14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Вакульчик_Опред интеграл

3−ε

dx

x

3−ε

3 − ε

π

= lim

∫

= lim arcsin

= lim

arcsin

− 0 =

. Таким

обра-

ε→0

0

9 − x 2

ε→0

3

0

ε→0

3

2

зом, интеграл сходится.

1

0

Решение. При x → 0 функция ln x → −∞ . По формуле (III.6) имеем

1

1

1

= lim (x ln x

10+ε ) =

ln x = u, du =

dx

10+ε − x

∫ln x dx = lim

∫ ln x dx =

x

0

ε→0 0+ε

dx = dv,

v = x

ε→0

ln ε

1

= −1 − lim (ε ln ε − ε)

= −1 − 0 = −1, т. к. lim ε ln ε = lim

= lim

ε

=

ε→0

ε→0

ε→0

1

ε→0 −

1

= lim (−ε) = 0 . Интеграл сходится и равен

ε

– 1.

ε→0

1

dx

.

x

2

−1

1

dx

0

dx

1

dx

0−ε

1

dx

∫

= ∫

+ ∫

= lim

∫ 1

dx

+ lim

∫

=

−1 x 2

−1 x 2

0 x 2

ε1→0

−1 x 2

ε 2 →0

0+ε 2

x 2

1

−ε

1

1

1

1

1

=

lim −

+

lim −

ε 2

= lim

−1

+ lim

−1 = ∞ .

−1

ε1 →0

x

ε 2 →0

x

ε1 →0 ε1

ε 2 →0 ε 2

cos 2 x

3

(1 - x 2 )2

точке x = 1. Перепишем ее в виде

f ( x) =

cos 2 x

×

1

и сравним с

2

3 (1 + x)2 (1 - x)

3

функцией g ( x) =

1

.

2

(1 - x)

3

1

dx

2

Интеграл ∫

сходится

m =

2

3

0 (1 - x) 3

2

f ( x)

cos

2 x

1

(1 - x)

Так

как

lim

= lim

×

×

3

=

2

x→1 g ( x)

x→1 3 (1 + x)2 (1 - x)

1

3

lim

cos 2 x

=

cos

2

1

(¹ 0, ¹ ¥),

то,

согласно предельному признаку срав-

x→1 3

(1 + x)2

3 4

Обучающий пример 13.

1

dx

∫

.

2

3x

+ 3 x

0

Решение. Подынтегральная функция

f ( x) =

dx

терпит разрыв

3x 2 + 3 x

в точке x = 0. Сравним ее с функцией

g ( x) =

1

. Здесь

dx

<

1

,

3x 2 +

3 x

3 x

3 x

1

dx

1

но несобственный интеграл ∫

сходится как эталонный ( m =

<1).

3

3

0

x

1

dx

Следовательно,

интеграл

∫

по признаку сравнения, также

0 3x 2 + 3 x

сходится.