Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

4.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 223 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Доказательство:

При λ >0 имеем

прl (l × a ) = la × cos j = l × a × cos j = l × прl a .

При λ <0 имеем

прl (l × a ) = la × cos(p - j) = -l × a ×(-cos j) = l × прl a .

Свойство справедливо, очевидно, и при l = 0.

Вывод: Таким образом, линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

Рис. 4

Рис. 5

4.4. Линейная зависимость и независимость векторов

Определение 4.4.1. Линейной комбинацией системы векторов a1, a2 , ..., an называется вектор l1a1 + l2 a2 + ... + ln an , где λ i - числа, i = 1, 2,..., n .

Определение 4.4.2. Система векторов { a1, a2 , ... , an } – линейно зависима, если существуют числа λ i ÎR, одновременно не равные нулю,

такие, что справедливо равенство l1a1 + l2 a2 + ... + ln an = 0 . Определение 4.4.3. Система векторов { a1, a2 , ... , an } называется

линейно независимой, если их линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты в этой линейной комбинации равны нулю.

Иными словами, для линейно независимой системы векторов выпол- няется равносильность:

l1 a1 + l2 a2 +…+ ln an = 0 Û l1 = l2 =¼= ln = 0.

ТЕОРЕМА 4.4.1. Любые два вектора, лежащие на прямой, линей- но зависимы.

Доказательство. Пусть a и b лежат на одной прямой a и b

коллинеарны по определению. Тогда по Т.4.2.1 существует k ¹ 0 такое, что a = k ×b a +(-k)×b =0 $ l1 =1 и l2 = -k ; l2 ¹ 0 ,

что выполняет условие определения 4.2.1 { a и b } ¾ линейно зависи- мы.

Вывод: на прямой может быть только один линейно независимый вектор.

ТЕОРЕМА 4.4.2. Любые два неколлинеарных вектора на плоско- сти линейно независимы.

Доказательство. Предположим противное: пусть a не является коллинеарным b , но { a ; b } линейно зависима по определению 4.4.1. $ l1, l2, одновременно ¹ 0, такие, что l1× a +l2 b =0.

Пусть l2≠0, тогда λ2

= -l1

. Тогда

= -

= k ×

l 2

по Т.4.2.1. a b , что противоречит условию. Значит, наше предположе-

ние не верно. Отсюда заключаем, что a и b линейно независимы, что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА 4.4.3. Любой вектор на плоскости может быть пред- ставлен в виде линейной комбинации двух неколлинеарных векторов.

Доказательство.

Пусть

¹ 0 ,

не является коллинеарным

А1

Покажем, что "

Î R 2 ,

который

OA1

лежит в той же плоскости, что вектора

a и b , может быть представлен в виде

В1

линейной комбинации векторов

OB1

Приведем три вектора к общему

Рис. 6

так, чтобы

началу О и достроим

вектор c был диагональю параллелограмма, построенного на векторах a и b (рис. 6). По правилу параллелограмма c = OA1 + OB 1 . Так как b OA1 ,

то по Т.4.2.1 $ l1 ¹ 0, что OA1 = l1b ; a OB 1 по Т.4.2.1 $ l2 ≠0,

ОВ1

= l2

= l1

+ l 2

(4.4.1)

Тогда

что и требовалось доказать.

Следствие. Любые три компланарных вектора линейно зависимы. Вывод: На плоскости может быть максимально два линейно неза-

висимых вектора.

Замечание 4.4.1. Равенство 4.4.1 называют разложением векто-

ра с по системе линейно независимых векторов.

Замечание 4.4.2. Аналогично Т.4.4.2. можно доказать, что три некомпланарных вектора линейно независимы в трехмерном пространстве.

ТЕОРЕМА 4.4.4. В трехмерном пространстве любой вектор можно представить в виде линейной комбинации трех некомпланарных векторов. (Доказать самостоятельно).

Замечание 4.4.3. Из Т.4.4.4 следует, что четыре вектора линей- но зависимы в трехмерном линейном пространстве.

Вывод: В трехмерном пространстве может быть максимально три линейно независимых вектора.

4.5. Базис. Разложение вектора по базису

Определение 4.5.1. Базисом пространства называется совокуп- ность максимального числа линейно независимых векторов данного про- странства.

Замечание 4.5.1. Очевидно, базисов в пространстве бесконечно много.

Определение 4.5.2. Система векторов образует базис некоторого пространства, если:

1)система линейно независима;

2)любой вектор данного пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов данной системы.


Замечание 4.5.2. Тот факт, что векторы e1,							e2 , ..., en образуют
базис записывают следующим образом: {	e1	,	e2	, ...,	en	}.
Определение 4.5.3. Упорядоченный				набор			коэффициентов

l1,l2 , ...,ln в разложении вектора по базису (в линейной комбинации) a = λ1e1 + λ 2 e2 + ... + λ n en называют координатами данного вектора a в

данном базисе { e1, e2 , ..., en }.

Замечание 4.5.3.

В R1

базис образует любой вектор {

} R1.

Значит, любой вектор

= l1 ×

Замечание 4.5.4.

В R 2

базис образует любая пара двух некол-

линеарных векторов {

} R 2 . Значит, любой вектор

= l

+ l

В R 3 базис образует любая упорядоченная тройка некомпланарных векто-

ров {							} R 3 . Значит, любой вектор
		,			,				= l		×		+ l		×			+ l		×			.
	e	,	e	2	,	e		a	= l	1	×	e	+ l	2	×	e	2	+ l	3	×	e	3	.
1				2	3					1	1			2			2		3			3
	Определение 4.5.4. Пусть в некотором пространстве задана точка
O. Совокупность точки и некоторого базиса называют системой коорди-
нат. Точку O называют началом координат.
	Определение 4.5.5. Если длины базисных векторов равны едини-

це, то базис называется нормированным.

Определение 4.5.6. Если все векторы базиса взаимно перпендику- лярны, то базис называют ортогональным.

Определение 4.5.7. Базис, у которого базисные векторы нормиро- ваны и ортогональны, называют ортонормированным.

Определение 4.5.8. Система координат с ортонормированным ба-

зисом называется декартовой прямоугольной системой координат. Со-

кращенно − ДПСК.

В ДПСК базисные векторы принято обозначать:

R1 –

{

для

для R2 – {

для R3

– {

В ДПСК оси, исходящие из начала координат (рис. 7):

− в направлении вектора

–

ось абсцисс OX,

− в направлении вектора

–

ось ординат OY,

− в направлении вектора

–

ось аппликат OZ.

По Т.4.4.4 любой вектор трехмерного пространства можно предста-

вить в виде линейной комбинации векторов из базиса {

}, т.е. для

любого вектора

= ax

+ ay

+az

где

упорядоченная тройка чисел

(ax,

ay, az)

является

координатами

вектора

базисе

{

Замечание 4.5.5. Координаты

век-

тора

могут быть получены, как

его проек-

ции на соответствующие базисные оси:

a x – проекция

на ось ОX;

a y

–

проекция

на ось ОY;

a z

–

проекция

на ось ОZ.

4.6. Выражение длины вектора через его координаты
Пусть a = (a x , a y , a z ) .
Из геометрических соображений, в нашем случае, вектор является
					диагональю	прямоугольного			паралле-
	Y				лепипеда, построенного на векторах
					базиса {`i,`j,`k}, значит, его длина в
		k			квадрате равна сумме квадратов ли-
		k	a		нейных размеров (рис. 8).
i	0	j		Z	a =	a 2 + a	2	+ a 2 .	(4.6.2)
		j		Z		x	y	z
X					Пример.			Вычислить	длину
	Рис. 8				вектора a = (5, −3,−15).
	Рис. 8				Решение.		Воспользуемся фор-
					Решение.		Воспользуемся фор-
мулой (4.6.2). Будем иметь

a = 52 + (−3)2 + (−15)2 = 25 + 9 + 225 = 259 .

4.7.

Направляющие косинусы вектора.

Орт-вектор в координатной форме

равен α,

равен

Пусть в ДПСК угол между векторами

β,

равен γ (

) = α, (

) = β,

(

) = γ.

Так как координаты вектора – это проекции его на соответствующие

базисные вектора, то:

cos α ,

аx = пр

аy=пр

cosβ ,

(4.7.1)

аz=пр

cos γ .

Определение 4.7.1.

Косинусы сos α,

cos

β, cos γ в выражении

(4.7.1) называют направляющими косинусами вектора

Если известны координаты вектора

= (a x , a y , a z ) , то из формул (4.7.1)

следуют формулы для вычисления направляющих косинусов:

сos α =

a x

, cos β =

a y

, cos γ =

a z

(4.7.2)

= 1

= (cos α, cos β, cos γ),

Так как

то

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

(4.7.3)

Замечание. Формула (4.7.3) выражает связь между направ- ляющими косинусами вектора.

4.8.Линейные операции над векторами

вкоординатной форме

Введение базиса и понятие координат вектора в некотором базисе позволяет перейти от геометрического задания вектора к заданию его чис- лами (координатами) – аналитическому способу задания вектора.

Аналитический способ задания вектора дает возможность решать задачи по геометрии, физике, механике и т.д. средствами алгебры.

По определению, координаты – коэффициенты в разложении вектора по базису {е1,е2 , е3} , тогда : a = l1 × e1 + l 2 × e2 + l3 × e3 .

Будем записывать: a = (l1,l 2 ,l3 ) .

Координаты однозначно определяют положение вектора в пространстве. Чаще всего мы будем рассматривать координаты вектора в ДПСК.

ТЕОРЕМА 4.8.1. Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.

ТЕОРЕМА 4.8.2. Пусть вектор a = (l1,l 2 ,l3 ) задан координатами

в некотором базисе {е1,е2 , е3} . Тогда ka = (kl1, kl 2 , kl3 ) , где k R .

При умножении вектора на скаляр каждая координата умножается на этот скаляр.

Доказательство. По условию a = l1 × e1 + l 2 × e2 + l3 × e3 . Восполь-

зуемся свойствами линейных операций над векторами. Будем иметь: ka = k (l1 × e1 + l 2 × e2 + l3 × e ) = kl1 × e1 + kl 2 × e2 + kl3 × e3 . Тогда по опреде-

лению координат, как коэффициентов в разложении по базису, упорядо- ченный набор чисел (kl1, kl 2 , kl3 ) является координатами вектора ka ,

что и требовалось доказать.


ТЕОРЕМА 4.8.3.			= (l1,l 2 ,l3 ) и					= (l¢1,l¢2 ,l¢3 )
	Пусть векторы						b
		a
заданы координатами	в некотором базисе {					2 ,			3} . Тогда
				е1,	е			е

a + b = (l1 + l¢1,l 2 + l¢2 ,l3 + l¢3 ).

При сложении двух векторов их соответствующие координаты складываются.

Доказательство. По условию

a = l1 × e1 + l 2 × e2 + l3 × e3 и b = l¢1 × e1 + l¢2 × e2 + l¢3 × e3 .

Воспользуемся свойствами линейных операций над векторами. Бу-

дем иметь:

a + b = l1 × e1 + l 2 × e2 + l3 × e3 + l¢1 × e1 + l¢2 × e2 + l¢3 × e3 =

= (l1 + l′) × e1 + (l 2 + l′2 ) × e2 + (l3 + l′3 ) × e3 .

Тогда по определению координат, как коэффициентов в разложении по ба-

зису, упорядоченный набор чисел

′

(l1 + l1,l 2

+ l 2 ,l3

+ l3 ) является ко-

, что и требовалось доказать.

ординатами вектора

ТЕОРЕМА 4.8.4.

= (a x , a y , a z )

= (bx ,by ,bz ) .

Пусть

, то

a x

a y

a z

(4.8.1)

Если

У коллинеарных векторов координаты пропорциональны.

Доказательство.

= (a x , a y , a z ) ,

= (bx ,by ,bz ) и

По условию

по Т.4.2.1 $

k ¹0, такое, что

= k ×

, т.е. (a x , a y , a z ) = k (bx ,by ,bz )

или по Т.4.9.2 (a x , a y , a z ) = (kbx , kby , kbz ) . Отсюда по Т.4.9.1

a x = kbx , a x = kb y , a x

= kbz ,

a x

= k ,

a y

= k ,

a z

= k

a x

a y

a z

= k ,

bx by bz

что и требовалось доказать.

Примеры.

10. Определить коллинеарные векторы среди векторов a =(1, 2, -3),

=(2, 4, 6)

и`c =(3, 6,-9).

Решение.

имеем:

¹ -3 .

Для координат векторов

имеем:

-3

3 6

-9

20. Найти вектор

-¯

, где

= (2, 4, −8) .

такой, что

Решение.

По условию

-¯

(k<0)

= ka

= (2k, 4k, −8k ) .

4k 2 +16k 2 + 64k 2 или

84k 2 . Поскольку

, то

Тогда

. Из условия имеем k < 0 k = -

=(-1, -2, 4).

Упражнение.

Для вектора

= (2, −3,6) найти вектор

такой,

что 0 < (

, Oy) < p ,

= 21.

4.9. Переход от одного базиса к другому

ТЕОРЕМА 4.9.1.

Пусть заданы векторы:

(x1, y1, z1);

(x2, y2, z2);

c (x3, y3, z3) в некотором базисе. Система векторов {a,b ,c} образует базис

	x1	x2	x3
тогда и только тогда, когда D =	y1	y2	y3	¹ 0 .
	z1	z2	z3

Задача. Пусть заданы векторы: a (x1, y1, z1); b (x2, y2, z2); c (x3, y3, z3); d (m, n, p) и система векторов {a,b ,c} образует базис. Найти координаты

вектора

d в этом базисе.

Решение. Чтобы определить координаты вектора

в базисе

{

}

вектора

по

необходимо найти коэффициенты в разложении

этому базису:

= l1

+ l 2

+ l3

(4.9.1)

Используя теоремы об умножении вектора на число, сложения век- торов, равенстве векторов перейдем от векторного равенства (4.10.1) к ко-

ординатным равенствам:

(m,

n, p)

= (l1x1+ l2x2+l3x3;

l1y1+

l2y2+l3y3;

l1z1+l2z2+l3z3).

m = l1x1 + l2 x2 + l

3x3,

+ l2 y2

+ l

3 y3,

получилась система

n = l1 y1

трех

линейных

+ l 2 z 2

+ l3z3;

p = l1z1

уравнений с тремя неизвестными.

Так как, по условию, система векторов {

}

образует базис, то

D =

¹ 0 ,

система имеет единственное решение (l1, l2, l3)

координаты век-

тора

в новом базисе {

}

можно определить.

4.10. Задание вектора двумя точками

Определение 4.10.1. Радиус-вектором точки данного простран- ства называют вектор, соединяющий начало системы координат и данную точку.

OM 1 – радиус-вектор точки М1 (рис. 9).

За координаты точки данного пространства принимают координаты ее радиус-вектора.

Задача. Пусть М1М 2 задан через точки М1 (x1, y1, z1) и M2 (x2, y2, z2).

Определить координаты вектора М1М 2 .

Z Z

M2(x2, y2, z2)

				M1(x1, y1, z1)
0	Y
X	Y	X	0	Y
Рис. 9				Рис. 10
Так как	М1 и М2	заданы	своими	координатами, то известны

OM 1 (x1, y1, z1) и OM 2 (x2, y2, z2). По правилу вычитания векторов имеем -

М1М 2 = OM 2 - OM 1 , тогда по теореме сложения векторов в координатной

форме и умножения их на число М1М 2 = (x2-x1; y2-y1; z2-z1) (рис. 10). Замечание. Длина вектора

М1М 2 = (x2 - x1) 2 + ( y2 - y1) 2 + (z2 - z1) 2 .

4.11. Скалярное произведение двух векторов

Определение 4.11.1. Скалярным произведением двух векторов на- зывается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

(

× cos (

(4.11.1)

Замечание 4.11.1. Так как проекция вектора

на вектор

по

cos (

), проекция вектора

на вектор

определению равна

по

cos (a, b), то

определению равна

`а×`b=

× пр

(4.11.2)

Алгебраические свойства скалярного произведения

ТЕОРЕМА 4.11.1.

× cos(

Доказательство. Имеем

× cos(a, b)

ТЕОРЕМА 4.11.2.

)×

×(l

)=l(

Доказательство. На основании формулы (4.12.2) и свойств проек- ции вектора на вектор получим:

(l a )×b = b × прb (la)=l b × прb a =l( a ×b ). Аналогично,

a × прa (lb) = l a × прa b =l( a ×b ) (l a )×b = a ×(lb )=l( a × b ).

ТЕОРЕМА 4.11.3. a × (`b+c ) = a ×b + a ×c .

Упражнение. Доказать самостоятельно.

Вывод. Из Т.4.11.1 - Т.4.11.3 следует, что при раскрытии скобок в скалярном произведении поступают, как при умножении многочленов.

Геометрические свойства скалярного произведения

ТЕОРЕМА 4.11.4. (Условие перпендикулярности двух векторов). a ^ b Û a ×b = 0 .

Доказательство. ) Пусть a ^ b cos (a, b ) = cos900 = 0 a ×b = a × b cos(a , b )=0.

Ü) Пусть a ×b = 0 , т.е. a × b × cos (a , b )=0. Тогда

= 0, то

= 0

если

= 0 , то

= 0

если

если cos (

) = 0 , то (

) = 900

ТЕОРЕМА 4.11.5. Скалярный квадрат вектора a 2 , скалярное произведение вектора на себя, равен квадрату своего модуля.

Доказательство. Очевидно a 2 = a a cos 00 = a 2 :

	2 =		2 .	(4.11.3)

a		a

<<< < Предыдущая 1 23 / 223 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб51умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб42умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб40умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб46умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб47умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб53умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб35умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб45умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf