Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Опред интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2522 23 24 25 > Следующая >>>

Частными производными второго порядка от функции z = f ( x, y )

называются частные производные от ее частных производных первого по- рядка:

∂∂z =

∂∂

∂∂z =

∂∂

∂2 z = ∂x2

∂2 z

∂y∂x

f ′′ ( x, y ) ;

= f ′′ ( x, y );

	∂ ∂z			∂2 z		′′
		=			=	′′
∂y ∂x				∂x∂y
	∂ ∂z			∂2 z		′′	( x, y ).
			=
			=
	∂y	∂y		∂y2

Так называемые смешанные производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между со- бой, если они непрерывны, например,

∂2 z = ∂2 z . ∂x∂y ∂y∂x

Дифференциалом второго порядка от функции z = f ( x, y ) называет-

ся дифференциал от ее полного дифференциала, т. е. d 2 z = d (dz )

d 3z = d (d 2 z ),

и т. д.

…

d n z = d (d n−1z ).

Имеют место формулы:

2 z =

∂2 z

+ 2

∂2 z

dx dy +

∂2 z

;

∂x

∂x ∂y

∂y2

3z =

∂3z

dx3 + 3

∂3 z

2dy +

∂3z

dx dy2 +

∂3z

3 .

∂x3

∂x2∂y

∂x ∂y2

∂y

Вообще имеет место символическая формула

d n z =

∂

dx +

∂

dy z ,

∂x

∂y

которая формально раскрывается по биномиальному закону (см. теорети- ческую часть модуля 8).

2. Студенты работают с УМК, самостоятельно разбирают обучаю- щую задачу.

Обучающая задача 1. Найти полное приращение и полный диф-

ференциал функции z = x2 − xy + y 2 .

211

Решение. По определению

z = ( x + x)2 − ( x + x)( y + y ) + ( y + y )2 − x2 + xy − y2 =

= x2 + 2x x + x2 − xy − y x − x y − x y + y2 + 2 y y + y2 − x2 + xy − y2 =

= 2x x − x y + 2 y y − y x + x2 − x y + y2 =

= (2x - y ) Dx + (2 y - x) D y + Dx2 - DxD y + D y2 .

Выражение (2x - y ) Dx + (2 y - x) D y , линейное относительно Dх и

Dу, есть дифференциал dz, а величина α = x2 − x	y + y 2 - бесконечно

малая более высокого порядка по сравнению с r =	Dx2 + D y2 . Таким об-
разом, z = dz + α .

3. Два студента у доски (параллельно) решают следующий пример:

=x + y

Пример 1. z arctg - y . Найти dz.x

= xdy − ydx

Ответ: dz x2 + y2 .

4.Студенты самостоятельно решают следующий пример:

Пример 2. u = x y2 z . Найти dи.

Ответ: du = y2 z × x y2 z −1dx + 2 yz × x y2 z ln x dy + y2 x y2 z ln xdz .

5.Преподаватель у доски решает обучающую задачу.

Обучающая задача 2.	Вычислить приближенно (1,02)3,01.
Решение. Рассмотрим функцию z = x y . При х0 = 1 и у0 = 3 имеем
z0 = 13 = 1, Dх = 1,02 – 1 = 0,02,	Dу = 3,01 – 3 = 0,01. Находим

dz = yx y −1Dx + x y ln xD y

и вычисляем его значение в точке (1, 3) при Dх = 0,02, Dу = 0,01:

dz = 3 ×12 × 0,02 +13 × ln1× 0,01 = 0,06 .

Тогда z = (1,02)3,01 » z0 + dz =1 + 0,06 =1,06 .

6. Студент у доски решает следующий пример:

Пример 3. Вычислить приближенно ln (0,093 + 0,993 ) .

Ответ: -0,03.

212

7. Студенты решают самостоятельно.

Пример 4. Вычислить приближенно 5e0,02 + 2,032 .

Ответ: 3,037.

8. Два студента у доски (параллельно) решают примеры.

Пример 5. z = y ln x . Найти частные производные второго порядка.

¶2 z

= -

2 z

1 ¶2 z

= 0 .

Ответ:

;

¶x2

¶y2

¶x¶y x

Пример 6.

z = sin x ×sin y . Найти d 2 z .

Ответ: d 2 z = -sin x sin ydx2 + 2cos x cos ydxdy - sin x sin ydy2 .

Пример 7.

z = x2 y . Найти d 3z .

Ответ: d 3z = 6dx2dy .

9. Студенты самостоятельно решают следующие примеры:

Пример 8.

z = ln tg ( x + y ) . Найти

¶2 z

¶x¶y

-4cos(2x + 2 y )

Ответ:

sin 2 (2x + 2 y )

Пример 9.

Пример 10.

Пример 11.

¶2 z

уравнению z ¶x¶y

z = cos( x + y ) . Найти d 2 z .

Ответ: -cos ( x + y )(dx + dy )2 .

z = x	2	y	3	. Проверить, что	¶5 z				=	¶5 z			.
					¶x	2	¶y	3		3	¶x	2
										¶y

Показать, что функция z = j( x) g ( y ) удовлетворяет

=¶z × ¶z . ¶x ¶y

Домашнее задание

1.Изучить тему «Дифференцирование сложных функций. Диффе- ренцирование неявных функций. Касательная плоскость и нормаль к по- верхности. Производная по направлению и градиент».

2.z = e x (cos y + x sin y ) . Найти dz.

Ответ: dz = ex (( x cos y - sin y )dy + (sin y + cos y + x sin y )dx)

213

3. u = exyz . Найти dи.

Ответ: du = exyz ( yzdx + xzdy + xydz ) .

4. Вычислить приближенно 1,041,99 + ln1,02 .

Ответ: 1,05.

5. z = sin ( x + cos y ) . Найти	¶3z	.

	¶x2¶y

Ответ: sin y × cos( x + cos y ) .

6. z = 0,5ln (x2 + y2 ). Найти d 2 z .

						Ответ:	x2 - y 2	(dy 2 - dx2 ) -	4xydxdy	.
						Ответ:	(x2 + y2 )2	(dy 2 - dx2 ) -	(x2 + y 2 )2	.
							(x2 + y2 )2		(x2 + y 2 )2
	7.	Показать, что функция z = g ( x) + yg′( x)						удовлетворяет уравне-
	¶z	=	¶z	+ y	¶2 z
нию						.
нию	¶x		¶y			.
	¶x		¶y		¶x¶y

III. Дифференцирование сложных функций. Дифференцирование неявных функций.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по направлению и градиент

1. Краткое повторение теоретического материала.

Пусть z = f ( x, y ) , где х = j(t), у = y(t) и все функции дифферен-

цируемы. Тогда производная сложной функции z = f (j(t ),y(t )) вычисля-

ется по формуле

∂z ×

∂z

¶x dt

¶y

Если z = f ( x, y ) ,

где

y = j( x) ,

то полная производная z по х

= ∂z +

∂z ×

¶x

¶y dx

Если же z = f (u,v) , где u = j( x, y ) , v = y( x, y ), то

∂z =

∂z

∂u +

∂z ×

∂v ;

∂z

∂u +

∂z ×

∂v .

¶x

¶u

¶x

¶v

¶x

¶y

¶u

¶y

¶v

¶y

214

Производная неявной функции у = у(х), заданной с помощью урав- нения F ( x, y ) = 0 , где F ( x, y ) - дифференцируемая функция, может быть найдена по формуле

		′
y¢	= -	Fx
y¢	= -	Fy¢
x		Fy¢
x

при условии, что F′ ¹ 0 .

Аналогично, частные производные неявной функции двух перемен- ных z = f ( x, y ) , заданной с помощью уравнения F ( x, y, z ) = 0 , могут быть вычислены по формулам:

′

F′

z¢

= -

z′ = −

( F′ ¹ 0) .

Fz¢

Fz′

Если поверхность задана уравнением F ( x, y, z ) = 0 , то уравнение ка-

сательной плоскости в точке M 0 ( x0 , y0 , z0 )

поверхности имеет вид

¶F

( x - x0 ) + ¶F

( y - y0 )

+ ¶F

( z - z0 ) = 0 ,

¶x

M 0

¶y

M 0

¶z

M 0

а канонические уравнения нормали

x −

y −

z −

¶F

¶x

¶y

¶z

Если же уравнение поверхности задано явным образом z = f ( x, y ) , то уравнение касательной плоскости в точке M 0 ( x0 , y0 , z0 ) записывается в виде

z - z0	=	¶z		( x - x0 ) +	¶z		( y - y0 ),

		¶x	M 0		¶y	M 0

аканонические уравнения нормали

x− x0 = y − y0 = z − z0 .

¶z ¶z -1

¶x M	0	¶y	M
			0

Производной функции z = f ( x, y ) в точке М(х, у) в направлении век-

тора S = MM 0 называется предел

¶z	= lim			f (M 0 ) - f (M )		= lim	Dz	,
¶S	= lim					= lim	r	,
¶S		MM 0	→0		MM 0	ρ→0	r

где r = Dx2 + D y2 .

215

В случае функции трех переменных u = f ( x, y, z ) производная в дан-

ном направлении определяется аналогично. Формула для ее практического вычисления имеет вид

	∂u	=	∂u cos α +	∂u cosβ + ∂u cos γ ,

	∂S		∂x	∂y	∂z
где cosa, cosb, cosg - направляющие косинусы вектора							.
						S
Градиентом функции u = f ( x, y, z )					в точке M(x, y, z) называется век-
тор, выходящий из точки			M(x, y, z)	и имеющий своими координатами ча-
стные производные функции и:
		grad u = ∂u i + ∂u j + ∂u k .
			∂x	∂y	∂z

Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке. Производная в направлении градиента имеет наибольшее значение, равное

¶u				¶u 2		¶u 2

	=	grad u	=		+

¶S наиб.				¶x		¶y

+ ¶u 2 .¶z

2. Студенты работают с УМК,

самостоятельно разбирают обучаю-

щую задачу.

Обучающая задача 1.

z = e x2 + y2

, где x = a cost ,

y = a sin t . Найти

Решение.

Имеем

¶z ×

¶z

= ex2 + y2 × 2x (-a sin t ) + e x2 + y2

× 2 y (a cost ) =

¶y

¶x

= 2aex2 + y2 ( y cost - x sin t ).

Обучающая задача 2.

z = ln (x2 + y 2 ), где y = ex . Найти ∂z ,

∂z =

¶x

Решение.

. Для нахождения

используем формулу

x2 + y2

¶x

полной производной

∂z +

∂z ×

2 y

× ex .

+ y2

¶x

¶y dx x2

216

xy -1

3. Два студента у доски решают параллельно.

Пример 1. z = arcsin

, где u = x2 + y

2 , v = x2 - y2 . Найти

∂z и

¶z

¶x

¶y

Ответ:

¶z =

(v - u )

¶z

2 y

(u + v)

¶x v v2 - u2

¶y

v v2 - u2

4. Студенты решают самостоятельно.

¶z

¶y

Пример 2.

z =

, где u = tg2 x , v = ctg2 x .

Найти

2 v

Ответ:

∂z ,

sin 2x

Пример 3.

z = ln (u2 + v2 ) , где и = ху, v =

Найти

¶z

¶x

¶y

∂z = 2

Ответ: ¶x x ,

5. Преподаватель у доски решает.

Обучающая задача 3. xyz = x + y + z . Найти dz.

Решение. Как известно, dz = ∂z dx + ∂z dy . Пусть

¶x ¶y

F ( x, y, z ) = xyz - x - y - z .


¶z	2		( y 4	-1)
	=	y ( y4 +1)			.
¶y	=	y ( y4 +1)			.

∂z

′

1 − yz

′

= yz −1,

′

= xz −1,

′

= xy −1,

= -

Тогда

¶x

Fz¢

′

xy -1

1 - xz

= -

Теперь

F¢

xy -1

dz = 1 − yz dx + 1 − xz dy ( xy -1 ¹ 0) . xy -1

6. Студенты самостоятельно решают примеры.

Пример 4. x3 + y3 + z3 - 3xyz = 0 . Найти

∂z ,

∂z

¶x

¶y

Ответ:

¶z

yz - x2

¶z

xz - y

¶x

z 2

- xy

¶y

z 2 - xy

217

Пример 5. xy + xz + yz = 1. Найти dz.

Ответ: dz = − ( y + z ) dx + ( x + z ) dy . x + y

7. Студенты работают с УМК, самостоятельно разбирают обучаю- щую задачу.

Обучающая задача 4. Дана поверхность z = x2 − 2xy + y2 − x + 2 y .

Написать уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к по- верхности в точке М0(1, 1, 1).

Решение.

∂z = 2x − 2 y −1,

∂z

= 2 − 2 −1 = −1;

∂x

∂z

= −2x + 2 y + 2 ,

∂z

= −2 + 2 + 2 = 2 .

∂y

M 0

Уравнение касательной плоскости:

z −1 = −( x −1) + 2( y −1) ,

или x − 2 y + z = 0 .

Уравнения нормали:

x −1

y −1

z −1

−1

8. Студенты самостоятельно решают.

Пример 6.

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-

верхности x2 + y 2 − z 2 = −1 в точке М0(2, 2, 3).

Ответ: 2x + 2y – 3 z + 1 = 0,

x − 2

y − 2

z − 3

−3

9. Преподаватель у доски решает.

Обучающая задача 5. Найти производную

функции

u = xy 2 z3 в

точке М(3, 2, 1) в направлении вектора

, где N(5, 4, 2).

и его направляющие косинусы:

Решение.

Найдем вектор

= (5 − 3)i + (4 − 2) j + (2 −1)k = 2i + 2 j + k ;

cos α =

;

cosβ =

;

cos γ =

22 + 22 + 12

Вычислим значения частных производных в точке М:

∂u = y2 z3 ;

∂u = 2xyz3 ;

∂u = 3xy2 z 2 .

∂x

∂y

∂z

218

¶u

= 4

;

¶u

=12 ;

¶u

= 36 .

¶x

¶y

¶z

Следовательно,

∂u

= 4 ×

+12 ×

+ 36 ×

= 22

¶S

10. Студенты работают с УМК, самостоятельно разбирают обучаю-

щую задачу

Обучающая задача 6.

Найти

величину

направление

градиента

функции u = tg x - x + 3sin y - sin3 y + z + ctg z

в точке M p ; p ; p

∂u

Решение.

¶x =

-1,

¶y

= 3cos y - 3sin 2

y × cos y ,

∂z

= 1 −

cos2 x

sin 2 z

¶u

= 2 -1 =1;

= 3 ×

=1 -1 = 0 .

¶x

¶y

;

¶z

2 8

Следовательно,

grad u

M = i +

j ;

grad u

12 +

;

cos α =

;

cosβ = sin α =

Найти производную функции z = ln (x2 + y 2 )

Обучающая задача 7.

в точке М(3, 4)

в направлении градиента z.

Решение.

Здесь вектор

совпадает с градиентом функции в точке М

и равен

= grad z =

i +

2 y

j =

i +

j .

+ y

+ y2

25 25

Следовательно,

∂z

8 2

grad z

∂S

11. Студенты самостоятельно решают.

Пример 7. Найти производную функции

z = x2 − xy + y 2 в точ-

ке М(1, 1) в направлении вектора

= 6i + 8j.

Ответ: 1,4.

219

Пример 8. Найти величину и		направление градиента функции
u = xyz в точке М(2, 1, 1).
Ответ:	grad u		= 3,	cos α =	1	,	cosβ = cos γ =	2	.



			M	3			3

Домашнее задание

1. Изучить тему «Экстремум ФНП. Условный экстремум. Нахожде- ние наибольшего и наименьшего значений ФНП в замкнутой области».

Показать, что функция

u = ln

, где r =

( x − a)2 + ( y − b)2

, удов-

летворяет уравнению ∂2u +

∂2u = 0 .

∂x2

∂y2

x = z ln

. Найти dz.

dx +

dz =

Ответ:

1 + ln

Найти производную функции u = arcsin

в точке М(1,1,1)

x2 + y2

в направлении вектора

, где N(3, 2, 3).

Ответ:

Найти

величину и

направление градиента функции

u =

где

r = x2 + y 2 + z2

в точке M

( x , y

, z

) .

Ответ:

grad u

; cos α = −

, cosβ = −

, cos γ = −

где r =

+ y 2 + z2 .

Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности

π 1

z = sin x × cos y в точке M

	x − π		y − π		z −	1

Ответ: x – y – 2 z + 1 = 0,	4	=	4	=	2		.
	1		−1
					−2

220

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2522 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб51умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб42умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб40умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб46умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб47умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб53умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб35умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf