Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Опред интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 258 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

7.21.Приближенное вычисление несобственных интегралов

сбесконечными пределами интегрирования

Напомним, что несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования по определению равен

∞∫	f ( x)dx = lim	b∫ f ( x)dx .
a	b→∞
a		a

Если предел справа существует и он конечен, то несобственный инте- грал называется сходящимся, в противном случае, считается, что он лишен смысла или говорят – расходится.

Для того чтобы с точностью ε вычислить сходящийся несобственный

интеграл ∞∫ f ( x)dx , необходимо представить его в виде

∞∫ f ( x)dx = b∫ f ( x)dx + ∞∫ f ( x)dx ,

a a b

где b выбирают настолько большим, чтобы имело место неравенство

∞∫	f ( x)dx	<	ε	.


b		2

Затем определенный интеграл b∫ f ( x)dx вычисляют по одной из

формул (7.20.2 – 7.20.4) с точностью ε , и приближенно получается, что

∞∫ f ( x)dx ≈ b∫ f ( x)dx .

a a

Замечание 7.21.1. Несобственный сходящийся интеграл от раз- рывной в точке с функции f ( x) , по определению равный

∫c	f ( x)dx = lim c−δ∫ f ( x)dx ,
a	δ→0	a

вычисляют аналогично вычислению несобственного интеграла с бесконеч- ными пределами интегрирования.

Пусть

c	c−δ	c
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ,
a	a	c−δ

тогда δ подбирают таким образом, чтобы выполнялось неравенство

∫ f ( x)dx

< e .

c−δ

Затем по одной из формул (7.20.2 – 7.20.4) с точностью

вычисля-

c−δ∫

ют

f ( x)dx = ∫c

f ( x)dx с точностью ε .

sin (2x - 2,1)

1,6

Пример 7.21.1 . Вычислить ∫

по формуле Симп-

1,2

x 2 +1

сона с точностью ε = 0,001, применяя правило двойного пересчета, за на-

чальный шаг принять h = 0,1.

Решение. Вычислительная формула имеет вид

	J =	h	y			+ y			+ 2( y				+ y		+ ... + y		2m−2	) + 4	( y	+ y		+ ... + y		2m−1	) ,
	J =		y			+ y			+ 2( y				+ y		+ ... + y			) + 4	( y	+ y		+ ... + y			) ,
		3			0		2m					2		4					1		3
где yi = y ( xi ) =								sin (2xi				- 2,1)			,	xi =1,2 + ih			(i	= 0,1, 2,..., 2m) , причем
где yi = y ( xi ) =										xi	2 +1				,	xi =1,2 + ih			(i	= 0,1, 2,..., 2m) , причем
										xi	2 +1
n =	b - a	=		1,6 -1,2					= 4 .
n =	h	=							= 4 .
	h					0,1
	Так как для оценки погрешности будет применяться двойной пере-
счет, сразу составим таблицу значений																	f ( x) =		sin (2x - 2,1)				для n = 8 .
счет, сразу составим таблицу значений																	f ( x) =						для n = 8 .
																				x 2 +1

i						xi				2xi − 2,1						sin (2xi - 2,1)				xi		2 +1			yi
0		1,20										0,30				0,29552				2,4400				0,1211
1		1,25										0,40				0,38942				2,5625				0,1520
2		1,30										0,50				0,47940				2,6900				0,1782
3		1,35										0,60					0,5646			2,8225				0,2000
4		1,40										0,70					0,6442			2,9600				0,2176
5		1,45										0,80					0,7174			3,1024				0,2312
6		1,50										0,90					0,7833			3,2500				0,2410
7		1,55										1,00					0,8415			3,4025				0,2473
8		1,60										1,10					0,8912			3,5600				0,2503

Для n = 4 , h = 0,1 имеем

J 4	»	0,1	(0,1211 + 0, 2503 + 2 × 0, 2176 + 4(0,1782 + 0, 2410)) = 0,08278.

	3

Для

n = 8 ,

h = 0,05 имеем

J 8

0,05

(0,1211 + 0, 2503 + 2(

0,1782 + 0,2176 + 0, 2410) +

+ (0,1520 + 0,2000 + 0, 2312 + 0, 2473))

= 0,08278 .

Так как

J 4 − J 8

< 0,001, то

1,6 sin (2x − 2,1)

= 0,08278 ≈ 0,083 .

∫

x 2

+ 1

1,2

Пример 7.21.2. Вычислить сходящийся несобственный интеграл

∞

с точностью ε = 10 −2 .

J = ∫

+ x 3

2 1

∞

Решение. Представим

∫

= ∫

+ ∫

, b выберем из

1 + x 3

+ x 3

1 + x 3

2 1

∞

−2

условия

∫

1 + x 3

∞

−2

Заметим, что

∫

< ∫

, значит,

, т. е. b = 10.

+ x 3

x 3

2b 2

b 1

∞

Тогда получаем, что ∫

≈

∫

. Получившийся определенный ин-

1 + x 3

+ x 3

2 1

10 −2

теграл вычисляем с точностью

, по формуле Симпсона, составив таб-

лицу значений функции y =

1 + x 3

y =

1 + xi

+ x 3

2,0

0,1111

3,0

0,0357

4,0

0,0154

5,0

126

0,0079

6,0

217

0,0046

7,0

344

0,0029

8,0

513

0,0020

9,0

730

0,0014

10,0

1001

0,0010

При		h = 2 имеем	n = 4 ,
J 4 =	2	(0,1111 + 0,0010 + 2		× 0,0046 + 4 ×(0,0154 + 0,0020)) = 0,1210 .

3		h = 1 имеем	n = 8 ,
При

J 8 = 13 (0,1111 + 0,0010 + 2(0,0154 + 0,0046 + 0,0020) + + 4(0,0357 + 0,0079 + 0,0029 + 0,0014)) = 0,1169 .

				10	dx
Так как	J 4 - J 8	= 0,0041 < 0,005 , то ∫				= 0,1169 .

					1 + x 3
	∞			2	1 + x 3
	∞		dx	= 0,1169 с точностью e =10 −2 .
Значит, ∫			dx
Значит, ∫		1 + x 3
2		1 + x 3

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРОВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Учебно-информационный блок для проведения практических занятий

					Коли-
Тема занятия				Тип занятия	чество
					часов
I. Формула Ньютона –		Лейбница		Повторение и обобщение имеющихся
				знаний. Усвоение и закрепление изу-	2
				ченного на лекции нового материала
II. Интегрирование по частям и				Углубление и расширение получен-
замена переменных в определен-				ных знаний. Усвоение нового материа-	2
ном интеграле				ла. Текущий контроль

III. Несобственные		интегралы.		Усвоение и закрепление нового мате-
Сходимость, вычисление				риала. Применение полученных зна-	2
				ний. Текущий контроль
IV. Вычисление	площадей		пло-	Усвоение и закрепление нового мате-
ских фигур				риала. Применение полученных зна-	2
				ний. Текущий контроль
V. Вычисление длин дуг кривых.				Усвоение и закрепление нового мате-
Вычисление объемов тел и площа-				риала. Применение полученных зна-	2
дей поверхностей вращения				ний. Текущий контроль
VI. Физические	(механические)			Усвоение и закрепление нового мате-
приложения определенного			инте-	риала. Применение полученных зна-	2
грала				ний. Текущий контроль

Основная и дополнительная литература

1.Гусак, А. А. Справочник по высшей математике / А. А. Гусак, Г. М. Гусак. – Минск: Навука и тэхника, 1991.

2.Мышкис, А. Д. Лекции по высшей математике / А. Д. Мышкис. –

М.: Наука, 1973.

3.Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и ос- новы математического анализа / под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидови-

ча. – М.: Наука, 1986.

4.Неопределенный интеграл: учеб.-метод. комплекс для студентов техн. специальностей / В. С. Вакульчик [и др.]; под общ. ред. В. С. Ва- кульчик. – Новополоцк: ПГУ, 2010. – 168 с.

5.Maple : система компьютерной алгебры: учеб.-метод. пособие / авт.-сост.: И. Е. Андрушкевич, В. А. Жизневский. – Витебск: Изд-во УО «ВГУ им. П. М. Машерова, 2006. – 158 с.

I.Формула Ньютона – Лейбница

1.Провести краткий теоретический обзор с использованием лекци- онного материала, графической схемы. Сделать акцент на то, что при ре- шении многих задач приходится суммировать бесконечно большое число бесконечно малых слагаемых. Это приводит к одному из основных поня- тий в высшей математике – определенному интегралу, ради которого изла- гались методы интегрирования. Вычисление площадей, ограниченных кривыми, длин дуг, объемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и т. д. сводится к вычислению определенного интеграла.

Понятие интегральной суммы является фундаментом определенного интеграла. Напомнить основные этапы процесса составления интегральной суммы.

Пусть на отрезке [a,b] определена функция f (x) . Произвольным образом отрезок [a,b] разобьем на n частей непересекающихся отрезков длины xk = xk − xk −1, (k = 1, 2,.., n) . В каждом из полученных отрезков также произвольным образом (внутри или на концах) выберем по точке ск.

Вычислим значение заданной функции в них f(ck), составим сумму произведений полученных значений функции для каждого частичного от- резка на его длину, т. е.

f (c1 )	x1 + f (c2 )	x2 + .. f (ck )	xk + .. + f (cn )	n	= S n .
				xn = ∑ f (ck ) xk
				k =1

Полученная таким образом сумма называется интегральной суммой для функции f (x) по отрезку [a;b] .

Пусть теперь разбиение отрезка [a;b] измельчается так, чтобы наи- больший из них стремился к 0 ( max xk → 0 ). Очевидно, что при этом чис-

ло частичных отрезков будет стремиться к бесконечности ( n → ∞ ).

Определение I.1. Определенным интегралом от функции f (x) на

отрезке [a;b] называется предел интегральных сумм S n				при условии, что
длина наибольшего частичного отрезка xk стремится к 0.
b			n
∫ f ( x)dx = lim			∑ f (ck ) xk .	(I.1)
a	n→∞		k =1
	max xk
		→0
Геометрически определенный интеграл представляет собой алгеб-
раическую сумму площадей фигур,			ограниченных графиком функции
y = f ( x) , осью Ox и прямыми x = a		и x = b (рис. I.1),		причем площади,

расположенные выше оси Ох, входят в эту сумму со знаком плюс, а пло- щади, расположенные ниже оси Ох, – со знаком минус.

Рис. I.1

Обучающий пример 1. Вычислить исходя из определения интеграл

∫ x dx .

Решение. Из геометрических соображений следует, что интеграл су- ществует и равен площади прямоугольного треугольника. Значит, разбие- ние отрезка можно производить произвольным образом. Отрезок [0;2] раз- биваем на n (для удобства вычислений) равных частичных отрезков длин-

ны xk	=	2 − 0	=	2	. Значения заданной функции	( f ( x) = x) выберем в
		n		n

правых концах частичных отрезков, т. е. f (ck ) =

. Тогда интегральная

сумма будет

1 + n

∑ f (ck )Dxk =

∑

∑ k =

(1 + 2 + ... + n) =

× n = 2 ×

n 2

k =1

n n

n 2 k =1

Здесь сумма в скобках найдена по формуле суммы арифметической

прогрессии n членов.

Так как

частичные

отрезки

разбиения

равны, то

условие

max xk → 0 равносильно условию n → ∞ . Тогда

lim 2

1 + n

= 2 (по пра-

n→∞

вилу Лопиталя).

Итак ∫ xdx = 2.

Обучающий пример 2 (повышенный уровень). Вычислить ∫e xdx .

Решение. Подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегри- рования. Следовательно, интеграл существует и не зависит от способа раз- биения отрезка и выбора точек ck. Разделим отрезок [a; b] на n равных частей:

x		= a, x = a +	x, ...., x		= a + n x , x =	b − a	.
	0			n
		1				n

За точки ck возьмем крайние левые точки. Составим интегральную сумму:

S n = e aDx + e a +ΔxDx + ... + e a+(n−1) xDx = e a (1 + e x + e 2 x + ... + e (n−1) x )Dx .

Выражение в скобках есть сумма геометрической прогрессии со зна-

менателем e x и первым членом 1, поэтому

S n = e

a e n x -1

Dx = e

n x

-1)

e x -1

Далее имеем

nDx = b - a;

lim

(по

правилу

Лопиталя,

x -1

x→0 e

lim

= lim

=1).

z →0 e z -1 z →0 e z

lim S n = e a (eb−a -1)×1 = eb - e a ,

Таким образом,

n→∞

max xk →0

то есть

∫e xdx = eb - e a .

Обучающий пример 3 (повышенный уровень). Исходя из опреде-

ления определенного интеграла найти (у доски два студента с помощью

преподавателя выполняют задание) ∫ xdx , разбивая отрезок [1;4] на равные

части, причем в каждом из указанных разбиений в качестве ci выбрать ле-

вые и правые концы отрезков.

Обучающий пример 4. Найти величину интеграла I = ∫ 16 - x 2 dx ,

опираясь на его геометрический смысл.

Решение.

Линия

y = 16 − x 2

есть верх-

няя

половина

окружности x 2 + y 2 = 16 . Та

часть линии, которая получается при измене-

нии

x от 0 до

4, лежит в I координатной чет-

верти (рис. I.2). Отсюда заключаем, что криво-

линейная трапеция,

ограниченная

линиями

x = 0 , x = 4 , y = 0, y = 16 − x 2 , есть четверть

круга x 2 + y 2 =

16 , ее площадь равна

16π

= 4π .

Рис. I.2

Следовательно,

∫ 16 − x 2 dx = 4π .

2. У доски три студента решают следующие примеры. Исходя из геометрического смысла интеграла необходимо вычислить:

а) 5∫(4x −1)dx .

б) ∫ 9 − x 2 dx .

−3

в) 2∫(2x + 1)dx .

Ответ: 45.

Ответ: 9π . 2

Ответ: 4.

3. Сделать выводы: рассмотренные выше примеры показывают, что непосредственное вычисление определенных интегралов как пределов ин- тегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому естественно возникает задача: найти практически удобный метод вычисления опреде- ленных интегралов. Этот метод, открытый Ньютоном и Лейбницем, ис- пользует глубокую связь, существующую между интегрированием и диф- ференцированием.

Если для непрерывной на отрезке [a; b] функции f ( x) может быть найдена ее первообразная F ( x), то простым и удобным методом вычисления

определенного интеграла b∫ f ( x)dx является формула Ньютона –			Лейбница:
	a
b∫	f ( x)dx = F ( x)	b = F (b) − F (a) .	(I.2)

a		a

Обучающий пример 5. Применяя формулу Ньютона – Лейбница и свойство определенного интеграла, вычислить:

а) 2∫6( x −1)2 dx .

	2		2		2	2	( x −1)	3	2			3	2
	2				2			3
Решение.	∫	6( x −1)		dx =	6∫( x −1)					= 2	( x −1)			=
Решение.	∫	6( x −1)		dx =	6∫( x −1)		d ( x −1) = 6		1	= 2	( x −1)		1	=
	1				1		3		1				1
= 2((2 −1)3 − (1 −1)3 ) = 2(1 − 0) = 2 ;
2 2x −1
б) ∫	dx .
б) ∫	dx .
1 x 3 + x

Решение. Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь. Разложим ее на простейшие рациональные дроби:

2x −1

A Bx + C

A(x 2

+ 1) + ( Bx + C ) x

x (x 2 + 1)

;

x 3 + x

x 2 + 1

2x −1 = A(x 2 + 1) + Bx 2 + Cx,

x 2

0 = A + B

2 = C

откуда А = –1,

В = 1, С = 2.

x 0

−1 = A

Следовательно,

2x −1

x + 2

∫

dx = ∫

−

dx =

∫

−

dx =

x 3 + x

x 2 + 1

x 2 + 1 x

2 + 1

=		1	ln (1 + x 2 ) + 2arctgx				2							1
	− ln x +							= − ln 2 +		1		ln 5 + 2arctg 2 −			ln 2 − 2arctg1 =
							1
	2									2			2
	=			1	5	+ 2			−		π		≈ 0,38 .
					ln			arctg 2

				2	8						4

Обучающий пример 6. Вычислить ∫|1 − x | dx .

							0
	Решение. Так как			1 − x		1 − x,	при 0 ≤ х ≤ 1,
	Решение. Так как			1 − x		=					то
						х −1,	при1 ≤		х ≤ 2,
						х −1,	при1 ≤		х ≤ 2,
2	1		2					(1 − x)	2	1	( x −1)	2	2	1		1
2	1		2						2	1		2	2
∫	\|1 − x \|dx = ∫	(1 − x)dx + ∫			( x −1)dx = −					+			=		+		= 1.
∫	\|1 − x \|dx = ∫	(1 − x)dx + ∫			( x −1)dx = −					+	2		=		+		= 1.
0	0		1				2				2		2		2
0	0		1							0			1
										0			1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 258 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб51умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб42умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб40умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб46умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб47умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб53умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб35умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf