3.2.3.Задача №3

1. Решение уравнения Бесселя.

х²у" + ху' + (х² – р²)у = 0.

2. Начальные условия: х₀ = 1; р = 1.

3. Интервал решения задачи.

Получим 3 – 4 перехода, при этом достаточно увидеть затухание амплитуды синусоиды Бесселя.

1  х  22,1.

4. Теоретическое решение задачи:

х²у" + ху' + (х² – р²)у = 0, (3.71)

где р – const.

Уравнение (3.71) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, общий вид которого представляется

y" + p(x)y + g(x)y = 0. (3.72)

Если р(х) и у(х) являются многочленами, то они могут представиться сходящимися рядами:

(3.73)

В этом случае решение уравнения (3.72) будет иметь вид

(3.74)

Обратимся к уравнению (3.71) и приведем его к виду (3.72)

(3.75)

Здесь .

Первое частное решение уравнения (3.71) ищем в виде обобщенного степенного ряда

(3.76)

Подставляя у, у' и у" в уравнение (3.71), получим

Преобразовав его, получим

(3.77)

Теперь частное решение уравнения Бесселя получит вид

(3.78)

где (функция Эйлера).

Допустим, что надо найти частное решение у_р(х) при р=1. Для этого имеем:

(3.79)

(3.80)

По этим выражениям можно найти начальные условия при x₀ = 1:

y₁ = 0,440050; у'₁ = 0,325147.

5. Запись задачи в приращениях:

х²у" + ху' + (х² – p²)y = 0;

;

.

Введём вспомогательные переменные:

(3.81)

Данную систему (3.81) запишем в виде

dy₃ = – dy₈ – dy₆ – dy₅ . (3.82)

Выразим (3.81) и (3.82) через систему Шеннона:

(3.83)

где

Переходим к приращениям:

(3.84)

6. Составление блок-схемы решения задачи, выбор решающих блоков, выводимых на печать. На основании системы (3.84) составляем функциональную схему для решения уравнения Бесселя на РБ (рис. 3.8).

Примечание: x_i = 0,1.

7. Вычисление функции Бесселя дается в прил. 3.2.

Рассчитаем оценку погрешности на интервале 1  x  8,8 (см. прил. 3.2).

8. Выводы и оценка результатов.

Рис. 3.8

На основании наблюдений данных машины и теоретических данных можно сказать, что погрешность не велика (±0,00002).

Погрешность вычисления функции Бесселя на РБ (прил. 3.2)

Приложение 3.2

X		У1(х) машинное		У1(х) табличное		Погрешность
1,0		0,44010		0,44010		0,00000
1,1		0,47098		0,47097		0,00001
1,2		0,49835		0,49836		0,00001
1,3		0,52205		0,52205		0,00000
1,4		0,54203		0,54207		0,00004
1,5		0,56193		0,56190		0,00003
1,6		0,57023		0,57021		0,00002
1,7		0,57812		0,57812		0,00000
1,8		0,58162		0,58160		0,00002
1,9		0,58545		0,58542		0,00003
2,0		0,57811		0,57813		0,00002
2Д		0,56840		0,56836		0,00004
	2,2		0,55859		0,55860		0,00001
	2,3		0,54004		0,53999		0,00004
	2,4		0,52136		0,52135		0,00001
	2,5		0,49949		0,49946		0,00003
	2,6		0,47510		0,47509		0,00001
	2,7		0,45312		0,45310		0,00002
	2,8		0,41012		0,41010		0,00002
	2,9		0,37551		0,37550		0,00001
	3,0		0,34369		0,34366		0,00003
X		У1(х) машинное		У1(х) табличное		П Продолжение огрешность
	ЗД		0,30880		0,30879		0,00001
	3,2		0,26531		0,26530		0,00001
	3,3		0,22466		0,22464		0,00002
	3,4		0,17927		0,17925		0,00002
	3,5		0,13865		0,13866		0,00001
	3,6		0,09747		0,09747		0,00000
	3,7		0,06167		0,06168		0,00001
	3,8		0,01285		0,01285		0,00000
	3,9		-0,02711		-0,02710		0,00001
	4,0		-0,06604		-0,06601		0,00003
	4,1		-0,09375		-0,09374		0,00001
	4,2		-0,13866		-0,13865		0,00001
	4,3		-0,17188		-0,17186		0,00002
	4,4		-0,20218		-0,20215		0,00002
	4,5		-0,23109		-0,23110		0,00001
	4,6		-0,25024		-0,25022		0,00002
	4,7		-0,27490		-0,27493		0,00003
	4,8		-0,29855		-0,29855		0,00000
	4,9		-0,31446		-0,31447		0,00001
	5,0		-0,32763		-0,32765		0,00002
	5,1		-0,33716		-0,33716		0,00000
	5,2		-0,34279		-0,34277		0,00002
	5,3		-0,34575		-0,34578		0,00003
	5,4		-0,34541		-0,34539		0,00002
	5,5		-0,34150		-0,34149		0,00001
	5,6		-0,33203		-0,33205		0,00002
	5,7		-0,32420		-0,32420		0,00000
	5,8		-0,29688		-0,29690		0,00002
	5,9		-0,29492		-0,29491		0,00001
	6,0		-0,27674		-0,27672		0,00002
	6,1		-0,25586		-0,25585		0,00001
	6,2		-0,23297		-0,23296		0,00001
	6,3		-0,20814		-0,20817		0,00003
	6,4		-0,18168		-0,18168		0,00000
6,5		-0,15388		-0,15389		0,00001
6,6		-0,12502		-0,12500		0,00002
6,7		-0,09537		-0,09532		0,00002
6,8		-0,06524		-0,06526		0,00002
6,9		-0,03491		-0,03494		0,00003
7,0		-0,00049		-0,00047		0,00002
7,1		0,02515		0,02515		0,00000
7,2		0,05549		0,05460		0,00001

X Окончание	У1(х) машинное	У1(х) табличное	Погрешность
7,3	0,08356	0,08357	0,00001
7,4	0,10963	0,10965	0,00002
7,5	0,13527	0,13528	0,00001
7,6	0,15923	0,15925	0,00002
7,7	0,18134	0,18136	0,00002
7,8	0,20139	0,20140	0,00001
7,9	0,21921	0,21921	0,00000
8,0	0,23468	0,23467	0,00001
8,1	0,24765	0,24768	0,00003
8,2	0,25804	0,25802	0,00002
8,3	0,26579	0,26578	0,00001
8,4	0,27084	0,27081	0,00003
8,5	0,27344	0,27339	0,00005
8,6	0,27284	0,27280	0,00004
8,7	0,26977	0,26975	0,00002
8,8	0,26466	0,26466	0,00000