14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Пальчик_Теория вероятностей

11. Понятия о статистических методах. Генеральная совокупность (ГС). Выборка и требования к ней. Полигон, гистограмма, эмпирическая функция распределения

Исследование случайных явлений опирается на эмпирические дан- ные, полученные в результате наблюдения этих случайных явлений. Обычно в результате эксперимента наблюдаются значения некоторого ин- тересующего исследователя признака X (или нескольких признаков X1, ..., Xn). Значения признака X, отмеченные в результате наблюдений, являются случайными, так как зависят от многих условий во время эксперимента (точность приборов измерения, температура окружающей среды, влаж- ность и т.д.). Поэтому признак X считается СВ, а его значения называют

наблюдавшимися значениями СВ X.

Анализ экспериментальных данных осуществляется на основании ТВ. Но экспериментальные данные не всегда точно подчиняются положе- ниям ТВ.

МС и занимается разработкой методов согласования эксперимен-

тальных данных с теоретическими положениями ТВ.

Можно выделить следующие три этапа в статистическом анализе эксперимента:

(1)сбор данных;

(2)обработка данных;

(3)статистические выводы (прогнозы, решения).

Главной задачей этапа (3) является определение закона распределе- ния СВ X (или системы СВ (X1, ..., Xn)) или, если закон известен, определе-

ние неизвестных параметров этого закона.

Пусть в случайном эксперименте E наблюдаются значения признака X. Математической моделью E является тройка (ΩX, FX, F(x)), где ΩX − множество возможных значений СВ X; F(x) − функция распределения СВ X. Чтобы получить F(x), повторяют E n раз и получают n наблюдавшихся

85

Члены последовательности (11.1) иногда называют вариантами, а саму последовательность (11.1) называют простым статистическим дис-

кретным рядом.

Поскольку конечной целью статистического исследования экспери-

мента E является построение его математической модели (WX, FX, F(x)), ко- торая была бы адекватной E, то к выборке предъявляется требование, что-

бы она достаточно хорошо представляла генеральную совокупность WX, т.е. была репрезентативной, причем должна быть одна и та же вероят-

ность для каждого элемента из WX быть включенным в выборку (11.1). Репрезентативности выборки можно добиться, сделав ее объем n

достаточно большим. Например, можно осуществить k серий n-кратных по- второв E в одинаковых условиях. Тогда будем иметь k выборок объема n.

Эти k выборок объема n можно рассматривать и как одну выборку из

WX объема kn. Но для статистических методов иногда целесообразнее рас- сматривать k выборок (11.2) объема n. В этом случае в МС принято сле- дующее

11.1. Соглашение. (Основное требование к выборке в МС). Каждую из выборок (11.2) рассматривают как реализацию n-мерной

СВ X = (X1,..., Xn), где составляющая Xi , i = 1, n , есть значение величины X

в i-м наблюдении.

Результаты n измерений X считаются независимыми в совокупности случайными величинами X1, ..., Xn с одной и той же функцией распреде- ления F(x) (как и у X).

В соответствии с этим требованием 11.1 считают, что

есть n-мерная СВ, у которой компонента Xi , i = 1, n , есть значение X в i-м

наблюдении.

86

Закон распределения СВ (11.3) в этом случае полностью определяет- ся формулой

Запись (11.4) выражает (в соответствии с 9.6 и (9.7)) условие незави- симости в совокупности n измерений СВ X. Оно означает, что по исходу xi i-го измерения X мы не можем предсказать исход xj j-го измерения СВ X.

Иногда под генеральной совокупностью понимают и множество ре- альных объектов, которые исследуются на признак X. Тогда под выборкой понимают часть объектов из генеральной совокупности, которые иссле- дуются на признак X, и значения этого признака записывают в виде (11.1). Так что с точки зрения МС изучение признака X не зависит от истолкова- ния генеральной совокупности и выборочной совокупности как множества реальных объектов. Однако в последнем случае следует различать повтор- ную и бесповторную выборки.

Выборка называется бесповторной, если из генеральной совокупно- сти элементы извлекаются, фиксируются и не возвращаются обратно в ге- неральную совокупность. Если же они возвращаются в генеральную сово- купность, то выборка называется повторной.

При большом объеме выборки удобно делать группировку данных: наблюдавшиеся значения СВ X располагают в порядке возрастания и под- считываются частоты mi (или относительные частоты mi/n) появления оди- наковых значений СВ X.