Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Опред интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 252 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Аналогичные признаки имеют место и для интегралов II рода

+∞ dx

k £ 1, Н.И. расходится

Эталонные ряды: 1.

при

∫ x k

k > 1, Н.И. сходится

+∞

−kxdx сходится"k > 0 .

∫ e

m ³ 1,

Н.И.расходится

≤ c ≤ b .

при

где a

a∫

x - c

m < 1,

Н.И.сходится

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА:

Вычисление площадей плоских фигур

( x) - y

( x) dx ;

функция задана явно S =

∫

функция задана параметрически S = ∫ y (t )× x '(t ) dt ;

ϕ2

функция задана в полярной системе координат S =

r(j) 2dj .

2 ϕ∫

Вычисление длины дуги кривой

Функция:

1) заданаявно, l = ∫ 1+ ( y¢x )2 dx ;

2) заданапараметрически, l =

∫

(x¢ ) 2

+ ( y¢ )2 dt ;

3) задана в полярной системе координат, l = ∫ (r)2 + (r¢)2 dj .

Вычисление объемов тел вращения

V y = p∫ x 2dy,

Vx = p∫ y 2dx,

V y = 2p∫ xydx.

Вычисление площади боковой поверхности тел вращения

s x = 2p∫

1+ ( f '( x))2 dx , s y = 2p∫

1+ (j'( y))2 dy .

ФИЗИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА:

1. Путь, пройденный телом, перемещающимся со скоростью v = v (t ) за промежуток

времени [t1;t2 ] , выражается интегралом S = ∫ v (t ) dt. t1

2.Работа переменной силы, заданной функцией F = F ( x) и направленной вдоль оси

Ox на отрезке [a;b] , равна интегралу A = ∫F (x)dx. a

3. Давление жидкости на вертикальную пластину, ограниченную линиями x = a , x = b ,

b	( f 2	( x) − f1 ( x))x dx ,
y1 = f1 ( x) и y2 = f 2 ( x) , вычисляется по формуле P = gγ∫	( f 2	( x) − f1 ( x))x dx ,
a

где g – ускорение свободного падения, γ – плотность жидкости.

4.Статистические моменты относительно координатных осей, моменты инерции и

координаты центра тяжести плоской дуги y = f ( x) , a ≤ x ≤ b находятся соответст-

M y

венно по формулам

M x = ∫γydl ,

M y = ∫γxdl ,

I y = ∫γx2 dl , Ix

= ∫γy2dl , xc

M x

где γ = γ ( x) –

(

x )

∫

m =

γ 1

y′

2 dx,

плотность, dl –

дифференциал дуги,

dt, dl =

dϕ .

1+ (y x' )2

(xt')2 + (yt ')2

dl =

dx, dl =

ρ 2+ (ρ 'ϕ )2

5. Координаты центра тяжести плоской фигуры, ограниченной кривыми y1 = f1 ( x) ,

y2 = f2 ( x) ,

a ≤ x ≤ b ,

находятся

соответственно

по

формулам

γx f

( x) − f

( x) dx

∫

1 b

γ f

2 ( x) + f1

( x) f

( x) − f1

( x) dx

2 ∫

m =

γ f

( x) − f ( x) dx .

∫

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

7.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задача 1 (о массе). Найти массу куска тонкого неоднородного стержня, если g = g( х) – линейная плотность в точке хÎ[a,b].

Решение. Разумеется, если бы плотность была постоянной, то массу стержня можно было бы определить по формуле m = g ×l . В условии задачи плотность g стержня меняется от точки к точке, поэтому массу всего стерж- ня невозможно найти старыми методами.

Поступим следующим образом:

х1 х2

αk

[a,b] разобьем

произ-

отрезок

a = x0

xk– 1 xk

b = xn

вольным образом на n частей так,

чтобы

Рис. 7.1.1

внутри разбиения g изменялась незначи-

тельно (рис. 7.1.1);

обозначим точки разбиения: a = x0 , x1, x2 ,..., xk −1, xk ,..., xn = b ;

пусть

x1 = x1 − a, x2 = x2 − x1,...,

xn = b − xn−1 ;

на каждом из элементарных участков выберем по одной произ-

вольной точке α k ;

будем считать элементарные участки

xk настолько малыми, что

изменением плотности на каждом из них можно пренебречь и принять плотность элементарного участка » g(ak ) ;

6)вычислим массу произвольного элементарного участка [ xk −1, xk ] :

Dmk » g(a k ) × Dxk , Dxk = xk - xk −1 ;

7)тогда масса всего куска неоднородного стержня:

n
m » ∑ g(ak ) ×Dxk .	(7.1.1)

k =1

Зададимся вопросами: «Когда сумма в (7.1.1) будет определять ис- тинную массу стержня? Как определить истинную массу стержня? Какой инструмент математического аппарата поможет нам в этом?» Математиче- ский анализ дает нам возможность дать ответ: «За истинную массу куска стержня естественно принять предел, когда воображаемое разбиение

стержня измельчается до бесконечно малых размеров, а число участков разбиения бесконечно увеличивается:

m =

lim

∑ g(ak ) ×Dxk .

(7.1.2)

max xk

→0 k =1

n→∞

Определение 7.1.1. Фигура, ограниченная графиками непрерывных

кривых: снизу

у1 = у1 ( х) ; сверху

у2 = у2 ( х) ;

слева

х = а ;

справа

х = b ,

причем у1 ( х) £ у2 ( х)

и хÎ[а,b] , называется криволинейной трапецией.

Задача 2 (о площади криволинейной трапеции). Вычислить пло-

щадь криволинейной трапеции (опр. 7.1.1) .

Решение.

Для вычисления площади всей фигуры разобьем отрезок

[a,b] произвольным образом на элементарные части точками (рис. 7.1.2)

a = x0 , x1, x2 ,..., xk −1, xk ,..., xn = b так, что

x0 = a < x1 < ... < xn = b .

На

произвольном

промежутке

[ xk −1, xk ] рассмотрим элемент

разбие-

ния, который представляет собой криво-

линейную трапецию, площадь которой

можно заменить площадью прямоуголь-

ника

= y

) - y

)

× Dx

где

α k [ xk −1, xk ]

выбрано

произ-

вольным

образом.

Очевидно,

Рис. 7.1.2

S » ∑ DS k ,

тогда

k =1

S =

) - y (a

) × Dx

lim

∑

(7.1.3)

max xk →0 k =1

Задача 3 (о пройденном пути, изучить самостоятельно). Будем считать, что нам известен закон изменения мгновенной скорости v = v (t )

при движении материальной точки. Необходимо найти путь, пройденный за время [t0 ,T ] .

Разобьем весь промежуток времени [t0 ,T ] на n число малых «час-

тичных» промежутков времени, так что

t0 = t0 < t1 < t 2... < tk −1 < tk ... < tn−1 < tn = T ,

где t1, t2, …, tk, …, tn –1 – некоторые промежуточные произвольно выбран- ные моменты времени.

Обозначим длины промежутков времени:

t1 = t1 − t0 ,	t2 = t2 − t1 , …,		tk = t k − tk −1 , …,		tn = t n − t n−1 .
1. В каждом промежутке времени [t k −1,t k ] (k =						) возьмем произ-
					1, n
вольный момент времени tk Î[tk −1,tk ]				и найдем в нем мгновенную ско-
рость v (tk ) . Если	t k	достаточно малые, то можно считать движение рав-
номерным, и путь,		пройденный	за	это время		t k , найдем как

DS k = v (tk ) × Dt k , где k =1, n .

2. Тогда весь путь за время [t0 ,T ]

S @ v (t1 ) × Dt1 + v (t	n
S @ v (t1 ) × Dt1 + v (t	2 ) × Dt 2 + v (tk ) × Dtk + ... + v (tn ) × Dtn = ∑ v (tk ) × Dtk .
	k =1

3. Эта формула тем точнее, чем мельче разбиение основного проме- жутка времени. Чтобы получить точную формулу, надо перейти к пределу, приняв, что это разбиение бесконечно измельчается, т.е.

S = lim	n
S = lim	∑ v (tk ) × Dt k .	(7.1.4)
n→∞	k =1
max tk →0

Вопрос: достаточно ли сказать, что предел берется при n → ∞ ? Нет, так как участки t k не предполагаются равными и, если потребовать толь-

ко, чтобы n → ∞ , то может получиться, что одна часть интервала [t0 ,T ]

измельчается, а другая – нет.

Задача 4 (о количестве произведенной продукции, изучить само-

стоятельно). Пусть формула изменения производительности труда извест-

на и зависима от времени f = f (t ). Нужно найти объем производства про-

дукции за время [t0 ,T ] . Произведем аналогичные рассуждения, получим,

что объем произведенной продукции будет приближенно равен сумме:

	n
Пk » ∑ f (tk )Dtk ,
	k =1
тогда
		n
П =	lim	∑ f (tk ) × Dtk (4) .	(7.1.5)
n→∞		k =1
max tk →0

Задача 5 (о работе переменной силы). Вычислить работу пере-

менной силы F ( x) по перемещению материальной точки единичной массы вдоль [a,b] в направлении оси Ох.

Решение. Рассуждая как в предыдущих задачах, повторяем процеду- ру разбиения (самостоятельно).

[ xk −1, xk ] , DAk » F (a k ) × Dxk , a k Î[ xk −1, xk ] ,

n
A » ∑ F (a k )Dxk ;
k =1
		n
A =	lim ∑ F (α k ) xk .		(7.1.6)
	x k	→0k =1

Выводы:

1.Как видно из рассмотренных задач, различных по смыслу и практи- ческому содержанию, их объединяет единая методика решения, в результа- те применения которой необходимо вычислять пределы вида (7.1.2) – (7.1.6).

2.Пределы (7.1.2) – (7.1.6) имеют одинаковую структуру.

3.Пределы (7.1.2) – (7.1.6) суммируют бесконечное число бесконеч- но малых слагаемых.

4.Необходимо ввести новое математическое понятие, объединяющее все пределы такого рода.

7.2. Определенный интеграл, как предел интегральных сумм

Рассмотрим функцию y = f(x), определенную и ограниченную на отрезке [a,b] (рис. 7.2.1). Произведем следующие действия:

1. Разобьем отрезок [a;b] на n частичных отрезков так, что a = x0 < x1 < x2... < xk −1 < xk ... < xn−1 < xn = b .

Обозначим данное разбиение буквой T . Отрезок [ xk −1; xk ] (k = 1, n)

будем называть k-тым частичным отрезком, а длину его будем обозна-

чать xk = xk − xk −1 . Обозначим через λ (T ) = max xk (наибольший из этих

отрезков). Величину λ (T ) будем называть диаметром данного разбиения. 2. На каждом из частичных отрезков произвольным образом выберем

точку α k [xk −1; xk ](k = 1, n) и вычислим значение функции f (α k ).

Рис. 7.2.1


3. Вычислим также			произведение
f (ak ) × Dxk (k =		). Составим сумму
	1, n
n
∑ f (ak ) × Dxk = s( f ,T ,ak ) .				(7.2.1)
k =1
Определение			7.2.1.	Сумма

s( f ,T ,ak ) называется интегральной суммой функции у = f(x) на отрезке

[a,b] или суммой Римана.

Интегральная сумма (7.2.1) в общем случае зависит от f(x), от отрезка

[a,b], от способа разбиения, от выбора точек α k .

Определение 7.2.2. Определенным интегралом от функции f(x)

на отрезке [a,b] называется предел интегральной суммы s( f ,T ,ak ) при условии, что максимальное xk → 0 , если он существует, не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора точек α k на элементарном промежутке.

b	def		n
Обозначается ∫ f ( x)dx =		lim	∑ f (ak ) × Dxk .	(7.2.2)
a		λ(T )→0 k =1

Определение 7.2.3. Функция, для которой существует конечный предел в (7.2.2), называется интегрируемой на отрезке [a,b]. Обозначает-

ся f ( x)Î I [a,b] . Числа a и b называются нижним и верхним пределом ин-

тегрирования, f ( x) – подынтегральной функцией, f ( x)dx – подынте-

гральным выражением, x – переменной интегрирования, [a;b] – отрезком интегрирования.

ТЕОРЕМА 7.2.1 (необходимое условие интегрируемой функции).

Если функция f ( x)Î I [a,b] , то она ограничена на отрезке [a,b].

ТЕОРЕМА 7.2.2 (достаточные условия интегрируемой функции).

Если выполняется одно из условий: 1) функция f ( x)ÎC[a,b] или

2) y = f (x) ограничена на [a;b] и непрерывна во всех точках этого отрезка,

за исключением лишь конечного числа точек, где функция терпит разрыв I рода, то f ( x)Î I [a,b] .

Физический, экономический, геометрический смысл определенного интеграла

	T
1) Физический смысл – ∫ ϑ(t)dt = S – выра-
	t0
жает путь.
	T
2) Экономический	смысл – ∫ f (t)dt = П –
	t0
выражает объем произведенной продукции за время
[t0 ,T ] .
b
3) Геометрический смысл ∫ f (x)dx = S –	численно равен площади

криволинейной трапеции (рис. 7.2.2).

Пример 7.2.1. Исходя из геометрического

смысла определенного интеграла, найти ∫ 25 − x 2 dx

	(рис. 7.2.3).
	Решение.	Линия			y =			25 − x 2 есть верхняя по-
Рис. 7.2.3	ловина окружности		x	2	+ y	2	= 25 . Та часть линии, ко-
	ловина окружности		x		+ y		= 25 . Та часть линии, ко-

торая получается при изменении x от 0 до 5, лежит в первой координатной четверти, отсюда заключаем, что криволинейная трапеция, ограниченная

линиями x = 0, x = 5, y = 0, y = 25 − x 2 , есть четверть круга x 2 + y 2 = 25 ;

	25π	5			25π
		5	25 − x 2 dx =
ее площадь равна		. Значит ∫				ед. кв.
ее площадь равна		. Значит ∫				ед. кв.
4		0		4
		0
			1
Пример 7.2.2. Вычислить ∫ xdx ,				исходя из его определения как
			0
предела интегральной суммы.
				1
Решение. Так как функция			f ( x) = x	непрерывна на [0,1], то ∫ xdx
				0

существует и не зависит от способа разбиения и выбора точек α k . Поэтому интервал [0,1] разбиваем на n равных (для удобства вычислений) частичных

отрезков длиной x		=	1 − 0	=	1	. Значения заданной функции f (x) = x выбе-
	k		n		n

рем в правых концах частичных отрезков, т. е. f (ak ) = k , где k = 1, 2, …, n. n

Составим интегральную сумму:

∑

k =1

1 + n

n +1

f (ak )Dxk = ∑

∑ k =

(1 + 2 + 3 + ... + n) =

× n =

n 2

k =1 n n

k =1

Здесь сумма в скобках найдена по формуле суммы арифметической прогрессии с разностью d = 1. Перейдем к пределу (т. к. частичные отрез-

ки разбиения равны,	то условие max xk					→ 0 равносильно условию
		n +1		1	1	1
n → ∞ ). Будем иметь	lim		=		, ∫ xdx =		.
						2
	n→∞ 2n		2		0

Очевидно, что вычисление определенного интеграла исходя из его оп- ределения связано с громоздкими выкладками. Позже мы получим для вы- числения определенного интеграла удобную формулу Ньютона – Лейбница:

b∫ f ( x)dx = F (b) - F (a) ,

где F′( x) = f ( x) .

Замечание 7.2.1. Часто возникает необходимость вычисления предела суммы, когда число слагаемых неограниченно возрастает. Такие пределы в некоторых случаях можно найти с помощью определенного ин- теграла, если данную сумму удается преобразовать так, чтобы она оказа-

лась интегральной суммой.
Например, рассматривая точки	1	,	2	, …,	n	как точки деления отрезка [0;1]
	n
			n		n

наn равных частейдлиной Dx = 1 , для любой непрерывной функции f (x) имеем n

lim

+ f

+ ... + f

= ∫ f (x)dx .

n→∞ n

n 0

Пример 7.2.3. Вычислить lim

+ sin

+ ... + sin

(n -1)p

sin

n→∞ n

Решение. Числа, стоящие в скобках, представляют собой значения

функции f ( x)

= sin x в точках x = p , x

..., x

n−1

= (n -1)p

, делящих

отрезок [0;p] на n равных частей длиной Dx = p . Поэтому, если к нашей n

сумме прибавить слагаемое sin pn = 0 , то она будет являться интегральной n

для функции f (x) = sin x на отрезке [0;p] .

По определению

(n -1)p

lim

sin

+ sin

+ ... + sin

+ sin

= ∫sin xdx = -cos x

= 2 .

n→∞ n

7.3. Основные свойства определенного интеграла

Свойство 7.3.1. Определенный интеграл не зависит от выбора обозначения аргумента подынтегральной функции:

b∫ f ( x)dx =b∫ f (t )dt = b∫ f ( z )dz .

Свойство 7.3.2. Если функция

f ( x)Î I [a,b] , то

cf ( x)Î I [a,b] ,

при-

чем выполняется равенство: ∫cf

( x)dx = c∫ f

( x)dx .

Доказательство.

По условию

f ( x)Î I [a,b] ,

следовательно,

су-

(ak ) × Dxk .

ществует конечный предел

lim

∑ f

max

xk →0 k =1

(ak ) × Dxk . По свойству конечных сумм и

Рассмотрим

lim

∑ c × f

max xk →0 k =1

(ak ) × Dxk =

предела

он

равен

lim

c ∑× f

c × lim

∑ f (ak ) × Dxk . Зна-

max xk →0 k =1

max

xk →0 k =1

чит,

lim

∑ c × f (ak ) × Dxk

существует

конечен. Следовательно,

max xk

→0 k =1

c × f ( x)Î I [a,b] и ∫cf ( x)dx = c∫ f

( x)dx .

f1 ( x)Î I[a,b] ,

f 2 ( x)Î I[a,b] ,

Свойство 7.3.3 . Если

то

( x) ± f

( x) Î I

( x) ± f

( x) dx =

( x)dx ±

( x)dx .

[a,b]

, причем

∫

Свойство 7.3.4 . Интеграл a∫ f ( x)dx = 0 .

<<< < Предыдущая 12 / 252 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб51умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб42умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб40умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб46умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб47умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб53умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб35умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf