14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Вакульчик_Опред интеграл

∂z

Аналогично, частная производная ∂x численно равна тангенсу угла на-

клона α касательной к сечению поверхности z = f ( x, y ) плоскостью y = const .

8.4. Дифференцируемость ФНП

Определение 8.4.1. Функция u = f ( x, y, z ) называется диффе-

Если функция u = f ( x, y, z ) дифференцируема в точке M 0 ( x0 , y0 , z0 ) , то в этой точке существуют частные производные по всем переменным, причем

Аналогично доказываются и остальные соотношения в (8.4.2).

Итак, из дифференцируемости функции f в точке М0 следует суще- ствование в этой точке всех ее частных производных и для полного при- ращения имеет место формула

181

Однако как и для функции одной переменной, из непрерывности функции нескольких переменных в точке М0, а также существования ее ча- стных производных в этой точке, еще не следует дифференцируемость функции.

ТЕОРЕМА 8.4.2 (достаточные условия дифференцируемости). Если функция u = f ( x, y, z ) в окрестности точки M 0 ( x0 , y0 , z0 ) имеет непрерыв-

8.5. Полный дифференциал ФНП, его применение в приближенных вычислениях

Определение 8.5.1. Если функция u = f ( x, y, z ) дифференцируема

являющееся линейной функцией приращений х, у и z, называется пол-

ным дифференциалом или просто дифференциалом функции f в точке М0

и обозначается df (М0) или dи (М0).

Итак, по определению, дифференциал имеет вид

принимает вид

т. е. полное приращение функции состоит из двух частей: главной части du(М0) и О(ρ), являющейся бесконечно малой частью при ρ→0. Поэтому дифференциал в точке, если он отличен от нуля, является главной линей- ной частью полного приращения функции в этой точке.

182

сумме частных дифференциалов:

df (M 0 ) = d x f (M 0 ) + d y f (M 0 ) + d z f (M 0 ) .

Формулу (8.5.3) можно использовать для приближенного вычисле- ния значений функции. Имеет место приближенное равенство

Du (M 0 ) » du (M 0 )

или

f ( x0 + Dx, y0 + D y, z0 + Dz ) » f ( x0 , y0 , z0 ) + df ( x0 , y0 , z0 ) . (8.5.4)

число можно рассматривать как значение этой функции при x = x0 + x , y = y0 + y , где х0 = 4, у0 = 3, Dх = 0,05, Dу = 0,07. Имеем

Теперь по формуле (8.5.4) получаем

183

8.6. Дифференцирование сложных функций

Пусть задана непрерывно дифференцируемая функция трех пере-

при Dt ® 0.

В силу дифференцируемости функции u = f ( x, y, z ) ее полное при-

ращение

ке x(t), y(t), z(t). Разделив все члены равенства (8.6.1) на Dt и перейдя в по-

184

Таким образом, равенство (8.6.2) принимает вид

yt′ = a cost , zt′ = cos 2t , по формуле (8.6.3) получаем ut¢ = 2x ×(-a sin t ) + 2 y × a cost + 3z 2 cos 2t =

=-2a2 sin t cost + 2a2 sin t cos t + 3sin 2 t × cos2 t cos 2t =

=3 sin 2 2t × cos 2t = 3 sin 4t ×sin 2t .

Формула (8.6.4) носит название полной производной.

прерывно дифференцируемые функции переменных S и t. Тем самым оп- ределена сложная функция двух переменных

u = f ( x (S, t ), y (S, t ), z (S, t )) = F(S, t ) .

Так как при вычислении частных производных одна из переменных фиксируется, то этот случай по сути дела сводится к рассмотренному вы-

ше, в силу чего формулы для вычисления ∂u и ∂u имеют вид

¶S dt

185

= -2(S - t )S 3t3 + 3(S - t )2 S 3t 2 .

Аналогичные формулы имеют место для сложных функций и боль- шего числа независимых переменных.

8.7. Инвариантность формы первого дифференциала ФНП

Рассмотрим дифференциал сложной функции u = f(x,y,z), где x = x(S,t),

186

Таким образом, полный дифференциал сохраняет свой вид незави- симо от того, являются ли функции x, y, z независимыми переменными или являются функциями других независимых переменных.

В этом и состоит свойство инвариантности первого дифференциала. Это свойство позволяет установить следующие правила вычисления диф- ференциалов:

d (u ± v) = du ± dv ; d (uv) = udv + vdu ;

Отметим, что для полных дифференциалов высших порядков свой- ство инвариантности не выполняется.

8.8. Производная от ФНП, заданной неявно

Пусть некоторая функция у от х определяется уравнением F(x,y) = 0. Тогда имеет место следующая теорема.

ТЕОРЕМА 8.8.1. Пусть непрерывная функция у от х задается не- явно уравнением

187

Рассмотрим теперь уравнение вида

Если каждой паре чисел х и у из некоторой области соответствует одно или несколько значений z, удовлетворяющих уравнению (8.8.3), то это уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функ- ций z от х и у.

Например, уравнение сферы x2 + y2 + z 2 − R2 = 0 неявно определяет две непрерывные функции:

определяемой уравнением (8.8.3).

∂z

Когда мы ищем ∂x , то у считаем постоянным. Поэтому здесь приме-

нима формула (8.8.2), если независимой переменной считать х, а функци- ей z. Следовательно,

свою очередь, являются дифференцируемыми функциями, то можно нахо- дить их частные производные.

188

∂2u

называемые частными производными второго порядка, обозначаются ∂x2 ,

Аналогично вводятся частные производные третьего порядка. На-

Частные производные высших порядков функции и по различным переменным называются смешанными производными. Производные выс-