Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4606 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пензенский Государственный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Вакульчик_Опред интеграл

.pdf
Скачиваний:
42
Добавлен:
18.05.2015
Размер:
3.63 Mб
Скачать
☆

12.Квадратная доска состоит из 2 белых и 2 черных клеток, располо- женных в шахматном порядке. Сторона каждой клетки равна едини- це длины. Рассмотрим прямоугольник со сторонами, параллельными сторонам доски, один из углов которого совпадает с черным углом доски, площадь S черной части этого прямоугольника является функцией длин его сторон х и у. Записать эту функцию аналитиче- ски.

xy,

 

если 0 ≤ x ≤ 1,

0 ≤ y ≤ 1,

 

 

 

если 0 ≤ x ≤ 1,

1 ≤ y ≤ 2,

x,

 

Ответ: S ( x, y ) =

y,

 

если 1 ≤ x ≤ 2,

0 ≤ y ≤ 1,

 

( x −1)( y −1),

 

 

 

1 +

если 1 ≤ x ≤ 2,

1 ≤ y ≤ 2.

 

 

 

 

 

13.Касательная плоскость к поверхности x2 + y2 − z 2 = −1 проходит че-

 

3

 

 

 

 

 

рез точки А(1, 0, 0) и В(1, 1, 0). Записать уравнение этой плоскости.

 

Ответ: x + 2z −1 = 0 или x − 2z −1 = 0 .

14. Найти производную

функции u = xyz вдоль винтовой линии

x = a cost , y = a sin t ,

z=bt в точке М0, соответствующей значению

параметра t = π .

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: −

 

πa2b

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

a2 + b2

15.Плотность распределения вещества в пространстве задается функци-

ей ρ =

x2

+ y

2

. В каком направлении плотность меняется быстрее

1

+ z2

 

 

 

 

всего в точке М0(−1, 3, 2)? Определить скорость наибольшего изме- нения плотности в данной точке.

Ответ: В направлении вектора

 

−

2

,

6

 

, −

8

 

 

плотность возрастает

 

 

 

 

 

 

 

5

5

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

максимально со скоростью

 

grad ρ(M 0 )

 

 

=

 

104

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

241

ГЛОССАРИЙ

Новые понятия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция

функция, определенная на некотором множестве Х

нескольких

арифметического п-мерного пространства

переменных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u = f ( x1, x2 ,..., xn ) .

 

 

 

 

 

(ФНП)

 

z = f ( x, y )

− функция двух переменных;

 

 

u = f ( x, y, z ) − функция трех переменных и т. д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

График функции

называется

множество

точек

N ( x, y, f ( x, y )) про-

двух переменных

странства.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частное

 

 

x z = f ( x +

x, y ) − f ( x, y ) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

приращение

 

 

y z = f ( x, y + y ) − f ( x, y ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полное

 

 

z = f ( x +

 

x, y +

y ) − f ( x, y ) .

 

 

 

 

 

приращение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предел ФНП

число

 

А называется пределом функции z = f ( M )

 

при М → М0, если для любого

ε > 0 r > 0, что для

 

всех точек

М, расстояние от которых до точки М0

 

 

MM 0

 

< r , выполняется неравенство

 

 

f ( x, y ) − A

 

< ε .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция

 

в точке M 0

, если

lim

 

f (M ) = f (M 0 ) .

непрерывна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M →M 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частная

называется предел отношения соответствующего ча-

производная

стного приращения этой функции к приращению дан-

 

ной переменной, когда последнее стремится к нулю.

 

 

 

∂z ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x

 

∂y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полный

 

dz =

 

∂z dx +

∂z

dy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дифференциал

 

 

 

 

 

 

∂x

 

∂y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производная

для

 

функции трех

 

переменных

 

u = f ( x, y, z )

по направлению

 

∂u (M 0 )

=

∂u (M 0 )

cos α +

 

∂u (M 0 )

cosβ +

∂u (M 0 )

cos γ ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂S

 

 

 

 

 

∂x

 

 

∂y

 

 

 

 

 

 

 

∂z

 

где

 

0 = (cos α,cosβ,cos γ ) − единичный вектор, соот-

 

S

 

ветствующий вектору направления

 

.

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

242

Новые понятия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Градиент ФНП

называется вектор,

имеющий

координаты

u ( M )

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u (M )

 

 

u (M )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и обозначаемый символом

grad u

.

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

u (M )

 

i +

u (M )

j +

u (M )

k .

 

 

 

 

 

 

 

grad u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u (M )

=

 

×

 

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

grad u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Экстремум

 

максимум и минимум ФНП.

 

 

 

 

 

 

 

функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Условный

 

экс-

если разыскивается экстремум ФНП, которые связаны

тремум

 

 

между собой одним или несколькими уравнениями

 

 

 

(число уравнений должно быть меньше числа пере-

 

 

 

менных).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция

 

Ла-

составляется, чтобы найти условный экстремум

гранжа

(метод

функции

 

z = f ( x, y )

при

наличии

уравнения

связи

неопределенных

j( x, y ) = 0 ; имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

множителей

Ла-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F ( x, y ) = f ( x, y ) + lj( x, y ) ,

 

 

 

 

 

 

 

гранжа)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где l - неопределенный постоянный множитель.

 

 

 

 

 

 

 

Необходимые условия экстремума:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂F =

∂f + l ∂ϕ = 0 ,

∂F =

∂f + l ∂ϕ = 0 , j( x, y ) = 0 .

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

x

y

y

y

 

 

 

 

 

 

Линия уровня

линия,

 

вдоль которой функция двух переменных

 

 

 

 

z = f ( x, y ) сохраняет

постоянное

значение,

 

т. е.

 

 

 

 

f ( x, y ) = C .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поверхность

 

поверхность, на которой функция трех переменных

уровня

 

 

 

f ( x, y, z ) = C (С = const).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

243

Учебное издание

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Учебно-методический комплекс для студентов технических специальностей

Редактор О. П. Михайлова Дизайн обложки В. А. Виноградовой

Подписано в печать 28.03.11. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 14,15. Уч.-изд. л. 11,42. Тираж 420 экз. Заказ № 505.

Издатель и полиграфическое исполнение: учреждение образования «Полоцкий государственный университет».

ЛИ № 02330/0548568 от 26.06.2009 ЛП № 02330/0494256 от 27.05.2009

Ул. Блохина, 29, 211440, г. Новополоцк.

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности