14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Пальчик_Теория вероятностей

11

СОКРАЩЕНИЯ ТЕРМИНОВ

ТВ – теория вероятностей МС – математическая статистика

в.э. – вероятностный эксперимент э.д. – экспериментальные данные СВ – случайная величина НСВ – непрерывная СВ ДСВ – дискретная СВ

МО – математическое ожидание О – начало доказательства или решения Ο/ – пустое множество

Ä – конец доказательства или решения Æ – без доказательства ММ – математическая модель э.с. – элементарное событие

R – множество действительных чисел

Rn – n-мерное линейное векторное пространство ГС – генеральная совокупность СГ – статистическая гипотеза КО – критическая область ОПГ – область принятия гипотезы

12

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

1. Предмет и задачи ТВ и МС. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Элементы комбинаторики.

Относительная частота события и его свойства

Детерминированные эксперименты − это эксперименты, результаты которых можно предвидеть заранее на основании естественно-научных за- конов.

Вероятностные (или стохастические, или случайные) экспери-

менты − это эксперименты, результаты которых нельзя предвидеть (они случайны).

Однако, если вероятностные эксперименты (в.э.) повторять много- кратно, то совокупность исходов в.э. подчиняется определенным законам (изучением этих законов занимается ТВ).

1.1.Пример. С помощью специальной аппаратуры изучается кар- диограмма пациента. Вид этой кардиограммы нельзя предвидеть заранее. Однако анализ множества кардиограмм больных с данным заболеванием позволяет заметить в них закономерности, характерные для данного забо- левания.

Изучать указанные закономерности удобно методом моделирования, то есть строить математическую модель в.э. В математической модели закономерности описывают уравнениями, функциями и т.д.

Вопрос о том, насколько хорошо построена модель и хорошо ли она согласуется с практикой, изучается математической статистикой.

Для любого эксперимента Е можно выделить некоторые события (исходы), характеризующиеся тем, что любое повторение Е может закон- читься одним из этих событий.

1.2.Определение. Элементарным событием w, связанным с экс-

периментом Е, называется любой мысленно возможный исход (результат) в.э. Е. Совокупность всех элементарных событий для Е образует про-

странство элементарных событий Ω для Е. Ω также иногда называют

полной группой событий, связанных с в.э. Е. Тот факт, что Ω состоит из всевозможных элементарных событий, записывают так:

13

1.3. Пример. Пусть Е состоит в бросании шестигранной игральной кости, а результат его − число очков wi на горизонтальной грани. Тогда

1.4.Определение. Событием (связанным с в.э. E) называется вся- кое подмножество из Ω (или: событие − всякий результат опыта в рамках E). События обозначают большими буквами: A Ω.

1.5.Пример. Пусть E 1.3. A − событие, состоящее в выпадении четного числа очков. Тогда

A = {w2, w4, w6}. A Ω .

A наступит, если единичный опыт закончится одним из элементар- ных событий w2, w4 или w6.

Вообще условимся говорить, что событие A произошло (наступило), если единичный опыт закончился одним из элементарных событий w A.

Элементарные события, входящие в А, называют обычно благопри-

ятствующими событиями для А.

Если Е – в.э., Ω – его пространство событий, А – произвольное собы- тие, то А называют невозможным (относительно Е), если A Ç W = O/ , и достоверным (относительно Е), если A = Ω .

1.6. Определение. Пусть задана пара (Е, Ω). Событие A называют противоположным к А, если оно дополняет А в Ω, т.е.

1.7.Пример. Пусть (Е, Ω) 1.3. Если А = {w2, w4, w6}, то

A= {w1, w3, w5}.

1.8.Определение. Суммой (объединением) двух событий А и В

называют событие, содержащее те элементарные события, которые при- надлежат хотя бы одному из событий А или В, т.е.

A B = A + B = {w / w A или B}.

14

1.9.Определение. Произведением (пересечением) двух событий А

иВ называют событие, состоящее из тех и только тех элементарных собы-

тий w Î W, которые принадлежат как А, так и В, т.е.

A × B = A Ç B = {w / w Î A и w Î B}.

1.10.Определение. Разностью двух событий А и В называют собы- тие, состоящее из тех элементарных событий w Î B, которые входят в А, но не входят в В.

1.11.Определение. Два события А и В называют несовместимыми, если их пересечение является невозможным событием, т.е. A Ç B = O/ .

Построение математической модели в.э. производят в следующей последовательности:

1)составляется пространство (Е, W) элементарных событий в.э. Е;

2)выделяется класс событий F, достаточных для описания законо- мерностей изучаемого явления;

3)определяется степень возможности появления событий из класса F (т.е. вводится вероятностная мера для наступления событий, т.е. «единица» измерения возможности наступления событий). Эту меру события А из F называют вероятностью появления события А и

обозначают Р(А). Саму модель тогда обозначают (W, F, P).

Выше отмечали, что события – это подмножества множества W. Значит, F – это некоторая совокупность подмножеств множества W.

В курсе элементарной математики рассматривается следующий

факт:

1.12. Теорема. Если множество W состоит из |W | = n элементов, то число всех подмножеств в W равно 2n.

Если n велико, то и число 2n велико. Поэтому в качестве класса F выбирают не все подмножества из W, а некоторую часть их, называемую алгеброй событий.

1.13. Определение. Класс F подмножеств из W называют алгеброй событий, если выполняются следующие аксиомы:

(1)W Î F;

(2)AÎ F AÎ F;

(3)A Î F, B Î F A È B Î F.

15

Если же потребовать, чтобы класс событий F обладал свойствами

(1), (2) в 1.13 и

(3′) A1, A2 , ..., An ,... F i∞=1 Ai F ,

то F называется тогда σ – алгеброй событий. Понятие σ – алгебры ввел Э. Борель (1871 – 1956 гг.), французский математик.

Из условий (2), (3), (3′) в 1.13 следует, что пересечение и разность событий из F также принадлежат F.

(Ω, F) называется тогда измеримым пространством для Е.

1.14. Пример. Пусть Ω = {x1, x2, x3}. Тогда

F = {x1, x2 , x3 , (x1, x2 ), (x1, x3 ), (x2 , x3 ), (x1, x2 , x3 ), Ο/} является алгеброй. |F| = 23 = 8.

Нам осталось осуществить этап 3) построения математической мо- дели (Ω, F, P) в.э. Е.

Для этого сначала введем понятие частоты появления событий. 1.15. Определение. Пусть Е повторяется n раз, и в m случаях насту-

пило событие А. Тогда число m называют частотой, а число m/n – отно- сительной частотой события А, и обозначается

Легко видеть, что W(A) обладает свойствами

i =1

где Ai Ç Aj = O/ для i ¹ j (т.е. они попарно несовместимы).

В самом деле, свойства (1.5) и (1.6) очевидны. (1.7) легко видно для

n = 2

W ( A B) = m( A) + m(B) = m( A) + m(B) = m( A B) . n n n n

Относительная частота события является послеопытной (апостери- орной) характеристикой события. А проводить опыты – дело дорогостоя- щее, а часто и трудноосуществимое.

16

Важное качественное свойство W(A) – его устойчивость. Т.е. при увеличении числа опытов W(A) колеблется около некоторой константы, и амплитуда колебаний уменьшается при n ® ¥ .

1.16. Пример. Пусть Е – бросание монеты, W = {герб, цифра}. В на- чале XVIII века некто Бюффон бросил монету 4040 раз. Герб появился

2048 раз. Wгерба = 2048 = 0,5069. Некто Пирсон в начале XX века бросил

4040

монету 24000 раз. У него Wгерба = 0,5005. Wгерба устойчиво держится возле константы 1/2.

В ТВ часто приходится пользоваться формулой (1.4). В частности, возникает задача о подсчете числа способов, которыми может осуществ- ляться некоторое событие. Задачи такого рода называются комбинатор-

ными.

Нам потребуется ряд простейших комбинаторных понятий и фор-

мул.

1.17. Определение. Размещениями из m элементов по n называются такие множества (наборы) элементов, каждое из которых содержит n эле- ментов, взятых из данных m элементов, и которые отличаются одно от

1.18. Определение. Если размещения из m элементов составляются по m элементам (то есть, различаются только порядком элементов), то та- кие размещения называются перестановками и их число обозначается

Amm = Pm .

1.19. Определение. Если из всех размещений Amn (n £ m) мы отберем только те, которые отличаются друг от друга по крайней мере одним (или более) элементом, то получим соединения (наборы), называющиеся соче-

таниями. Их число Cmn или ( nm ).

17

1.20. Пример. В ящике 13 деталей, из них 8 – с браком. Наудачу бе- рутся 4 детали. Каковы шансы, что все они бракованные?

О. (Решение). Всего можно взять 4 детали C134 способами, чтобы на-

боры были попарно различными.

Благоприятные возможности, чтобы наборы были из бракованных деталей, составляет число C84 . По (1.4) имеем: C84 / C134 =14 /11×13. Ä.

2. Вероятностная мера события. Аксиомы А.Н. Колмогорова. Классическое, геометрическое, статистическое определение вероятности события. Метод экспертных оценок. Исчисление вероятностей событий (сложение)

Недостатком относительной частоты W(A) события А является то, что W(A) – послеопытная характеристика события А. Для прогнозов важно иметь доопытную (априорную) характеристику наступления события А. Эту характеристику и называют вероятностью появления события А и обозначают Р(А).

Ранее мы определили событие А как подмножество множества Ω, связанного с в.э. Е.

2.1. Определение. Пусть задан в.э. Е. Пусть Ω – пространство эле- ментарных событий для Е, F – σ -алгебра, выделенная в Ω. Действитель- ная функция Р, ставящая каждому событию A F в соответствие действи- тельное число Р(А), называется вероятностной мерой на F, если выпол- няются следующие аксиомы (А.Н. Колмогоров, 1933 год):

3К. Для любой последовательности попарно несовместимых событий ( Ai Ç Aj = O/ , i ¹ j) A1,K, An ,K выполняется соотношение

Р(А) называют вероятностью события А. Вероятностную меру Р на- зывают иногда распределением вероятности на пространстве Ω. Тройку

(Ω, F, P) называют математической вероятностной моделью для экспе-

римента Е.

18

2.2.Пример. Пусть Е – подбрасывание монеты, Ω = {w1, w2 }, где

w1 – появление герба, w2 – появление цифры. F = {Ο/, w1, w2 , Ω} . Опреде- лим на F функцию Р следующим образом:

P(Ο/) = 0, P(w1) = 1/ 2, P(w2 ) = 1/ 2, P(Ω) = 1.

Тогда (Ω, F, P) – модель для Е в смысле определения 2.1. Если же на F определить функцию Р1 следующим образом:

то (Ω, F, P1) – модель для Е в смысле определения 2.1. Возникает вопрос: какая же модель лучше?

Если монета однородна, то (Ω, F, P). Если же центр тяжести монеты смещен к плоскости герба, то лучше модель (Ω, F, P1).

2.3.Определение. (Классическое или Лапласовское определение

вероятности). Пусть задан в.э. Е с конечным числом элементов в Ω = {wi / i = 1, n}, в котором элементарные события wi равновероятны, т.е. P(wi ) = 1/ n. Тогда Р(А) для A Ω есть отношение числа элементарных со- бытий, благоприятных для А, к общему числу элементарных событий в Ω:

Если же |Ω| = ∞, то определение 2.3. не годится.

2.4. Определение. (Геометрическое определение вероятности). Элементарные события трактуем как точки пространства Rn, n = 1, 2, 3, события трактуем как подпространства из Rn. Для А F имеем по опреде- лению

где μ означает длину для R, площадь для R2 и объем для R3.

19

2.5. Пример. На отрезок ОА длиной l брошены 2 точки В и С. Какова вероятность того, что из отрезков ОВ, ВС, СА получится треуголь- ник?

О. Пусть |OB| = x, |BC| = y, |CA| = l – (x + y).

Тогда

Изобразим геометрически на плоскости ХОУ благоприятные воз- можности [( ) – ( )] и все возможности для х и у. Последние – это множество пар (х, у) с 0 £ x £ l, 0 £ y £ l, т.е. квадрат со сторонами l (рис. 2.1). Благоприятные возможности – заштрихованный треугольник.

l

Справедливость определения (2.4) основана на свойстве устойчиво- сти относительной частоты.

2.6. Определение. Пусть имеется n экспертов, мнения которых равноценны. Если m из них высказали предпочтение событию А, то

20