Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Опред интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2523 24 25 > Следующая >>>

221

ϕ( x, y ) = 0.

IV. Экстремум ФНП. Условный экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значений ФНП в замкнутой области

1. Краткое повторение теоретического материала.

Если функция z = f ( x, y ) достигает экстремума в точке M 0 ( x0 , y0 ) ,

то	∂f ( x0 , y0 )	= 0 ,	∂f ( x0 , y0 )	= 0

	∂x		∂y

(необходимое условие экстремума).

Точки, в которых частные производные равны нулю или не сущест- вуют, называются критическими точками. Не всякая критическая точка

является точкой экстремума.
Пусть M 0 ( x0 , y0 )								− критическая точка функции z = f ( x, y ) . Обозна-
чим: A =	∂2 f	( x	0	, y	0	)		B =	∂ 2 f ( x	0	, y	0	)		C =	∂ 2 f	( x , y		0	)
			0		0		,			0		0		,			0		0		и составим дис-
		∂x	2				,		∂x∂y					,			∂y2				и составим дис-
		∂x	2						∂x∂y								∂y2
криминант = AC − B2 . Тогда:
− если			> 0, то функция имеет в точке														М0	экстремум, а именно:
максимум при А < 0						(или C < 0) и минимум при А > 0														(или C > 0);

−если < 0, то в точке М0 экстремума нет;

−если = 0, то требуется дополнительное исследование. Это достаточные условия наличия или отсутствия экстремума.

Условным экстремумом функции z = f ( x, y ) называется экстремум

этой функции, достигнутый при условии, что переменные х и у связаны уравнением ϕ(х, у) = 0 (уравнение связи).

Отыскание условного экстремума можно свести к исследованию на

обычный экстремум так называемой функции Лагранжа:

F ( x, y,λ) = f ( x, y ) + λϕ( x, y ),

где λ − неопределенный постоянный множитель.

Необходимые условия экстремума функции F(x, y, λ) имеют вид:

∂F ≡			∂f + λ		∂ϕ = 0,
	∂x		∂x		∂x
	∂F		∂f		∂ϕ
		≡		+ λ		= 0,
	∂y		∂y		∂y

Из этой системы трех уравнений можно найти неизвестные x, y, λ. Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции

взамкнутой области, надо:

1)найти критические точки, расположенные в данной области, и вычислить значения функции в этих точках;

2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образующих границу области;

3)из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

2. Студенты работают с УМК, самостоятельно разбирают обучаю- щую задачу.

Обучающая задача 1. Найти экстремум функции

∂z

Решение. ∂x


	z =		1			+ (47 − x − y )				x	+		y
				xy											.
			2	xy									4		.
			2							3			4
= −	1	y −			2	x +	47	,	∂z	= −		1		y −		1	x +	47	.
= −		y −				x +		,		= −				y −			x +		.
12			3			3			∂y		2				12		4

Находим критические точки:

	1					2						47
−			y −							x +				= 0,				8x + y = 188,												x = 21,
−	12		y −					3		x +			3	= 0,		или		8x + y = 188,												x = 21,
	1					1						47				или															= 20.
	1					1						47						x + 6 y = 141												y	= 20.
−		y		−						x +				= 0
−	2	y		−						x +			4	= 0
	2			12									4
Критическая точка М0(21, 20).
	∂2 z							= −			2		,		∂2 z				= −		1		,		∂2 z					= −	1	.
	∂2 z										2				∂2 z						1				∂2 z						1
	∂x2										3				∂x∂y					12					∂y2						2
	∂x2				M 0						3				∂x∂y		M 0			12					∂y2		M 0				2
					M 0												M 0								2		M 0
																2		1					1		2	1			1
Тогда					= AC − B2 = −												−		−			−			=			−			> 0 .
Тогда					= AC − B2 = −												−		−			−	12		=	3		−	144		> 0 .
																3		2					12			3			144
Так как A = −							2		< 0 , то в точке М0(21, 20)															функция имеет максимум:
Так как A = −									< 0 , то в точке М0(21, 20)															функция имеет максимум:
						3

zmax = 282 .

3. Студент у доски решает.

Пример 1. Найти экстремум функции z = xy 2 (1 − x − y ) .

	=	1		1	1
Ответ: zmax			в точке		,	.
		64
			4		2

222

4. Преподаватель у доски решает обучающую задачу.

Обучающая задача 2. Из всех прямоугольных треугольников с за- данной площадью S найти такой, гипотенуза которого имеет наименьшее значение.

Решение. Пусть х и у − катеты треугольника, а z − гипотенуза.

Так как z 2 = x2 + y2 , то задача сводится к нахождению наименьшего зна-

чения функции x2 + y 2 при условии, что х и у связаны уравнением

1 xy = S , т. е. xy − 2S = 0 . 2

Рассмотрим функцию Лагранжа				F ( x, y,λ) = x2 + y2 + λ ( xy − 2S )
и найдем ее частные производные				∂F = 2 y + λx .
			∂F = 2x + λy ,	∂F = 2 y + λx .
			∂x	∂y
Так как x > 0, y > 0, то из системы уравнений:

2x + λy = 0,
				λ = −2, y = x =
						2S .
2 y + λx = 0, получаем решение						2S .
		1	xy = S
		1
	2
	2
Таким образом, гипотенуза имеет наименьшее значение, если катеты
треугольника равны между собой.
5.	Студент у доски решает.
Пример 2. Найти экстремум z = xy при условии, что х и у								связа-
ны уравнением 2х + 3у – 5 = 0.
				Ответ: zmax =	25			5		5
							в точке		,		.
					24		в точке	4	,		.
					24			4		6

6.Студентам рекомендуется посмотреть решение задачи на отыска- ние наибольшего и наименьшего значений ФНП в замкнутой области в теоретической части модуля (5 минут).

7.Студенты работают с УМК, самостоятельно разбирают обучаю- щую задачу

Обучающая задача 3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z = x2 + y2 в круге (x − 2 )2 + ( y − 2 )2 ≤ 9 .

223

Решение. Здесь рассматривается область D, ограниченная окруж-

с центром в точке C (

), включая и точки ок-

ностью радиуса R = 3

ружности.

Найдем критические точки данной функции:

∂z = 2x ,

∂z

= 2 y ;

∂x

∂y

х = 0, у = 0. z = z(0,0) = 0.

Исследуем на условный экстремум функцию z = x2 + y2 , если х

и у

связаны соотношением (x −

)2 + ( y −

)2 = 9 .

F ( x, y,λ)

2 )

+ ( y −

2 )

= x2 + y2 + λ (x −

− 9 .

∂F = 2x + 2λ (x −

∂F = 2 y + 2λ ( y −

) .

∂x

∂y

Для определения х, у

и λ получаем систему:

− 2 ) = 0,

x + λ (x

− 2 ) = 0,

y + λ ( y

(x −

)2 + ( y −

)2 = 9.

Эта система имеет два решения:

x = y =

λ = −

и z = 25;

x = y = −

, λ = −

и z = 1.

5 2

Значит, наибольшее значение z принимает в точке

Итак, zнаим. = 0 ,

zнаиб. = 25 .

8. Студент у доски решает.

Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

z =

xy + x + y в квадрате, ограниченном прямыми х=1, х=2,

у=2,

у=3.

Ответ: zнаим. = 5 в точке (1,2),

zнаиб. = 11 в точке (2,3).

224

9. Студенты самостоятельно решают.

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

z = sin x + sin y + sin ( x + y ) в области

0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ π .

zнаим. = 0 , zнаиб. = 1 +

Ответ:

Пример 5.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции z = xy

в круге x2 + y2 ≤ 1.

Ответ:

zнаим. = −0,5 ,

zнаиб. = 0,5 .

Пример 6. Из всех треугольников, вписанных в круг, найти тот,

площадь которого наибольшая.

Ответ:

равносторонний.

Домашнее задание

1. Найти экстремум функции

z = x3 + y3 −15xy .

Ответ:

zmin = −125.

2. Из всех треугольников, имеющих данный периметр, найти наи-

больший по площади.

Ответ:

равносторонний.

3. Найти

наименьшее и

наибольшее

значения

функции

z = x2 − xy + y2 − 4x в замкнутой области, ограниченной прямыми

х = 0,

у = 0, 2х + 3у – 12 = 0.

Ответ:

= −

= 16 .

наим.

наиб.

4. Подготовиться к контрольной работе по теме «ФНП»

V. Контрольная работа по теме «ФНП»

Выдается из тестов I уровня сложности (каждая задача или пример оценивается 1 баллом). Желающие могут дополнительно решать на выбор задания II уровня сложности (по 2 балла за каждое задание) или III уровня (за каждое задание от 3 до 5 баллов в зависимости от сложности задания).

225

ТРЕХУРОВНЕВЫЕ ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ к разделу «Функции нескольких переменных»

УРОВЕНЬ I

Вариант 1

1.	Найти область определения функции z =		3xy			.
		2x −
				5 y
2.	Найти частные производные функции		z = ln ( y 2 − e− x ).
3.	Найти полный дифференциал функции		z = 2x3 y − 4xy5 .
4.	Вычислить значение производной сложной функции u = u(x, y), где x = x(t),
	y = y(t) при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой.
	u = ex−2 y , x = sin t , y = t		3 , t	0	= 0 .

Ответ: 1.

5.Вычислить значения частных производных функции z(x, y), заданной неявно, в точке М0(х0, у0) с точностью до двух знаков после запятой.

x3 + y3 + z3 − 3xyz = 4 ,	М0(2, 1, 1).
Ответ:	′	(2, 1, 1) = 3,	′	(2, 1, 1) = −1.
	zx		z y

6.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверх- ности S в точке М0(х0, у0, z0).

S: x2 + y 2 + z2 + 6z − 4x + 8 = 0 , М0(2, 1, −1).

Ответ: y + 2z + 1 = 0 . 7. Найти вторые частные производные указанной функции. Убедиться в

том, что	′′	′′
том, что	zxy	= z yx .

z= ex2 − y2 .

8.Исследовать на экстремум следующую функцию:

z = y x − 2 y2 − x + 14 y .

Ответ: zmax (4, 4) = 28.

9.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = z ( x, y ) в об-

ласти D, ограниченной заданными линиями.

z = 3x + y − xy , D: y = x , у = 4, х = 0.

Ответ: zнаиб. (2, 2) = 4, zнаим. (0, 0) = z(4, 4) = 0.

226

	Вариант 2
1.	Найти область определения функции z = arcsin ( x − y ) .
2.		z = arcsin		.
	Найти частные производные функции		xy
3.	Найти полный дифференциал функции	z = x2 y sin x − 3y .
4.	Вычислить значение производной сложной функции u = u(x, y), где x = x(t),
	y = y(t) при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой.
	u = ln (e x + e− y ) , x = t 2 , y = t 3 , t0 = −1.

Ответ: − 2,5.

x2 + y 2 + z2 − xy = 2 ,	М0(–1, 0, 1).
′	′	(−1, 0, 1) = – 0,5.
Ответ: zx	(−1, 0, 1) = 1, z y	(−1, 0, 1) = – 0,5.

6.	Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверх-
	ности S	в точке М0(х0, у0, z0).
			S: x2 + z2 − 4 y2 = −2xy , М0(−2, 1, 2).
			Ответ: x + 6 y − 2z = 0 .
7.	Найти вторые частные производные указанной функции. Убедиться в
	том, что	′′	′′
	том, что	zxy	= z yx .

z= ctg ( x + y ) .

8.Исследовать на экстремум следующую функцию:

z = x3 + 8 y3 − 6xy + 5 .

Ответ: zmin (1; 0,5) = 4.

9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

ласти D, ограниченной заданными линиями.

z = xy − x − 2 y ,	D: х = 3, y = x , у = 0.
Ответ:	zнаиб. (0, 0) = z (3, 3) = 0,

z = z ( x, y ) в об-

zнаим. (3, 0) = − 3.

	Вариант 3

1.	Найти область определения функции z =	y2 − x2 .
2.	Найти частные производные функции	z = arctg(x2 + y2 ).
		z = arctg x +		.
3.	Найти полный дифференциал функции	z = arctg x +	y	.

227

4. Вычислить значение производной сложной функции u = u(x, y), где x = x(t), y = y(t) при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой.

u = y x , x = ln (t −1) , y = e 2 , t0 = 2 .

Ответ: 1.

xy = z 2 − 1,	М0(0, 1, −1).
Ответ:	′	(0, 1,	−1) = − 0,5,	′	(0, 1,	−1) = 0.
	zx			z y

6.	Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверх-
	ности S	в точке М0(х0, у0, z0).
			S: y2 − z 2 + x2 − 2xz + 2x = z , М0(1, 1, 1).
			Ответ: 2x + 2 y − 5z + 1 = 0 .
7.	Найти вторые частные производные указанной функции. Убедиться в
	том, что	′′	′′
	том, что	zxy	= z yx .

z= ln (3x2 − 2 y2 ) .

8.Исследовать на экстремум следующую функцию:

z = 6( x − y) − 3x2 − 3y2 .

Ответ: zmax (1, − 1) = 6. 9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = z ( x, y ) в об-

ласти D, ограниченной заданными линиями.

z = x2 + 2xy −10 , D: у = 0, у = х2 – 4.
	−	4	, −	20	= −	62			− 3) = −15.
Ответ: zнаиб.							, zнаим.	(1,
		3		9		27

	Вариант 4
1.	Найти область определения функции z = ln (4 − x2 − y2 ).
2.	Найти частные производные функции	z = cos(x3 − 2xy).
3.	Найти полный дифференциал функции	z = arcsin ( xy) − 3xy2 .
4.	Вычислить значение производной сложной функции u = u(x, y), где x = x(t),
	y = y(t) при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой.

u = e y −2 x+ 2 , x = sin t , y = cos t , t0	= π .
	2
	Ответ: − 1.

228

x2 + y 2 + z2 − 6x = 0 ,	М0(1, 2, 1).			(1, 2, 1) = − 2.
Ответ:	′	(1, 2, 1) = 2,	′
	zx		z y

6.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверх- ности S в точке М0(х0, у0, z0).

S: x2 + y2 + 2 yz − z 2 + y − 2z = 2 , М0(1, 1, 1).

Ответ: 2x + 5 y − 2z − 5 = 0 . 7. Найти вторые частные производные указанной функции. Убедиться в

том, что	′′	′′
том, что	zxy	= z yx .

z= arcctg ( x − 3y ) .

8.Исследовать на экстремум следующую функцию:

z = 4( x − y) − x2 − y2 .

Ответ: zmax (2, −2) = 8.

9.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = z ( x, y ) в об-

ласти D, ограниченной заданными линиями.

z = x2 − 2 y2 + 4xy − 6x − 1, D: х = 0, у = 0, х + у – 3 = 0.

Ответ: zнаиб. (0, 0) = − 1, zнаим. (0, 3) = − 19.

Вариант 5

1.	Найти область определения функции z =	2			.
		6 − x2 − y2

2.	Найти частные производные функции	z = sin			y	.

					x3
3.	Найти полный дифференциал функции	z = 5xy4 + 2x2 y7 .
4.	Вычислить значение производной сложной функции u = u(x, y), где x = x(t),
	y = y(t) при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой.
	u = x2e y , x = cos t , y = sin t , t		0	= π .

Ответ: − 1.

e z −1 = cos x cos y + 1,	М	π	.
	0	0,	, 1
		2

Ответ:	′	π		= 0,	′	π		= − 1.
Ответ:	zx	0,	, 1	= 0,	z y	0,	, 1	= − 1.
		2				2

229

6.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверх- ности S в точке М0(х0, у0, z0).

S: x2 + y2 − xz − yz = 0 , М0(0, 2, 2).

Ответ: x − y + z = 0 . 7. Найти вторые частные производные указанной функции. Убедиться в

том, что	′′	′′
том, что	zxy	= z yx .

z= arccos(2x + y ) .

8.Исследовать на экстремум следующую функцию:

z = x2 + xy + y2 + x − y + 1 .

Ответ: zmin (−1, 1) = 0.

9.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = z ( x, y ) в об-

ласти D, ограниченной заданными линиями.

z = 3x + 6 y − x2 − xy − y 2 , D: х = 0, х = 1, у = 0, у = 1.

	Ответ:	zнаиб. (1, 1) = 6, zнаим. (0, 0) = 0.
	Вариант 6

1.	Найти область определения функции z =		x2 + y2 − 5 .
2.	Найти частные производные функции		z = tg (x3 + y2 ).
3.	Найти полный дифференциал функции		z = cos(x2 − y2 ) + x3 .
4.	Вычислить значение производной сложной функции u = u(x, y), где x = x(t),
	y = y(t) при t = t0 с точностью до двух знаков после запятой.
	u = ln (ex + e y ) , x = t 2 , y = t3 , t0 = 1 .

Ответ: 2,5.

cos2 x + cos2 y + cos2 z =		3	,	М		π	,	3π	π .
cos2 x + cos2 y + cos2 z =			,	М				3π	π .
	2			0				,
	2					4		4		4
Ответ:	′ π				3π	π		= −		′	π 3π π				= 1.
Ответ:	zx			,		,		= −		1, z y	,		,		= 1.
		4		4		4					4	4		4

6.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверх- ности S в точке М0(х0, у0, z0).

S: x2 + z 2 − 5 yz + 3y = 46 , М0(1, 2, −3).

Ответ: x + 9 y − 8z − 43 = 0 .

230

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2523 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб51умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб42умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб40умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб46умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб47умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб53умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб35умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf