14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Вакульчик_Опред интеграл

поверхностей вращения ...........................................................................................

126

VI. Физические (механические) приложения определенного интеграла .........

139

VII. Решение нулевого варианта из внеаудиторной контрольной работы ........

153

ЗАДАНИЯ К ЗАЧЕТУ (нулевой вариант) .......................................................................

160

ПРИЛОЖЕНИЕ ..................................................................................................................

161

УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 8. Функции нескольких переменных .........................................

167

Введение .........................................................................................................................

167

Дидактические цели обучения .....................................................................................

167

Учебно-методическая карта модуля ............................................................................

168

Графическая схема модуля ...........................................................................................

169

Информационная таблица «Функции нескольких переменных» ............................

170

Краткое содержание теоретического материала ........................................................

173

8.1. Понятие ФНП, область определения и график ФНП. Линии уровня.

Примеры графиков простейших функций двух переменных ............................

173

8.2. Предел ФНП в точке. Непрерывность ФНП .................................................

175

8.3. Частные и полные приращения ФНП. Частные производные

и их геометрический смысл ..................................................................................

177

8.4. Дифференцируемость ФНП ...........................................................................

181

8.5. Полный дифференциал ФНП, его применение

в приближенных вычислениях ..............................................................................

182

8.6. Дифференцирование сложных функций .......................................................

184

8.7. Инвариантность формы первого дифференциала ФНП ..............................

186

8.8. Производная от ФНП, заданной неявно ........................................................

187

8.9. Производные и дифференциалы высших порядков ....................................

188

8.10. Производная по направлению ......................................................................

191

8.11. Градиент .........................................................................................................

193

8.12. Геометрические приложения ФНП .............................................................

195

8.13. Экстремум ФНП ............................................................................................

197

8.14. Условный экстремум ....................................................................................

200

8.15. Нахождение наибольшего и наименьшего значений ФНП

в замкнутой области ...............................................................................................

202

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРОВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ .....

204

Учебно-информационный блок для проведения практических занятий .................

204

Основная и дополнительная литература .....................................................................

204

непрерывность ФНП. Техника нахождения частных производных ........................

205

II. Полное приращение и полный дифференциал. Применение

дифференциала в приближенных вычислениях. Частные производные

и дифференциалы высших порядков ........................................................................

210

III. Дифференцирование сложных функций. Дифференцирование неявных

функций. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Производная по направлению и градиент ..............................................................

214

IV. Экстремум ФНП. Условный экстремум. Нахождение наибольшего и

наименьшего значений ФНП в замкнутой области ...............................................

221

V. Контрольная работа по теме «ФНП» .............................................................

225

ТРЕХУРОВНЕВЫЕ ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

к разделу «Функции нескольких переменных» ...............................................................

226

ГЛОССАРИЙ ......................................................................................................................

242

Студент должен знать

Студент должен уметь

− типовые задачи, приводящие к понятию

− записывать по памяти таблицу ин-

определенного интеграла;

тегрирования основных классов элемен-

− основные определения, связанные с по-

тарных функций;

нятием определенного интеграла;

− вычислять определенный интеграл с

− основные свойства определенного инте-

помощью формулы Ньютона – Лейбница;

грала;

− использовать при вычислении опре-

− таблицу интегрирования основных

деленного интеграла его основные

классов элементарных функций;

свойства;

− формулу Ньютона – Лейбница вычис-

− применять при вычислении опреде-

ления определенного интеграла;

ленного интеграла методы замены пе-

− интегрирование заменой переменной и

ременной и интегрирования по частям;

интегрирование по частям в определенном

− вычислять по определению несобст-

интеграле;

венные интегралы первого и второго

− определение и вычисление несобствен-

рода;

ных интегралов первого и второго рода;

− применять признаки сходимости не-

− признаки сходимости несобственных

собственных интегралов первого и вто-

интегралов первого и второго рода;

рого рода;

− геометрические приложения опреде-

− применять определенные интегралы

ленного интеграла;

к вычислению площадей фигур, длин

− механические и физические приложе-

дуг, площадей поверхностей вращения,

ния определенного интеграла

объемов тел;

− применять определенные интегралы

к вычислению различных величин, не-

обходимость в определении которых

возникает при решении задач механиче-

ского и физического содержания

Номер

Наглядные

Формы

Название вопросов,

практиче-

и методи-

контроля

которые изучаются на лекции

ского

ческие

знаний

занятия

пособия

1. Задачи, приводящие к понятию опреде-

2, 4, 7, 8,

ленных интегралов. Определенный интеграл

I, II

ПДЗ

как предел интегральных сумм. Основные

15

свойства определенного интеграла

2. Теорема о производной интеграла по

верхнему пределу. Формула Ньютона –

Лейб-

III

2, 4, 7, 8

Опрос

ница. Интегрирование по частям и замена пе-

ременных в определенном интеграле

3. Несобственные интегралы (Н.И.)

с бес-

конечными пределами. Несобственные инте-

IV, V

2, 4, 7, 8

Р, ПДЗ

гралы от неограниченных функций, основные

свойства. Абсолютная и условная сходимости

4. Приложение интегралов к вычислению

VI

2, 4, 7, 8

Р, ПДЗ

площадей плоских фигур, длин дуг кривых

5. Приложение интегралов к вычислению

ИДЗ,

объемов тел и площадей поверхностей враще-

VII, VIII

2, 4, 7, 8

ния. Физические приложения определенного

опрос

интеграла

n

тегральной суммы

∑ f (a k ) × Dxk

при условии, что максимальное

Dxk ® 0 , если он

k =1

существует,

не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора точек ak

на элементар-

b

def

n

ном промежутке. Обозначается ∫ f ( x)dx =

lim

∑ f (α k )×Dxk

a

max

xk

→0 k =1

Если f ( x) ÎC[a,b] и для нее

существует

первообразная

F ( x) = f ( x) , то

b

( x) dx = F (b) - F (a) (формула Ньютона – Лейбница).

∫ f

a

b

b

b

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле ∫udv = uv

-

∫vdu .

a

a

a

b

β

Замена переменной в определенном интеграле ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x (t )) x¢(t ) dt .

a

α

Вычисление несобственных интегралов

+∞

B

∫

f (x)dx =

lim

∫ f (x)dx – несобственный интеграл I рода

a

B→+∞

a

b

c−ε1

b

c Î[a, b] – точка разрыва II рода.

∫ f (x)dx = lim

∫

f (x)dx + lim

∫

f (x)dx,

a

ε1

→0

a

ε 2 →0

c+ε 2

1.

Пусть x Î[a, +¥)

и 0 < ϕ(x) < f (x) ,

+∞

+∞

a)

if

∫

f (x)dx (1) –

сходится, то и ∫ j(x)dx (2) – сходится.

a

0

б)

if (2) – расходится, то и (1) – расходится.

2.

if

$

lim

f (x)

= k, k ¹ 0, k ¹ ¥, то несобственные интегралы (1) и (2) сходятся или

x→∞ j(x)