14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Вакульчик_Опред интеграл

ПРИЛОЖЕНИЕ

Вычисление определенных и несобственных интегралов с помощью математических пакетов Maple и MathCAD

Предлагаемые программы помогут Вам при проверке домашнего за- дания или, при необходимости, предоставят возможность быстрого вычис- ления определенных и несобственных интегралов.

Рассмотрим вычисление определенных и несобственных интегралов с помощью математического пакета Maple. Maple имеет несколько функ- ций для интегрирования выражений пользователя: Int, Doubleint, Tripleint, Lineint.

Интегрирование выражений по заданной переменной осуществляет- ся командой int(), которая имеет отложенную форму Int(). Эта команда по- зволяет вычислять как неопределенный интеграл от выражения с исполь- зованием следующего синтаксиса команды int (выражение, переменная), так и определенный интеграл с помощью следующего синтаксиса команды int (выражение, переменная = a...b), где a и b являются пределами интегри- рования, причем эти пределы могут быть и аналитическими выражениями.

Для вычисления определенного интеграла Вам необходимо задать подынтегральную функцию.

Например, f := x2 ×sin x ;

Нужно помнить, что в выбранной программе очень важное место за- нимают операторы «:» – присвоить, «;» – окончание предложения.

Int ( f , x = 0..Pi) ; – проверка интеграла

int ( f , x = 0..Pi) ; – непосредственное вычисление (Ответ – число).

Решение приведено на рис. П.1.

Если с помощью Maple невозможно найти замкнутую форму выра- жения для определенного интеграла, то команда интегрирования возвра- щает просто вызов самой себе. В подобных случаях можно вычислить значение определенного интеграла численным способом с помощью ко- манды evalf().Синтаксис указанной программы – evalf(int ( выражение, пе-

ременная = a...b)).

Особенностью предложенной программы являются графические воз- можности (позволяют быстро и сравнительно легко построить любые гра- фики функций как на плоскости так и в пространстве, пересечение графи- ков функций), поэтому Вы можете построить необходимые графики функ- ций и с помощью выше описанных команд вычислить площадь фигуры, объем тела или длину кривой.

161

Более подробно с работой предлагаемой программы Вы можете оз- накомиться на практических занятиях или воспользоваться соответствую- щей литературой (например, [5]).

Рекомендуем с помощью математического пакета Maple самостоя- тельно вычислить следующие определенные и несобственные интегралы:

5. вычислить площадь фигуры ограниченной кривыми y = x , y = x3 . Рассмотрим один из наиболее популярных математических пакетов

MathCAD.

Чтобы вычислить определенный интеграл, следует напечатать его обычную математическую форму в документе. Делается это с помощью панели Calculus (вычисления) нажатием кнопки со значком интеграла:

1. Выберите на панели вкладку ВИД → ПАНЕЛИ ИНСТРУМЕН- ТОВ →МАТЕМАТИЧЕСКАЯ (рис. П.3)

Рис. П.3

2.Далее появится панель, представленная на рис. П.4.

3.Выберете на ней панель вычисления как на рис. П.5.

4.На панели вычисления выберите вкладку определенного интеграла

(рис. П.6).

163

2. Щелкните на поле между знаком интеграла и d. Затем напечатай- те подынтегральное выражение x ×ln( x) :

⌠1

x×ln(x + 1) d

⌡0

3. Щелкните на поле и наберите x – это переменная интегрирова- ния. Затем нажмите знак «=», чтобы увидеть результат:

⌠1

x×ln(x + 1) dx = 0.25

⌡0

Замечание. В отличие от неопределенного интеграла, определенный интеграл может быть вычислен как аналитически, так и численно.

Возможности математического пакета MathCAD позволяют вычис- лять объем тела, площадь фигуры и находить длину кривой (рис. П.8).

Применяя графические возможности, представляемого математиче- ского пакета, строим два графика функций. После анализа полученного изображения вычисляем площадь требуемой фигуры.

Рис. П.8

165

В рамках математического пакета MathCAD имеется возможность вычисления несобственных интегралов (рис. П.9). Для получения необхо- димого результата нужно указать заданные пределы интегрирования и способ вычисления (аналитически или численно).

Рис. П.9

Представленная программа обладает также и другими возможностя- ми, ознакомиться с которыми можно либо на занятиях, либо изучая специ- альную литературу.

Далее приведены задания, которые Вам необходимо выполнить са-

гуры, ограниченной указанными линиями y = 5x, y 2 = 15x . Сделать чертеж.

166

УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 8 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Введение

В данном учебном модуле рассматриваются функции нескольких пе- ременных (ФНП). Вводятся понятия ФНП, ее области определения и гра- фика. Изложены основы нахождения предела ФНП, исследования ее на непрерывность. Дано понятие частных производных ФНП, приведены ус- ловия дифференцируемости. С понятием частных производных тесно свя- зано понятие полного дифференциала ФНП и его использование в при- ближенных вычислениях. Рассмотрены характеристики скалярных и век- торных полей – градиент и производная по направлению. Приведены гео- метрические приложения ФНП. Детально изучены вопросы локального экстремума, условного экстремума ФНП, изложен алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений ФНП в замкнутой области.

ДИДАКТИЧЕСКИЕ ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ

167

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА МОДУЛЯ

Принятые сокращения: ОЛ – опрос на лекции;

ВДз – выдача домашнего задания; ПДз – проверка домашнего задания.

168

ГРАФИЧЕСКАЯ СХЕМА МОДУЛЯ

Ф Н П

Частные производные

169

ИНФОРМАЦИОННАЯ ТАБЛИЦА «ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ»

некоторого множества становится в соответствие единственный элемент того же или другого множества.

Если п = 2, то функция z = f(x, y) называется функцией двух переменных.

170