Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

4.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2214 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Упражнение. Написать канонические уравнения прямой, прохо- дящей через точки M 1 ( x1, y1, z1 ) , M 2 ( x2 , y2 , z 2 ) .

5.15.Приведение общего уравнения прямой в R 3

кканоническому виду

Задача. Пусть задана прямая в R 3 общими уравнениями:

L : A1x + B1 y + C1z + D1 = 0,								( rang A = 2 ).
	A x + B	2	y + C	2	z + D	2	= 0.
	2

Написать канонические уравнения заданной прямой.

Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид (5.14.1). Значит, чтобы записать канонические уравнения заданной прямой нужно знать:

1) M 0 L ,

(m, n, p) ;

α1

1) точку M 0 найдём, как одно из решений заданной

системы уравнений (рис. 26). Так как rang A = 2 , то одна из

неизвестных в системе является свободной. Значит, опре-

делив базисный минор и базисную неизвестную, мы най-

M 0

дём множество решений заданной системы уравнений. По-

α2

ложив свободную неизвестную, равной конкретному зна-

чению, например 0, мы найдём M 0 ;

Рис. 26

2) так как L α1 S n1 ,

так как L α 2

1 ×

2 =

Подставив координаты M 0 и S в уравнение (5.14.1), получим кано- нические уравнения.

2x − 3y + z − 3 = 0,

Пример. Заданы общие уравнения прямой L :

3x − 3y + z − 4 = 0.

1.Записать уравнение прямой в каноническом виде.

2.Через точку M 1 (1,0, 2) провести прямую L1 L . (рис.27) Соста-

вить параметрические уравнения прямой L1 .

131

														Решение.
	S													Решение.
	S													1)			Определим одно из решений заданной сис-
														1)			Определим одно из решений заданной сис-
	M 0									темы							линейных								уравнений:						2	-3			1	3
	M 0																														2	-3			1	3
L				M1																											3	-3			1	4 ;
										M 2			=		2			-3	¹ 0 .			Положим							z = const .				Например,

		L
			1												3			-3
			1
																									x =1,
			Рис. 27								z = 0						2x - 3y = 3						;		x =1,				. Таким образом, име-
											z = 0						3x - 3y = 4						;		y = -			1
																	3x - 3y = 4								y = -
																												3

				1, -	1												i		j		k						×(-1) +
ем: M						,0	.		=		´			=		2		-3		1		=			× 0 -						×3;			(0,1,3) .
								S																i		j				k			S
										n		n
	0									n		n	2
	0						1						2
				3													3	-3		1
																	3	-3		1

Тогда канонические уравнения заданной прямой имеют вид:

x −1

y +

L :

1 =

(0,1,3), тогда

Так

как L L1

1 .

Возьмем

L :

x −1

z − 2

. Отсюда параметрические уравнения искомой прямой

x = 1,
имеют вид: y = t,
	+ 3t.
z = 2	+ 3t.

5.16. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Впространстве прямые могут: 1) совпадать, 2) пересекаться,

3) быть параллельными,

4) быть скрещивающимися.

Ваналитическом изучении взаимного расположения прямых в про- странстве будем исходить из их канонических уравнений:

L :

x − x0

y − y0

z − z0

и L :

x − x0 '

y − y0

z − z0

132

Все возможные ситуации удобно исследуются по изучению взаимно-

го расположения трёх векторов:

1 и

M 0M 0

1. Пусть

2. Пусть L L1 Û

1 , но

L º L1 Û

M 0M 0 ' :

не параллельно

M 0M ¢0

L ≡ L1

M 0

′

3. Пусть

4. Пусть заданные прямые

L Ç L1 = {M 1} Û

скрещивающиеся

M 0M 0 '= 0,

M 0M 0 '¹ 0:

S S1

M 0

α1

M ′

L1 0

α2

5.17.Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

Определение 5.17.1. За угол между прямыми принимают любой из смежных углов, образуемых при их пересечении.

Очевидно, что cos (L1, L2 ) = cos(S1, S 2 ) = S1 × S 2 .

S1 S 2

133

Определение 5.17.2. За расстояние от точки до прямой принимают длину перпендикуляря, опущенного из точки на эту прямую.

Задача 1. Пусть задана точка М1(х1, у1, z1) и прямая

L :

x - x0

y - y0

z - z0

. Найти расстояние от точки M 1 до прямой L :

d (M 1, L) .

М1(х1, у1, z1)

Решение.

Если

M 1 удовлетворяет

уравнению L, то d (M 1, L) = 0 .

M 0

Если M 1 L , а M 0 L , то

Рис. 28

d (M 1, L) =

×sin a =

×sin (

)

M 0M1

M 0M 1

M 0M1

Определение 5.17.3. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Определение 5.17.4. Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина отрезка с концами на этих прямых и перпен- дикулярного каждой из прямых, т.е. длина их общего перпендикуляра.

Задача 2

Пусть заданы скрещивающиеся прямые

L :

x - x0

y - y0

z - z0

и L :

x - x0 '

y - y0

z - z0

Найти расстояние между этими прямыми.

Решение. По условию имеем направляющие векторы заданных пря- мых S (m, n, p) , S1 (m1, n1, p1 ) , а также точки, принадлежащие этим прямым,

M 0 ( x0 , y0 , z0 ), M ′0 ( x′0 , y′0 , z′0 ), и вектор M 0M ¢0 = ( x¢0 - x0 , y¢0 - y0 , z¢0 - z0 ) (рис. 29). Отметим, что так как заданные прямые скрещивающиеся, то

M 0M 0 '¹ 0.

Построим

плоскость

α ,

где

L α,

α,

s1 α.

Тогда

M 0 Îa,

s1 = ( A, B,C ), причем

α . Используя формулу (5.9.1),

составим уравнение плоскости α :

A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 .

Аналогичным образом,

построим

плоскость

α1 ,

где

′

L1 α1,

s α1,

s1 α1. Тогда

вектор n = s ´ s1 = ( A, B,C )

0 α1,

^ a,

также перпендикулярен α1 . Таким образом, имеем

a a1. Оп-

^ a1

134

ределим расстояние между параллельными плоскостями, при этом вос- пользуемся формулой (5.10.1.):

(

)

(

)

A(x′0 − x0 ) + B( y′0 − y0 ) + C(z′0 − z0 )

,α

= d

M ′ ,

A2 + B 2 + C 2

× M 0M 0¢

×M 0M 0¢

M 0M 0¢

S ´ S1

α2			α3
S		S
M 0		S
M 0	L	M
F		M	0
F			L
α		F	α
		F

L1	M ′		L1
	M ′	S	G M ′
G	0	S	G M ′
G		α1	0
		1	0
	S1		α1
			α1
		Рис. 29
Расстояние между скрещивающимися прямыми L и L1 - их общий
перпендикуляр FG ,	является результатом пересечения двух плоскостей

α 2 и α 3 , где α 2 α и L α 2 , α 3 α и L1 α 3 . Поэтому длину перпен- дикуляра FG можно определить через расстояние между параллельными плоскостями α и α1 :

								¢
		S S		1	M	0	M	¢
d ( L, L1 ) = d (a1,a) =				1		0		0		. Таким образом,



			S ´ S1
			S ´ S1

																¢
									S S			1	M	0	M	¢
	d ( L, L1 ) =											1		0		0	.	(5.17.2)



											S ´ S1
											S ´ S1

							135

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ

ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

5.18.Аналитическое определение взаимного расположения

прямой и плоскости

В пространстве прямая и плоскость могут:

1)L α ,

2)L α ,

3)L Ç a = { M 1} .

Пусть прямая L задана каноническими уравнениями:

x - x0

y - y0

z - z0

плоскость a - общим уравнением:

Ax + By + Cz + D = 0 .

Тогда рассмотрим

1) L α . В этом случае имеем,

что:

= 0 .

2. M 0 Îa Û Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 .

2) L α .В этом случае:

= 0 .

2. M 0 Ïa Û Ax0 + By0 + Cz0

+ D ¹ 0 .

3) Пусть L Ç a = {M 1} .

M 0

¹ 0 .

136

5.19. Определение точки пересечения прямой и плоскости

Задача.

Пусть заданы

α : Ax + By + Cz + D = 0 и прямая

L :

x - x0

y - y0

z - z0

. Пусть

L Ç a = {M } Û

¹ 0 , найти точку

M 1 .

Точку пересечения прямой и плоскости удобнее находить, если пря- мая задана в параметрическом виде. Тогда параметр t для точки M 1 легко определяется из системы линейных уравннений:

Ax + By + Cz + D = 0,
	+ mt,
x = x0
	+ nt,
y = y0
	+ pt.
z = z0

5.20. Угол между прямой и плоскостью

Определение 5.20.1.

За угол между прямой и плоскостью,

прини-

мают принимают угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Задача.

Пусть заданы плоскость α : Ax + By + Cz + D = 0

и пря-

мая

L :

x - x0

y - y0

z - z0

пусть

L Ç a = {M 1} Û

¹ 0 . Определить угол меж-

ду прямой и плоскостью (рис. 30).

Решение. Так как b = 90° - (n,

S ), то

M1 b

можно вычислить

Рис. 30

sin (90° - (

))

cos (

)

sin b =

Am + Bn + Cp

A2 + B 2 + C 2 × m 2 + n 2 + p 2

Пример.

Даны четыре точки

A1 (0,7,1) , A2 (2, -1,5) , A3 (1,6,3),

A4 (3, -9,8) . Составить уравнение плоскости A1A2 A3 . Вычислить синус уг- ла между прямой A1A4 и плоскостью A1A2 A3 .

137

Решение.

Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через

x - x1

y - y1

z - z1

три точки:

x2 - x1

y2 - y1

z2 - z1

= 0 . Будем иметь

x3 - x1

y3 - y1

z3 - z1

x - 0 y - 7 z -1

x y - 7 z -1

2 - 0 -1 - 7 5 -1

= 0 ,

-8

= 0 .

1 - 0 6 - 7 3 -1

1 -1

x y - 7 z -1

2×

-4

= 0 ,

-4

= 0 ,

-1

x ×

-4 2

- ( y - 7) ×

1 2

+ ( z -1) ×

1 -4

= 0 ,

-1

1 -1

x ×(-6) - ( y - 7) ×(0) + ( z -1) ×(3) = 0 , −6x + 3z − 3 = 0 .

Таким образом, ( A1A2 A3 ):

2x − z + 1 = 0 .

Синус угла между прямой с направляющим вектором

= (m, n, p) и

плоскостью с вектором нормали

= ( A, B,C )

вычисляется по формуле

sin j =

В нашем случае

( A1A2 A3 ) = ( 2,0, -1 ) ,

= (3 - 0, -9 - 7,8 -1) = (3, -16,7),

S A1A4

A1A4

= 2 ×3 + 0 ×(-16) -1× 7 = 6 - 7 = -1,

2 2 + 0 2 + (-1)2

4 +1

32 + (-16)2 + 7 2

9 + 256 + 49

314 .

Значит,	sin j =		-1	=	1	.


	5	× 314			1570

138

5.21. Поверхности второго порядка

Определение 5.21.1. Поверхностью второго порядка называют поверхность, заданную алгебраическим уравнением второй степени

Ах2 + Ву2 + Сz2 + Dху + Eхz + Gуz + Mх + Ну + Nz + F = 0,

где А2 + В2 + С2 ¹ 0 .

Поверхность второго порядка можно разбить на классы основных невырожденных поверхностей, имеющих одну и ту же форму канониче- ского уравнения:

1) эллипсоид, 2) однополостный гиперболоид, 3) двуполостный ги- перболоид, 4) конус второго порядка, 5) эллиптичесий параболоид, 6) ги- перболический параболоид 7) эллиптичесий цилиндр, 8) гиперболический цилиндр, 9) параболический цилиндр.

х2

у2

z 2

а2

в2

c 2

х2

у2

z 2

а2

в2

c 2

х2

у2

z 2

а2

в2

c 2

х2

у2

z 2

а2

в2

c 2

х2

у2

= 2z

p 2

q 2

х2

у2

= 2z

p 2

q 2

х2

y 2

х2

у2

х2 = 2 pу

=-1

–эллипсоид,

–однополостный гиперболоид,

–двуполостный гиперболоид,

–конус второго порядка,

–эллиптический параболоид,

–гиперболический параболоид,

–эллиптический цилиндр,

–гиперболический цилиндр,

–параболический цилиндр.

139

Определение 5.21.2. Эллипсоидом называется поверхность, кото- рая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением

x 2	+	y 2	+	z	2	= 1.	(5.21.1)
a 2		b 2		c	2

Уравнение (5.21.1) называется каноническим уравнением эллипсоида.

Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z = h, где h – любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями

		2			2			2
	x		+	y		= 1 −	h		,
			+	b		= 1 −	c 2		,	(5.21.2)
a 2				b	2		c 2			(5.21.2)
			z = h.
			z = h.

Исследуем уравнения (5.21.2) при различных значениях h.

1) Если	h	> c (c > 0), то	x 2		+	y 2		< 0 и уравнения (5.21.2) опреде-

			a	2		b	2

ляют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z=h с данным эл- липсоидом не существует.

2) Если h = ±c , то

x 2

y 2

= 0 и линия (5.21.2) вырождается в точ-

ки (0; 0; + c) и (0; 0; – c) (плоскости z = ±c касаются эллипсоида).

3) Если

< c , то уравнения (5.21.2) можно представить в виде

= 1,

b*2

a*2

z = h,

откуда следует, что плоскость z=h пересекает эллипсоид по эллипсу с по- луосями a* = a1 − h 2 / c 2 и b* = b1 − h 2 / c 2 . При уменьшении h значе-

ния a* и b* увеличиваются и достигают своих наибольших значений при h = 0 , т. е. в сечении эллипсоида координатной плоскостью Oxy получает-

ся самый большой эллипс с полуосями a* = a и b* = b .

Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверх- ности плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz.

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2214 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб51умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб42умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб40умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб46умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб47умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб53умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб35умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб45умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf