x· В ИВС то же уравнение реализуется как совокупность операторов T_sin, T_tg, где оператор T_sin[ ] является комплексом, т.е. структура оператора T_sin [ ] не зависит от аргумента.

П р и м е р.

ОператорT_sini [ ] представляется СУШ, имеющей вид:

где и система дифференциальных уравнений Шеннона, определяющая внутреннюю архитектуру ФМ, структурно

реализующего заданную функциональную зависимость изR - пространства; в ( ) записывается произвольный аргумент . Результатом действия оператора T_sin на  является значение функции sin .

В общем виде математическая модель ФМ ИВС как оператора в операторном -пространстве может быть представлена в следующем виде:

_(4.20)

Полной математической моделью ФМ будет система, состоящая из Т -оператора и множества логических функций, обеспечивающих коммутационную полноту ФМ.

В общем вида коммутацию УЦИ в ФМ определяет граф коммутации , гдеN - количество УЦИ в ФМ; Η - отображение, в общем случае многозначное, которое каждому элементу сопоставляет некоторое подмножество, такое, что, [18, 19, 22, 33, 36, 77, 81, 82, 97].

Тогда полную математическую модель ФМ запишем следующим образом

_(4.21)

В частности, если для коммутации УЦИ в ΦМ ввести квадратные матрицы A_p, B_q и СУШ представить в векторной форме [76], то из системы (4.21) можно получить полную математическую модель ФМ в следующей записи:

В

_(4.22)

этом случав любую функциональную зависимость, реализуемую функциональным модулем, полностью определяют две матрицыA_p и B_q, состоящие из нулей и единиц, a также начальные условия, представленные вектором . Пользуясь моделью базовой машины (управляющего автомата) (4.18, 4.19) и моделью функционального модуля (4.21), представим математическую модель интегрирующей вычислительной структуры модульного типа.

_(4.23)