3.1.4.Методика перехода от систем линейных алгебраических уравнений к системе уравнений Шеннона

П

(3.46)

усть нам задана система изn линейных уравнений с п неизвестными.

где А – матрица постоянных коэффициентов:

(3.47)

X – матрица-столбец неизвестных:

(3.48)

В – матрица-столбец свободных членов:

(3.49)

Д

(3.50)

ля того, чтобы заданная система могла быть решена на ЦИМ, необходимо составить систему дифференциальных уравнений первого порядка

,

где

(3.51)

Если при решении полученных дифференциальных уравнений стремится к нулю, то решение системы (3.50) будет стремиться к решению исходной системы алгебраических уравнений (3.46). Следовательно, решение системы алгебраических уравнений получается при решении соответствующей системы дифференциальных уравнений. Начальные условия выбираются путем глубокого решения системы алгебраических уравнений.

При решении системы алгебраических уравнений на ЦИМ возникает вопрос об устойчивости полученной системы. Для того, чтобы получить заведомо устойчивую систему, матрицу коэффициентов А заменяют некоторой матрицей В, которая определяется так:

(3.52)

.

В этом случае для решения той же системы алгебраических уравнений потребуется больше решающих блоков.

3.1.5.Получение программных матриц соединений цифровых решающих модулей

В рассмотренных выше случаях все задачи сводятся к системе уравнений Шеннона (3.3), где – матрицы, определяющиепрограмму решения задачи или, другими словами, программу соединения цифровых решающих модулей.

Рассмотрим пример построения программных матриц соединения цифровых решающих модулей.

В примере 3 была получена система уравнений Шеннона, эквивалентная дифференциальному уравнению

.

Рассмотрим переход от системы уравнений Шеннона к программным матрицам соединения цифровых модулей. Система уравнений Шеннона имеет вид:

Каждый решающий модуль, выполняющий операцию интегрирования, производит умножение подынтегральной функции на приращение независимой переменной, т.е. выполняет операцию типа .

Следовательно, для реализации каждого соотношения типа потребуется один интегратор. Их в программе должно быть 9, но, кроме интегрирования, нам необходимо будет получить суммы приращений с выходов нескольких решающих модулей. Операция суммирования осуществляется на специальных решающих модулях, которые называются сумматорами. При этом при составлении программы коммутации необходимо учесть наличие обратной связи в суммирующем модуле.

Нам в программе потребуется 2 сумматора, следовательно, всего необходимо иметь 11 решающих модулей.

Необходимо учесть наличие независимой переменной. Для удобства составления матриц коммутации предположим, что независимая переменная снимается с выхода первого решающего модуля.

Пронумеруем решающие модули, начиная с конца.

7-й решающий модуль,

8-й решающий модуль,

9-й решающий модуль,

10-й решающий модуль,

11-й решающий модуль,

12-й решающий модуль,

у At+у At+у At – 13-й решающий модуль.

Тогда непосредственно из системы уравнений Шеннона можно записать матрицу соединения решающих модулей А_P : (3.53)

Матрица соединений решающих модулей А_P: (3.53)

№ п/п		Выходы оды
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Входы	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	2	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	3	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	4	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
	5	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	6	0	0	0	1	1	1	0	0	0	0	0	0
	7	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
	8	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
	9	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
	10	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	11	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
	12	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1

и матрицу соединения решающих модулей А_q :

Матрица соединения решающих модулей А_q : (3.54)

№ п/п		Выходы оды
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Входы	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	2	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0
	3	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	4	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	5	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0
	6	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	7	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	8	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	9	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	10	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	11	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	12	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

Рассмотрим второй пример составления программных матриц коммутации цифровых решающих модулей.

Для системы дифференциальных уравнений (3.43) была получена система уравнений Шеннона (3.44).

Аналогично предыдущему примеру пронумеруем решающие модули, начиная с последнего соотношения системы уравнений Шеннона. В отличие от предыдущего примера, в программе могут отсутствовать суммирующие модули, а их роль могут выполнить интеграторы, т.к. все суммы приходят на вход подынтегральной функции, где предусмотрена возможность суммирования приращений.

После нумерации решающих модулей можно получить следующую программную матрицу коммутации цифровых решающих модулей А_p: (3.55)

Матрица коммутаций цифровых решающих модулей А_p: (3.55)

Выходы

Входы

и программную матрицу коммутации Аq : (3.56)

П

Выходы

рограммная матрица коммутаций Аq : (3.56)

Входы

Входы	10	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	11	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	12	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	13	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	14	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	15	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0