3.2.Примеры структурной организации вычислительного процесса в цим.

Решить дифференциальное уравнение 2-го порядка вида

y(x) = – y”(x). (3.62)

Как известно, аналитическим решением этого уравнения являются функции:

y₁(х) = sin(x); у₂(х) = cos(x).

Действительно,

y₁(x) = sin(x) : sin(x) ' = cos(x); (cos x)'= – sin(x);

y₂(x) = cos(x) : (cos(x)'= – sin(x); (– sin(x)'= – cos(x).

Дифференциалом dy – df(x) функции у = f(x) называется главная линейная относительно x часть приращения функции (рис 3.4). Известно, что dy = y_xdx, где dx =x – дифференциал независимой переменной.

Геометрически дифференциал функции в точке x₀ есть приращение ординаты касательной, проведённой к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой x₀, и тем меньше отличается от приращения функции в точке x₀, чем меньше х.

Рис. 3.4 Геометрическое представление дифференциала функции

При малых х справедливо равенство y  dy.

Пользуясь понятием дифференциала, аналитическое решение уравнения (3.62) примет следующую разностную форму:

(3.63)

Тогда с учётом системы (3.63) схема структурной реализации уравнения (3.62) на цифровых интеграторах примет вид показанный на рис. 3.5.

Рис. 3.5

Аналогично можно для примера представить структурную реализацию других функциональных зависимостей на цифровых интеграторах:

у(х) – е^±х, е^±х = е^±хх.

y(x) = x²; x² = 2x∙x.

При решении дифференциального уравнения (3.62) процедурным методом потребовалось бы составить программу вычисления следующих выражений:

, .

.

Объём вычислений при этом будет существенно большим по сравнению со структурной реализацией уравнения (3.62).

3.2.1.Задача №1

Извлечь квадратный корень из функции y(x) = ksin(х), то есть вычислить функцию

.

Начальные условия k = 0,25; y(x₀) = 0.

Интервал решения задачи: задачу можно решать в интервале (0  ).

Теоретическое решение.

Пусть дана функция U, требуется найти выражение Р = , то есть корень квадратный от заданной функции. Найдём дифференциал функцииp, который равен . Переходя к приращениям, получимили.

Для нашего случая .

Данное выражение можно реализовать по схеме показанной рис. 3.6.

Задачу будем решать с интервалом на печать х_i = 0,1.

Рис. 3.6

X	Y1(машинное)	Y1(табличное)	Погрешность
8,9	0,25608	0,25607	0,00001
9	0,24988	0,24988	0,00000
9,1	0,23352	0,23350	0,00002
9,2	0,21951	0,21852	0,00001
9,3	0,20049	0,20050	0,00001
9,4	0,18168	0,18169	0,00001
9,5	0,16131	0,16132	0,00001
9,6	0,13956	0,13954	0,00002
9,7	0,12448	0,12446	0,00002
9,8	0,09287	0,09288	0,00001
9,9	0,06840	0,06841	0,00001
10,0	0,04349	0,04335	0,00001

3.2.2.Задача №2

1. Решить уравнение:

у" + 2у' + 2у = 0. (3.64)

Необходимо получить зависимости у, у' и у" от независимой переменной х.

2. Начальные условия:

х₀ = 0, у = 1,

у' = – 1, у" = 0.

3. Интервал решения задачи.

Задачу можно решать в интервале от 0 до 4 радиан, так как материальная точка изменяется в этом интервале очень наглядно.

4. Теоретическое решение задачи.

Определим сначала максимальное значение у, у' и у" решения уравнения (3.64):

r² + 2r + 2 = 0;

r₁₂ = – 1 ± j.

Отсюда получим:

r₁ = – 1 + j; r₂ = – 1 – j;

k₁ = е^{– х} cos(x); k₂ = е^{– х} sin(x).

Тогда решение уравнения (3.64) примет вид

y = с₁e^{– х} cos(x) + c₂e^{– х} sin(x). (3.65)

Определим постоянные c₁ и с₂:

у' = – с₁e^{– х} sin(x) – с₁e^{– х} cos(x) – с₂e^{– х} sin(x) + с₂e^{– х} cos(x).

Отсюда

– 1 = – с₁ + с₂ ; с₁ = 1; с₂ = 0.

Подставляем значения коэффициентов в уравнение (3.65), получим

y = e^{– х} cos(x). (3.66)

Первая и вторая производные запишутся так:

(3.67)

y” = 2e^{– х} sin(x). (3.68)

В первой и во второй производной обе функции e^{– х} и sin (x + /4) имеют максимальные значения – 1, следовательно, и их произведение не может быть больше единицы. Поэтому первая производная не может быть больше а вторая – не больше 2. Отсюда масштабные коэффициенты для них могут быть взяты равными 2.

Следовательно, начальные условия будут такими:

х₀ = 0; у = 0,5; у'= – 0,5; у" = 0.

5. Запись решения задачи в приращениях по системе Шеннона.

(3.69)

.

.

или

Выражение (3.69) запишем через приращения

(3.70)

6. Составим блок-схему решения задачи согласно полученной системе уравнений (3.70) (рис 3.7).

Рис. 3.7

Интервал печати x = 0,1.

7. Результаты решения задачи, оценка погрешностей.

Теоретическое решение задачи дает нам табличные данные (см. прил. 1). Машинные данные, как мы видим, очень мало отличаются от табличных данных.

8. Выводы и оценка результатов.

Результаты решения: (приводится лента расчета).

Лента расчета (приложение 3.1)

X	Табличные значения у	Машинное значение у	Погреш - ность	У" табличное	У" машинное	Погреш - ность
0,5	0,26613	0,26610	0,00003	0,29078	0,29080	0,00002
1,0	0,09938	0,09930	0,00008	0,30955	0,30950	0,00005
1,5	0,00780	0,00780	0,00000	0,22256	0,22250	0,00006
2,0	-0,02815	-0,02810	0,00005	0,12305	0,12300	0,00005
2,5	-0,03288	-0,03280	0,00008	0,04912	0,04910	0,00002
3,0	-0,02464	-0,02460	0,00004	0,00702	0,00700	0,00002
3,5	-0,01696	-0,01690	0,00006	-0,01059	-0,01060	0,00001
4,0	-0,00598	-0,00590	0,00008	-0,01386	-0,01380	0,00006
4,5	-0,00116	-0,00110	0,00006	-0,01085	-0,01080	0,00005