14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры

Обучающие задачи

Задача 1. Уравнение поверхности

36x 2 + 16 y 2 + 9z 2 − 216x + 64 y −18z + 253 = 0 привести к каноническому

виду и определить вид поверхности, изобразить. Решение. Выделим полный квадрат для x, y, z.

36(x 2 − 6x + 9) + 16( y 2 + 4 y + 4) + 9(z 2 − 2z + 1) − 9 − 64 − 324 + 253 = 0 36( x − 3)2 + 16( y + 2)2 + 9( z −1)2 = 144

Так как каноническое уравнение эллипсоида имеет следующий вид

171

x

Рис. 5

Задача 2. Найти точки пересечения поверхности и прямой

9(-t + 2)2 - 9(-2t + 3)2 +16(-t + 4)2 =16 ×9

9(t 2 − 4t + 4) − 9(4t 2 −12t + 9) + 16(t 2 − 8t + 16) = 144

172

Пример. Привести к каноническому виду уравнение поверхно- сти второго порядка:

Корни этого уравнения λ1 =2, λ 2 =5, λ 3 =0.

173

Найдем главное направление, соответствующее характеристическо-

2 y + z = 0;

+ =

2x z 0;

x + y + z = 0;

За ненулевое решение этой системы можно принять, например, x = 1, y=1, z=− 2, тогда вектор u1 = {1;1;−2} будет определять первое главное на- правление.

Найдем главное направление, соответствующее характеристическо-

x2 = x3. Пусть x3 = 1, тогда x2 = x1 = 1, u2 = (1;1;1) .

Наконец, третье главное направление, соответствующее характери- стическому числу λ 3 = 0 , определяем из системы:

2x + 2 y + z = 0;

+ + =

2x 2x z 0;

x + y + 3z = 0;

174

За ненулевое решение этой системы можно принять, например, x = 1, y = –1, z = 0. Тогда вектор u3 = {1;−1;0} определяет третье главное направление.

Перейдем теперь к единичным векторам главных направлений:

Следовательно, в новой системе координат уравнение (*) принимает вид

2x12 + 5 y12 +10 y1 + 8z1 - 3 = 0.

Полученное уравнение можно переписать так:

мы получим каноническое уравнение данной поверхности

2x¢2 + 5 y¢2 + 8z¢ = 0.

Данная поверхность является эллиптическим параболоидом.

175

Уровень I

Задание 1. Выделением полных квадратов определите вид сле- дующей поверхности второго порядка:

1)2x2 – 6 у2 + 3z2 – 12 x – 24 y – 24 z + 30 = 0;

2)– x2 + 2y2 + 3z2 – 4 x + 4y – 24 z + 52 = 0;

3)x2 + 2y2 – 3 z2 – 2 x + 8y + 27z – 18 = 0;

4)x2 + 2y2 + 6x – 18 y – 8 z + 49 = 0;

5)x2 – 3 y2 + 8x + 6y + 10 = 0;

6)x2 + 4x – 6 y + 22 = 0;

7)z2 – 2 z – 8 x – 7 = 0;

8)z2 + 4z + 6y – 20 = 0;

9)4x2 + 8y2 – z 2 + 8x – 16 y + 4z – 32 = 0;

10)3x2 – 2 z2 + 6x + 2y + 4z + 1 = 0;

11)x2 + 2y2 + 3z2 – 6 x + 4y – 12 z – 13 = 0;

12)4x2 + 9y2 – z2 – 16 x + 18y + 2z + 60 = 0;

13)9x2 + 16y2 – 36 z2 + 54x – 64 y + 288z – 431 = 0;

14)3x2 + 2y2 – 12 x + 12y – 18 z + 30 = 0;

15)4x2 + 9y2 + 16x – 90 + 205 = 0.

Задание 2. Выделением полных квадратов определите вид сле- дующей поверхности второго порядка:

1.2x2 – 3 z2 + 4z2 – 36 = 0;

2.3x2 + 5y2 – 5 z2 – 15 = 0;

3.4x2 + 4y2 – 5 z = 0;

4.3x2 + 15y2 + 4z2 + 48 = 0;

5.y2 – z2 + x = 0;

6.4y2 – 3 z2 – 12 x = 0;

7.5x2 – 6 y2 + 15 = 0;

8.5x2 – y2 – z = 0;

9.5x2 + 5y2 – 3 z = 0;

10.3x2 + 4y2 – 12 = 0;

11.4x2 – y2 + 4z2 + 16 = 0;

176

12.2x2 + 2y2 – 2 z2 + 1 = 0;

13.16x2 + 3y2 + 4z2 – 48 = 0;

14.3x2 + 4y2 – 6 z2 – 96 = 0;

15.15x2 – y2 – 15 z2 – 30 = 0.