14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры

= (2, -1,2)

AD

2

2

-1

V ABCD =

1

=

1

mod

0

0

3

=

1

18

= 3

AB

AC

AD

6

6

2

-1

2

6

Ответ: 3; 1,91;3 2 ; 2 2 ;3.

Задача 2.

Доказать, что векторы

,

,

образуют базис, и найти

b

a

c

a x

a y

a z

5

4

1

a

b

c

=

bx

by

bz

,

=

-3

5

2

=130 .

abc

c x

c y

c z

2

-1

3

5

-3

2

D =

4

5

-1

=130

1

2

3

7

-3

2

D1

390

D1 =

23

5

-1

= 390

a =

=

= 3

D

4

2

3

130

5

7

2

D2

260

D2 =

4

23

-1

= 260

b =

=

= 2

D

1

4

3

130

D3 =

5

-3

7

= -130

g =

D3

= -130 = -1

4

5

23

1

2

4

D

130

образом, новое

разложение вектора

по базису

,

,

Таким

d

b

a

c

d=3 ×

a+2b -

.

c

Ответ:

d=3 ×

a+2b -

.

c

Задача 3.

Выяснить, при каком значении α векторы

(1,1,a) ,

a

(-3,2,1) ,

(2,0, −3) компланарны.

b

c

1

1

a

= 0 , −6 + 0 + 2 − 4α + 0 − 9 = 0 , a = -

13

=

-3

2

1

.

abc

2

0

-3

4

Задача 4. Вектор

x

, перпендикулярный к векторам

a

и b , об-

разует с осью ОY тупой угол. Найти вектор

, если

(−2,7,10) ,

(0,3,4) ,

b

x

a

=

.

26

x

i

j

k

i

j

k

=

×

=

a x

a z

=

−2 7

10

= −2

+ 8

− 6

.

a

b

a y

i

j

k

c

bx

b y

bz

0

3

4

тельно

x x

=

x y

=

x z

= λ . Значит

= (−2λ;8λ; −6λ) .

x

−2

−6

8

Найдем длину вектора

.

x

(по условию), λ 2 =

1

,

λ

=

1

.

=

4λ 2 + 64λ 2 + 36λ 2 =

26

x

4

2

Так как

образует с осью

Оу тупой угол, то координата по y будет

x

отрицательной,

= (−2λ;8λ; −6λ) .

x

Следовательно,

λ = −

1

,

= −2 −

1

;8

−

1

; −6 −

1

,

= (1; −4;3)

x

x

2

2

2

2

Ответ:

= (1; −4;3) .

x

Задача 5.

Найти собственные значения и собственные векторы

5

−2 −1

матрицы

A = −2

2

−2 .

−1

−2

5

Решение.

Составим характеристическое

уравнение, для

этого от

5 − λ

−2

−1

−2

2 − λ

−2

= 0 .

−1

−2

5 − λ

λ

1

= 0

или −λ 2 + 12λ − 36 = 0

x + 2 y − 5z = 0,

z = a,

6 y −12z = 0.

y = 2a,

x = a.

Следовательно, собственный вектор

1 = (a, 2a, a) = (1,2,1)a ,

a ¹ 0 ,

p

a Î R .

собственного значения λ 2 = 6 .

Найдём собственный вектор

для

Составим однородную систему уравнений

−x − 2 y − z = 0,

−2x − 4 y − 2z = 0,

−x − 2 y − z = 0.

Данная система сводится к одному уравнению -x - 2 y - z = 0 .

Следовательно, собственный вектор

2 = (a, −a, a) = (1, −1,1)a ,

a ¹ 0 ,

p

a Î R ..

i

j

k

=

1

2

1

= 3

− 3

,

= (3a,0, −3a) = (3,0, −3)a , a ¹ 0 , a Î R .

p3

p 3

i

k

1

−1

1

Ответ:

1 = (1, 2,1)a ,

= (1, −1,1)a ,

= (3,0, −3)a , a ¹ 0 , a Î R ..

p

p2

p3

I.

Какие из заданных векторов

II.

а) коллинеарные;

а)

0 ;

a

б) перпендикулярные.

б)

(

,

);

b

a

III.

×

.

с)

пр

.

a

c

c

a

2.

На плоскости даны точки А(1; 2),

В(–1; 3), С(2; 5). Доказать, что

образуют базис. Разложить

по этому базису, найти

векторы

AB

и

AC

BC

направляющие косинусы вектора

AB

.

Уровень II

1.

Заданы три вектора

= (–1; 2; 0),

b

= (3; 1; 1),

= (2; 0; 1). Найти:

a

c

а)

´

,

×

;

b

a

a

c

б)

, cos (

,

);

пр

b

c

a

a

в)

S параллелограмма, построенного на векторах

и

b

;

a

-¯

г)

, |

| = 2 5 ,

– ?

x

a

x

x

2.

Даны вершины пирамиды А1(2; 0; –1), А2(–2; –11; 5), А3(1; –4; –1),

А4(–2; 1; –4). Найти:

а)

;

проекцию вектора

A3M

на вектор

A3 A4

б) угол А4А1А3;

в)

площадь грани А4А1А3;

г) объем пирамиды;

д) высоту пирамиды.