Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Опред интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 259 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Обучающий пример 7 (повышенный уровень). Вычислить

1 + cos 2x

∫

dx .

0 ≤ x ≤

cos x

1 + cos 2x

2cos

Решение.

= | cos x | =

≤ x ≤ π,

− cos x

1 + cos 2x

(− cos x)dx = sin x

02 + (−sin x)

поэтому ∫

dx =

∫ cos xdx

+ ∫

π =

= (1 − 0) + (0 − (−1)) = 2 .

Отметим, что заданный интеграл можно вычислить более эффектив- ным способом:

∫

cos x

dx = 2 ∫ cos x dx .

Замечание I.1. Если не обратить внимание на то, что значения cosx

отрицательны в [π/2; π] и положить

1 + cos 2x

= cos x , получим заведомо

0π = 0 .

неверный результат ∫cos xdx = sin x

100π

Обучающий пример 8

(повышенный

уровень). Вычислить

∫

1 − cos 2xdx .

Решение. Имеем

1 − cos 2x

sin x

. Так как

sin x

имеет период π,

100π

∫

∫ | sin x |dx = 100

∫sin xdx = 200

то

1 − cos 2xdx =

2 .

Обучающий пример 9 (повышенный уровень). Найти ошибку, до-

пущенную при следующем вычислении интеграла:

arctg (

× tg x)

p = 0 .

cos 2 x

∫

= ∫

1 + 2sin 2 x

0 cos 2 x + 3sin 2 x

1 + 3tg 2 x

Интеграл всюду положительной функции оказался равным нулю.

Решение. Применить формулу Ньютона – Лейбница нельзя, т. к. пер-

вообразная F (x) =		1		arctg (					tg x)
		1					3				терпит разрыв в точке x = π/2. Дейст-

			3
			3																		π
вительно,	lim F ( x) =						1			arctg (					tg x) =		1		arctg (+∞) =				,
					lim		1							3			1
					lim									3
	x→ π −0				x→ π	−0	3				3										2 3
	2				2																π
lim F ( x) =						1		arctg (					tg x) =			1		arctg (−∞) = −				.
				lim		1						3				1
				lim								3
x→	π +0		x→		π +0	3					3									2 3
	2				2

Это происходит по той причине, что делить числитель и знаменатель на cos2 x также нельзя, т. к. на отрезке интегрирования имеется точка, где

cos π = 0 . 2


	1				+ x
2				1
Обучающий пример 10. Вычислить ∫			cos x ln	1		dx .
Обучающий пример 10. Вычислить ∫			cos x ln			dx .
−		1	1		− x
−
2

Решение. Функция f ( x) = cos x четная. Докажем, что функция

ϕ( x) = ln	1	+ x	нечетная.
ϕ( x) = ln		− x	нечетная.
1		− x				−1
			1 − x		1 + x	−1	1 + x
ϕ(−x) = ln				= ln		= − ln		= −ϕ( x).
ϕ(−x) = ln				= ln		= − ln	1 − x	= −ϕ( x).
			1 + x		1 − x		1 − x

Таким образом, подынтегральная функция представляет собой про- изведение четной и нечетной функций, т. е. является нечетной функцией,

+ x

dx = 0 .

поэтому ∫ cos x ln

−

1 − x

Обучающий пример 11.

2x 7 + 3x 6 −10x 5 − 7x 3 −12x

2 + x + 1

Вычислить

∫

dx .

x 2 + 2

−

Решение. Представим интеграл в виде суммы двух интегралов таким образом, чтобы под знаком первого интеграла стояла нечетная функция, а под знаком второго интеграла – четная функция.


	2		2x 7 + 3x 6 −10x 5 − 7x 3 −12x	2 + x + 1
∫					dx =
∫			x 2 + 2		dx =
−
−		2

2x 7 −10x 5 − 7x 3 + x

−12x 2 + 1

2 3x 6

∫

dx +

∫

dx =

x 2 + 2

−

3x 2 (x 4 − 4) + 1

3x 2 (x 4

− 4)

= 0 + ∫

dx =

2 ∫

+ 2

− 2

= 2 ∫

2 (x 2

− 2) +

dx = 6 ∫

(x 4 − 2x 2 )dx + 2 ∫

x 2 +

2 + 2

x 5

16 2

− 4x 3 +

arctg

2 = −

2 2

4.Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студента

удоски выполняют свои задания).

Уровень 1

1)	π∫(2x + sin 2x)dx .
	0
	lg 2			2 x5 x dx .
2)	∫			2 x5 x dx .
	0
	5				dx
3)	∫				dx		.
3)	∫						.
	2		2x − 3
	2
	5			xdx
4)	∫						.
4)	∫	1		+ x 2			.
	1	1		+ x 2
	2 x + 2
5)	∫					dx .
5)	∫					dx .
	1		3 − x
	1
	1			x − 4
6)	∫							dx .
6)	∫							dx .
	0				x − 2
	0

7)∫ 4x − 2dx .

8)∫ 3 x −1dx .

Ответ: π2.

Ответ: 1 . ln10

Ответ: 1 ln 7 . 2

Ответ: 1 ln13 . 2

Ответ: 5ln 2 −1.

Ответ: 8 . 3

Ответ: 2 . 3

Ответ: 45 . 4

	1
	1	(		+ 3 x 2 )dx .
9)	∫	(	x	+ 3 x 2 )dx .
	0
	4				x
10)	∫	1 + e			4	dx .
	0
	0
	7		dx
11)	∫		dx				.
11)	∫						.
	−1		3x + 4

1dx

12)0∫ (2x + 1)3 dx .

13)∫sin 3 xdx .

14)∫ cos 2 xdx .

−2	dx
15) ∫
		.


−4	5 − 4x − x 2

Уровень 2

Найти 2∫ f ( x)dx , если

0 ≤ x < 1;

f (x) =

1 ≤ x ≤ 2.

2π

x + cos x

∫

dx .

x 2 + 2sin x

3 x − 2 x

∫

dx .

6 x

−1

xdx

∫

x + 2 +

3x + 2

Ответ: 19 . 15

Ответ: 4e .

Ответ: 8 . 3

Ответ: 2 . 9

Ответ: 2 . 3

Ответ: π + 1 . 8 4

Ответ: arcsin 2 . 3

Ответ: e+1.

Ответ: ln2.
Ответ:	1		−		2	.
	ln 2
					ln 3
				− 24			.
Ответ:	20		2

		9

	3	x	3 + x +1
5) ∫				dx .
5) ∫		x (x 2 +1)		dx .
1		x (x 2 +1)

6) ∫ 3 - x dx .

π 1 - cos 2x

7)∫dx .

0 2

5x 5 sin 2 x

8)−∫5 x 4 + 2x 2 +1 dx .

	8
9)	∫ x8 sin 9 xdx .
− π
	8
	7	x	4 sin x
10)	∫			dx .
10)	∫			dx .
	−7	x 6 + 2
	2	x	5 + 7x 4 + x 3 - 5x					2 - 2
11)	∫								dx .
11)	∫			x 3 + x					dx .
	−2			x 3 + x
	π	x 7 × cos 2x dx .
12)	∫	x 7 × cos 2x dx .
	−π
	−1
13)	∫ x8 arcsin x dx .
	1
	2,7		x 2 sin 2,7x
14)	∫					dx .
14)	∫					dx .
	−2,7		x 2 + 3
	π
	2	sin 2 x ×ln			2 + x
15)	∫				2 + x		dx .
15)	∫						dx .
	− π				2 - x
	− π
	2

Уровень 3

1)Найти пределы сумм:

	1	+	2	+ ... +	n -1
а) lim						.
			n 2		n 2
n→∞ n 2

Ответ:		-1 + ln	6	.
	3

Ответ: 1.

Ответ: 2.

Ответ: 0.

Ответ: 16 . 3

Ответ: 0.

Ответ: 1/2.

Указание. Сумму

S n

+ ... +

n -1

1 0

+ ... +

n 2

n n n n

можно рассматривать как интегральную сумму для функции

f ( x) = x на

отрезке [0,1].

lim S n = ∫ x dx .

n→∞

Отметим, что этот предел может быть вычислен и по-другому:

n -1

1 + 2 +…+ n -1

lim

... +

= lim

n 2

n→∞ n 2

n→∞

= lim

n −1

n→∞ 2 n

+ ... +

б)

lim

n + 2

n→∞ n +1

n + n

1 + n −1 ×(n -1)

lim	2		=
		n 2
n→∞

Ответ: ln2.

Указание. Сумму можно рассматривать как интегральную сумму

S n =	1	+	1	+ ... +	1	=	1	1	+	1	+ ... +	1	для функции

										+ 2 n
	n +1 n + 2				n + n n 1			+1 n 1			1	+ n n

f ( x) =	1	на отрезке [0,1], где точки
	+ x
1

xk = k (k =1,2,.., n) . n

+ .. +

в) lim

+12

+ 2 2

+ n 2

n→∞ n

n n

Указание. Выражение S n = n 2 +12 + n 2 + 2 2

деления имеют вид

Ответ: p . 4

+ .. + n 2 + n 2 =

1 + (1 n)

2 +

1 + (2 n)

2 + .. +

1 + (n n)

можно рассматривать как интегральную сумму для функции

f ( x) =

1 + x 2

на отрезке [0;1].

x 2

∫ sin

xdx

г)

lim

Ответ:

x→0

x 3

Указание. Применить правило Лопиталя и теорему о производной

интеграла по верхнему пределу:

x 2

×(x 2 )'

∫

= ∫ sin

= sin x × 2x .

sin

xdx

x 2

∫e x

д)

lim

Ответ: 0.

x→+∞

∫e 2 x 2 dx

∫x (ar ctg x)2 dx

е)

lim

Ответ:

x→+∞

x 2 +1

(n -1)p

ж)

lim

sin

+ sin

.. + sin

Ответ: 2.

n→∞ n

Указание. Если к указанной

сумме

присоединить слагаемое

sin pn = 0 , то она будет являться интегральной для функции

f (x) = sin x на

отрезке [0;p] .

(n -1)p

з)

lim

+ cos

+ .. + cos

Ответ: 1.

n→∞

Домашнее задание

1) Изучить теоретический материал по теме «Интегрирование по частям. Замена переменных в определенном интеграле».

2) Вычислить исходя из определения определенного интеграла

1∫( x +1)dx .	Ответ:	3	.

0	2

3) Используя формулу Ньютона –

а) ∫(x 2 − 2x + 3)dx .

б)

∫

0 x

2 + 4x + 5

e 2

в)

∫

x ln x

г)

∫

1 − x 2

+ 1

д) ∫

dx .

3 (x 2 +

1 x

Лейбница, вычислить

Ответ: 7 . 3

Ответ: arctg 3 − arctg 2 .

Ответ: ln 2 .

Ответ: π . 4

Ответ: ln 5 + 3 . 4 8

II.Интегрирование по частям

изамена переменных в определенном интеграле

1.На доске записаны примеры, которые необходимо вычислить устно:

а) ∫ x 2dx ;

в)

∫

;

д)

∫sin 2xdx ;

−

π cos 2 x

e cos(ln x)

б) ∫sin xdx ;

г)

∫

;

е)

∫

dx .

1 + x 2

2. Обратить внимание, что пример е) можно вычислить и подведени- ем под знак дифференциала и методом замены переменной в определен- ном интеграле.

Пусть для вычисления интеграла b∫ f ( x)dx от непрерывной функции

сделана подстановка x = ϕ(t ) . Каким условием должна удовлетворять эта функция?

Если функция x = ϕ(t ) удовлетворяет следующим условиям:

1) ϕ(t ) – непрерывная однозначная функция, заданная на отрезке

[α;β] и имеющая в нем непрерывную производную ϕ′(t ) ;

2) значение функции x = ϕ(t ) при изменении t на отрезке [α;β] не

выходит за пределы отрезка [a;b] ;

3) ϕ(α) = a и ϕ(β) = b , то для любой непрерывной на отрезке [a;b]

функции f (x) справедлива формула замены переменной (подстановки) в

определенном интеграле.

b∫ f ( x)dx =	β∫ f (j(t ))j¢(t )dt .	(II.1)
a	α

При этом функцию x = ϕ(t) следует подобрать так, чтобы, подставив ее вместо х в подынтегральное выражение, получить более простой интеграл.

Часто вместо подстановки x = ϕ(t ) применяют обратную подстанов-

ку t = ψ ( x) . В этом случае пределы α и β определяются непосредствен-

но из равенств α = ψ (a) и β = ψ (b) . На практике замену переменной

обычно производят с помощью монотонных непрерывно дифференцируе- мых функций. При этом замену пределов интегрирования удобно записы-

вать в виде таблицы	x	a	b	.
вать в виде таблицы	t	a	b	.

			9		dx
Обучающий пример 1. Вычислить ∫					dx		с помощью замены пе-
Обучающий пример 1. Вычислить ∫					5 + 2		с помощью замены пе-
			1		5 + 2	x

ременных.

9	dx
Решение. ∫	dx

	5 + 2 x
1	5 + 2 x

				= t x = t		2

			x				3	2tdt	3	2t + 5	- 5
							3	2tdt	3	2t + 5	- 5
=	dx = 2tdt						= ∫		=∫			dt =
=	dx = 2tdt						= ∫	5 + 2t	=∫	2t +	5	dt =
							1		1
		x	1		9		1		1
		x	1		9
		t	1		3

3			5		3			1			3			5	(ln11	- ln 7) = 2			5	11
= ∫	1	-		dt = t		- 5	×		ln	2t + 5		= 3 -1	-					-		ln	.
= ∫	1	-		dt = t		- 5	×		ln	2t + 5		= 3 -1	-					-		ln	.
1			2t + 5		1			2			1		π	2					2	7
1			2t + 5

	Обучающий пример 2.												2		dx
										Вычислить			∫				с помощью под-
										Вычислить			∫				с помощью под-
													0	3 + 2cos x

становки.

												tg	x			= t x = 2arctg t
												tg				= t x = 2arctg t
	π										2																1 − t				2								2dt
	2																2dt																		1
	2				dx					=	dx =															=						=			1	1				+ t 2					=
Решение.	∫				dx																,cos x														∫	1				+ t 2
Решение.	∫																		2		,cos x										2				∫	3 + 2(1 − t							2	)
	0	3 + 2cos x														1 + t			2								1 + t				2				0								2
	0																																		0

																	π
												x		0			π																							1 + t		2
												x		0				2																						1 + t
												t		0				2
												t		0			1
																	1
		1																					1 =
					2dt						2									t								2							1

	= ∫								=						arctg														arctg									.
	= ∫				2 +				=						arctg														arctg									.
		0		t			5				5									5			0				5									5
		0		t			5
Замечание II.1. Законность подстановки обеспечивается моно-
тонностью функции					tg	x		= t на отрезке [0; π] .
тонностью функции					tg			= t на отрезке [0; π] .
					2																	2									2π
Обучающий пример 3.																															2π						dx
												Вычислим интеграл																			∫						dx				.

																																	5
																															0		5		− 2cos x
																															0
Решение.	Применив подстановку tg																							x	= t , будем иметь
Решение.	Применив подстановку tg																								= t , будем иметь
																						2
		2π			dx						0												2dt
		∫			dx						= ∫												2dt											= 0

			5		− 2cos x																	2				(1 − t				2	)
		0	5		− 2cos x						0																			2
		0									0							2
															(1 + t					)		5 −
															(1 + t					)		5 −				1 + t 2

Результат явно неверный, т. к. подынтегральная функция положи- тельная, а следовательно, интеграл от этой функции не может быть равен 0.

В чем ошибка?

Ответ. Подстановку tg x = t в данном случае использовать нельзя, т. 2

к. эта функция разрывная при x = π .

2			dx
Обучающий пример 4. Вычислить ∫					.

		x	1 − x	2
	1	x	1 − x	2
2
Решение. Применим подстановку x = sin t (данная функция не явля-
ется монотонной), dx = cost dt . Новые пределы t1				и t 2 находим из урав-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 259 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб51умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб42умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб40умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб46умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб47умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб53умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб35умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf