14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры
.pdfМинистерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
Учебно-методический комплекс для студентов технических специальностей
Под общей редакцией В.С. ВАКУЛЬЧИК
Новополоцк
ПГУ
2009
УДК 51(075.8) ББК 22.1я73
Э45
Рекомендовано к изданию методической комиссией радиотехнического факультета в качестве учебно-методического комплекса (протокол № 6 от 20.06.2008)
АВТОРЫ:
В. С. ВАКУЛЬЧИК, В. А. ЖАК, Т. И. ЗАВИСТОВСКАЯ, А. П. МАТЕЛЕНОК
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
доктор пед. наук, профессор, зав. кафедрой алгебры и геометрии, декан математического факультета УО «БГПУ им. М. Танка» В. В. ШЛЫКОВ;
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики УО «ПГУ» Ф. Ф. ЯСКО
Элементы векторной алгебры. Элементы аналитической гео- Э45 метрии на плоскости и в пространстве : учеб.-метод. комплекс для студентов техн. спец. / В. С. Вакульчик [и др.]; под общ. ред. В. С. Ва-
кульчик. – Новополоцк : ПГУ, 2009. – 220 с. ISBN 978-985-418-925-3.
Изложены теоретические основы двух разделов курса высшей математики для студентов технических специальностей: «Элементы векторной алгебры» и «Элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве»; спроек- тированы основные этапы практических занятий; предложено соответствую- щее дидактическое обеспечение: графические схемы, информационные табли- цы, обучающие задачи, трехуровневые тесты, вопросы к экзамену, глоссарий, спроектированы возможности использования информационных технологий для организации обучения математике.
Предназначен для преподавателей и студентов технических специально- стей высших учебных заведений.
УДК 51(075.8) ББК 22.1я73
ISBN 978-985-418-925-3
© УО «Полоцкий государственный университет», 2009
|
СОДЕРЖАНИЕ |
|
От авторов ................................................................................................................................ |
6 |
|
Введение |
................................................................................................................................... |
7 |
Методические ...........................рекомендации работы в информационном поле модуля |
9 |
|
УЧЕБНЫЙ ....................................................МОДУЛЬ 4. Элементы векторной алгебры |
11 |
|
Введение ............................................................................................................................ |
11 |
|
Дидактические ........................................................................................цели обучения |
11 |
|
Учебно ...............................................................................-методическая карта модуля |
12 |
|
Графическая ..............................................................................................схема модуля |
13 |
|
Информационная ........................................таблица «элементы векторной алгебры» |
14 |
|
Краткое ...........................................................содержание теоретического материала |
16 |
|
4.1. .............................................................................................. |
Основные понятия |
16 |
4.2. .................................................................. |
Линейные операции над векторами |
17 |
4.3. .................................................................................... |
Проекция вектора на ось |
19 |
4.4. .......................................... |
Линейная зависимость и независимость векторов |
21 |
4.5. ............................................................... |
Базис . Разложение вектора по базису |
23 |
4.6. ........................................... |
Выражение длины вектора через его координаты |
25 |
4.7. ....... |
Направляющие косинусы вектора . Орт - вектор в координатной форме |
25 |
4.8. .......................... |
Линейные операции над векторами в координатной форме |
26 |
4.9. ................................................................ |
Переход от одного базиса к другому |
28 |
4.10. ........................................................................Задание вектора двумя точками |
29 |
|
4.11. ...........................................................Скалярное произведение двух векторов |
29 |
|
4.12. ..........................................................Скалярное произведение в координатах |
31 |
|
4.13. ............................................................Приложения скалярного произведения |
31 |
|
4.14. ....................................................................Векторное произведение векторов |
32 |
|
4.15. ...........................................................Векторное произведение в координатах |
36 |
|
4.16. ............................................................Приложения векторного произведения |
36 |
|
4.17. ..................................................................Смешанное произведение векторов |
38 |
|
4.18. .........................................................Смешанное произведение в координатах |
39 |
|
4.19. ..........................................................Приложения смешанного произведения |
40 |
|
4.20. .................................Собственные значения и собственные векторы матриц |
41 |
|
Методические ....................................указания к проведению практических занятий |
45 |
|
Учебно ....................-информационный блок для проведения практических занятий |
45 |
|
Основная ........................................................................и дополнительная литература |
45 |
|
Модели организации познавательной деятельности студентов на практических |
|
|
занятиях ............................................................................................................................. |
46 |
|
Прямоугольная система координат. Деление отрезка в данном отношении |
|
|
(для самостоятельного ...................................................................................изучения) |
49 |
|
I. Линейные операции над векторами и их свойства. Условие |
|
|
коллинеарности векторов. Базис, разложение векторов по базису. |
|
|
Проекция на ось, координаты векторов. Линейные операции над векторами |
|
|
в координатной форме. Модуль и направляющие косинусы вектора; |
|
|
их выражение ................................................................................через координаты |
54 |
|
II. Скалярное произведение векторов, его свойства и выражение через |
|
|
координаты. Условие ортогональности векторов .................................................... |
68 |
|
III. |
Векторное произведение векторов, его свойства и выражение через |
|
координаты. Смешанное произведение трех векторов, его свойства |
|
|
и выражение через координаты. Условие компланарности трех векторов ........... |
77 |
|
IV. Итоговое повторение, решение ключевых задач. Собственные значения |
|
|
и собственные векторы матрицы .............................................................................. |
86 |
|
V. Решение нулевого варианта контрольной работы ............................................. |
89 |
|
Трехуровневые тестовые задания к разделу «Векторная алгебра» ........................ |
95 |
|
Глоссарий .......................................................................................................................... |
97 |
|
УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 5. Элементы аналитической геометрии |
|
|
на плоскости и в пространстве ............................................................................................. |
99 |
|
Введение ............................................................................................................................ |
99 |
|
Дидактические цели обучения ...................................................................................... |
100 |
|
Учебно-методическая карта модуля ............................................................................. |
101 |
|
Графическая схема модуля ............................................................................................ |
102 |
|
Информационная таблица «Аналитическая геометрия на плоскости и в |
|
|
пространстве» ................................................................................................................. |
103 |
|
5.1. |
Алгебраические линии. Прямая на плоскости – линия первого порядка. |
|
Способы задания прямой .......................................................................................... |
108 |
|
5.2. Способы задания прямой на плоскости ......................................................... |
109 |
|
5.3. Угол между прямыми. Взаимное расположение прямых ............................ |
113 |
|
5.4. Расстояние от точки до прямой ....................................................................... |
115 |
|
5.5. |
Алгебраические линии второго порядка ........................................................ |
116 |
5.6.Гипербола. Канонические уравнения гиперболы. Важные
характеристики гиперболы ....................................................................................... |
120 |
5.7. Парабола. Каноническое уравнение параболы ........................................... |
121 |
Элементы аналитической геометрии в пространстве ................................................. |
124 |
Плоскость в пространстве .............................................................................................. |
124 |
5.8.Определение функции нескольких переменных.
Поверхность в пространстве. Алгебраические поверхности ................................ |
124 |
|
5.9. |
Плоскость – алгебраическая поверхность |
|
первого порядка ......................................................................................................... |
125 |
|
5.10. |
Расстояние от точки до плоскости ............................................................... |
129 |
5.11. |
Угол между плоскостями .............................................................................. |
129 |
5.12. |
Взаимное расположение плоскостей ........................................................... |
129 |
Прямая в пространстве ................................................................................................... |
130 |
|
5.13. |
Задание прямой общими уравнениями ........................................................ |
130 |
5.14. |
Канонические уравнения прямой, проходящей через точку, |
|
параллельно данному вектору .................................................................................. |
130 |
|
5.15. |
Приведение общего уравнения прямой в R3 к каноническому виду ........ |
131 |
5.16. |
Взаимное расположение двух прямых в пространстве .............................. |
132 |
5.17. |
Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой. |
|
Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми ........................................ |
133 |
|
4
Взаимное расположение прямой и плоскости ............................................................. |
136 |
|
5.18. Аналитическое определение взаимного расположения |
|
|
прямой и плоскости ................................................................................................... |
136 |
|
5.19. Определение точки пересечения прямой и плоскости ............................... |
137 |
|
5.20. Угол между прямой и плоскостью ............................................................... |
137 |
|
5.21. |
Поверхности второго порядка ...................................................................... |
139 |
5.22. |
Цилиндрические поверхности ...................................................................... |
148 |
Методические указания к проведению практических занятий .................................. |
150 |
|
Основная и дополнительная литература ................................................................ |
151 |
|
I.Прямая на плоскости как линия 1-го порядка. Уравнение прямой
на плоскости по точке и нормальному вектору (направляющему вектору, |
|
|
угловому коэффициенту), по двум точкам, в «отрезках». |
|
|
Расстояние от точки до прямой ................................................................................ |
151 |
|
II. |
Решение задач на взаимное расположение прямой на плоскости ................. |
156 |
III. |
Линии 2-го порядка на плоскости. Эллипс, гипербола, парабола ................. |
160 |
IV. Уравнение поверхности в пространстве. Плоскость как поверхность |
|
|
1-го порядка. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору, в |
|
|
«отрезках», по трем точкам. Угол между плоскостями. Расстояние |
|
|
от точки до плоскости ............................................................................................... |
162 |
|
V. Прямая в пространстве, как линия пересечения двух плоскостей. |
|
|
Уравнение прямой в пространстве ........................................................................... |
165 |
|
VI. Взаимное расположение прямой и плоскости ................................................. |
169 |
|
VII. Поверхности второго порядка ........................................................................... |
170 |
|
Индивидуальные домашние задания ....................................................................... |
182 |
|
Трехуровневые тестовые задания к разделу «Аналитическая геометрия на |
|
|
плоскости и в пространстве» .................................................................................... |
184 |
|
Глоссарий ........................................................................................................................ |
186 |
|
Уровнево-рейтинговая система контроля знаний в семестре ......................................... |
189 |
|
Задания минимально-базового уровня на экзамене ......................................................... |
199 |
|
Вопросы к экзамену (первый семестр) .............................................................................. |
204 |
|
Задания к итоговой контрольной работе .......................................................................... |
207 |
|
Используемая литература ................................................................................................... |
212 |
|
Приложение ......................................................................................................................... |
214 |
|
5
От авторов
Особенностью данного учебно-методического комплекса (УМК) явля-
ется краткое содержание теоретической части. В этой связи хотелось бы отметить, что более глубокое изучение теоретической части студент может найти в учебниках, которые приведены в списке, используемой литерату- ры. В УМК основное внимание уделено проектированию практической части, а также организации познавательной деятельности по усвоению и переработке математической информации в соответствии с тремя уровня- ми обучения.
Большую благодарность и глубокую признательность авторы выра- жают рецензентам данного издания доктору педагогических наук, профес- сору, заведующему кафедрой алгебры и геометрии, декану математическо- го факультета УО «БГПУ им. М. Танка» Владимиру Владимировичу Шлы- кову, а также кандидату физико-математических наук, доценту кафедры высшей математики УО «ПГУ» Федору Филипповичу Яско за вниматель- ное отношение к представленной работе и ценные замечания по улучше- нию ее содержания. Отдельную благодарность выражаем лаборанту ка- федры математического анализа и дифференциальных уравнений учреж- дения образования «Полоцкий государственный университет» Холмачевой Инне Анатольевне за большую помощь, оказанную в процессе выполнения компьютерного набора.
ВВЕДЕНИЕ
Данный учебно-методический комплекс является частью серии учебно-методических пособий, разрабатываемых кафедрой высшей мате- матики УО «ПГУ» по курсу «Высшая математика» для студентов техниче- ских специальностей под руководством кандидата педагогических наук, доцента В. С. Вакульчик. Теоретические и дидактические принципы раз- работки таких пособий изложены в нулевом учебном модуле [5]. Мы наде- емся, что наши читатели знакомы, а, точнее, изучили этот УМК, в против- ном случае, советуем ознакомиться хотя бы с его нулевым модулем.
В предлагаемом УМК, графическая схема которого представлена на рис. 1, авторами предпринята попытка спроектировать процесс обучения математике как систему целей, содержания, форм, методов и средств обу- чения, обеспечивающих в своем взаимодействии организацию познава- тельной деятельности студентов с учетом дифференциации студенческой аудитории. Дидактическую основу УМК составляет дифференцированный
идеятельностный подход к обучению математике, а также дидактические принципы научности, системности, доступности. В применении к матема- тике мы руководствуемся сформулированным А.А.Столяром исходным положением теории обучения математике: «Обучение математике есть ди- дактически целесообразное сочетание обучения математическим знаниям
иматематической деятельности». Под дифференцированным подходом к обучению математике понимается такая его организация, при которой ка- ждый студент, овладевая некоторым минимумом математических знаний и их практических приложений, получает право и возможность расширять и углублять свои математические знания на более высоких уровнях усвое- ния. Отдельное внимание необходимо обратить на наличие в УМК таких дидактических средств как графические схемы, информационные таблицы, глоссарий, обобщенные планы, алгоритмические указания, алгоритмиче- ское выделение этапов познавательной деятельности, которые позволяют организовать мыслительную деятельность по переработке математической информации, помогают обучающемуся в логической организации, струк- турировании, систематизации математических знаний. УМК содержит в себе возможности самоконтроля, а также уровневого контроля знаний. Студенты, работающие на I уровне сложности, потенциально могут претен- довать на получение на экзамене оценки «4»-«5»; работающие на II уровне – оценки «6»-«8»; работающие на III уровне – оценки «9»-«10». Информаци- онное поле УМК позволяет студенту выбирать свою траекторию обучения в каждом модуле. Трехуровневая тестовая среда УМК создает условия для перехода студентов от заданий, требующих воспроизводящей мыслитель- ной деятельности к заданиям, требующим познавательной деятельности преобразующе-воспроизводящего или творческого характера.
7
8
Учебно-методический комплекс «Элементы векторной алгебры. Элементы аналитической
геометрии на плоскости и в пространстве»
СОДЕРЖАНИЕ
ОБУЧЕНИЯ
Дидакти- |
|
|
Модуль- |
|
Уров- |
|||||||
ческие |
|
|
|
ное по- |
|
невый |
||||||
средства |
|
|
строение |
|
кон- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
курса |
|
троль |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Граф |
|
|
|
|
|
|
Обобщен- |
|
||||
- |
|
|
|
|
|
|
ные планы |
|
||||
схемы |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ин- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
форма- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
цион- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
таб |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Обучающие |
|
|
||||||
|
лицы |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
задачи |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДИДАКТИЧЕСКАЯ
ОСНОВА
Диф- |
|
|
Дея- |
|
|
|
Ди- |
|
|
|
При- |
|
|||||
ферен |
|
|
тель- |
|
|
|
дакти- |
|
|
|
клад- |
|
|||||
циро- |
|
|
ност- |
|
|
|
ческие |
|
|
|
|
ная |
|
||||
ван- |
|
|
ный |
|
|
|
прин- |
|
|
|
направ |
|
|||||
ный |
|
|
под- |
|
|
|
ципы |
|
|
|
лен- |
|
|||||
под- |
|
|
ход |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ность |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ход |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
С |
|
|
Ц |
|
|
Д |
|
Раз- |
|||||
|
|
а |
|
|
и |
|
|
е |
|
|
|
о |
|
ви- |
|||
|
|
у |
|
|
с |
|
|
л |
|
|
|
с |
|
ваю |
|||
|
|
ч |
|
|
т |
|
|
о |
|
|
т |
|
щей |
||||
|
|
н |
|
|
е |
|
|
с |
|
|
|
у |
|
дея- |
|||
|
|
о |
|
|
м |
|
|
т |
|
|
|
п |
|
тель |
|||
|
|
с |
|
|
н |
|
|
н |
|
|
|
н |
|
нос- |
|||
|
т |
|
|
о |
|
|
о |
|
|
|
о |
|
ти |
||||
|
|
и |
|
|
с |
|
|
с |
|
|
|
с |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
т |
|
|
т |
|
|
т |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
и |
|
|
и |
|
|
|
и |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обучение математическим знаниям
ЦОбучение математической
деятельности, формирова- Е 
ние математических на-
выков и умений
Л
И
Организация и управление самостоятельной познава- тельной деятельности
Формирование
познавательной
самостоятельности
Рис. 1
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ РАБОТЫ
ВИНФОРМАЦИОННОМ ПОЛЕ МОДУЛЯ
Всамом общем виде процесс познания новой информации состоит из следующих этапов: первичное восприятие → изучение основных ее элементов → углубление, обобщение, систематизация полученной инфор- мации → включение познанного нового знания в систему имеющихся представлений, знаний, мировоззрения в целом. Исходя из этих психолого- методологических соображений, предлагается следующая последователь- ность этапов работы в информационном поле модуля.
0.С помощью методической карты изучить содержание разделов лекционного материала.
1.Вход в модуль целесообразно осуществить с помощью графиче- ской схемы и информационной таблицы. Граф-схема и информационная таблица определенного раздела математики представляют собой макси- мально сжатый, компактно составленный справочный материал. Справоч- ный материал информационной таблицы раскрывает основные блоки гра- фической схемы рассматриваемого раздела.
Предложенные методические средства помогают при изучении новой информации увязать различные понятия, теоремы, формулы в единое целое; позволяют проследить логику построения теорий; служат эффективному прохождению всех этапов восприятия, усвоения, обобщения, систематиза- ции, и в конечном итоге, логической организации новой информации. Структурированная наглядность содержания представленной информации облегчает ее усвоение за счет целостности представления и восприятия изу- чаемого объекта, направляет избирательность внимания и памяти. Все это способствует более глубокому уровню усвоения предмета, помогает нахо- дить главное и производное в изучаемом материале, анализировать его, учит рационально работать с новой информацией любого содержания.
2.Изучение теоретической части модуля следует начинать с бегло- го чтения всей информации. На втором этапе этой познавательной дея- тельности рекомендуется проработать каждый раздел, отдельные фрагмен- ты при этом разумно параллельно проделать своей рукой. На третьем эта- пе, просмотрев еще раз графическую схему, отработав основные положе- ния теоретической части модуля с помощью информационной таблицы, целесообразно прочитать еще раз весь теоретический материал с целью его целостного восприятия, большей систематизации, логической организации
иобобщения.
9
3.Практическая часть модуля представляет собой методически спроектированные практические занятия. Отметим, что они содержат как методические рекомендации преподавателям, так и методические реко- мендации студентам. В этой связи, обратим внимание на наличие обучаю- щих задач, решение нулевых вариантов аудиторных и внеаудиторных кон- трольных работ. Все это дополняет задачи и примеры, приведенные в тео- ретической части модуля, и создает предпосылки для овладения соответст- вующим математическим аппаратом, по крайней мере, на уровне воспро- изводящей познавательной деятельности, позволяет освоить обучающему- ся практическую часть информации модуля либо самостоятельно, либо под руководством преподавателя.
4.На выходе из модуля следует еще раз провести обобщение, сис- тематизацию полученных знаний путем повторного изучения графической схемы, информационной таблицы, глоссария и выводов. Кроме того, прак- тическая часть содержит в себе возможности для проведения контроля и самоконтроля результатов обучения: тесты трех уровней сложности, нуле- вой вариант аудиторной или внеаудиторной контрольной работы, индиви- дуальные домашние задания. Поэтому на выходе из модуля рекомендует- ся, как минимум, выполнить тест первого уровня сложности. Тесты перво- го уровня сложности рекомендуется выполнить и непосредственно при подготовке к экзамену, зачету либо коллоквиуму.
Желаем успехов!
10