Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

4.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2219 20 21 22 > Следующая >>>

6. x 2 = y ,

y = 0 ,

2x − y = 0 , x + y = 9 ;

7.y 2 = 2 − x , x 2 + z 2 = 2z ;

y 2 = x ,

x = 0 ,

z 2 + y 2 = 9 ,

z = 0 ;

z = 0 ,

x =

x = y −1;

x = z ,

1 − y

10.

y 2 = 3x ,

z 2 + y 2 = 9 ,

x = 0 ;

11.

x 2 = y ,

y = 0 ,

x − y = 0 ,

x + y = 4 ;

12.

z 2 = 4 − y ,

x 2 + y 2 = 4 ;

13.

y 2 = 2z ,

z = 0 ,

x 2 + y 2 = 4 ,

z = 0 ;

y = 2z ,

z = 0 ,

y =

( x −1) ;

14.

16 − x

15.

y 2 = 2x ,

z 2 + y 2 = 4 ,

x = 0 .

Уровень III

1. Привести к каноническому виду уравнение поверхности второго

порядка						x 2 + 5 y 2 + 5z 2 − 3xz − 2x + y −15z −15 = 0 .
2.			Произведите					равномерное сжатие параболоида вращения
z =	x 2	+	y 2	вдоль оси OY так, чтобы в сечении его плоскостью z = 3 полу-
			16
16
чить эллипс					x 2	+	y 2	= 1.
				48
						12

181

Индивидуальные домашние задания

При выполнении индивидуальных заданий использовать математи- ческие пакеты MathCAD, MatLab, Maple (см. приложение).


Задание 1 .
1.	Преобразовать к каноническому виду уравнение поверхности вто-
рого порядка, назвать и построить поверхность:
а) y2 = z + 1		б) x2 + 4y2 – 3 z2 – 6 z = 0
2.	Преобразовать к каноническому виду уравнение поверхности вто-
рого порядка, назвать и построить поверхность:
а) x2 + z2 + 4x + 3 = 0		б) 4x2 + y2 – z2 + 4z – 4 = 0
3.	Преобразовать к каноническому виду уравнение поверхности вто-
рого порядка, назвать и построить поверхность:
а) 4x2 + y2 + 4z2 – 2 y – 3 = 0		б) x2 + 3y2 – 6 y – z + 4 = 0
4.	Преобразовать к каноническому виду уравнение поверхности вто-
рого порядка, назвать и построить поверхность:
а) 4x2 – y2 + z2 – 2 z + 1 = 0		б) x2 + 3z2 – y + 2 = 0
5.	Преобразовать к каноническому виду уравнение поверхности вто-
рого порядка, назвать и построить поверхность:
а) x2 – 2 y2 + z2 – 4 z – 4 = 0		б) x2 + 6y2 – z + 2 = 0
6.	Преобразовать к каноническому виду уравнение поверхности
5ТОрого порядка, назвать и построить поверхность:
а) x2 + y2 + z2 – 4 y – 4 z + 4 = 0		б) z + x2 – 4 = 0
7.	Преобразовать к каноническому виду уравнение поверхности вто-
рого порядка, назвать и построить поверхность:
а) y2 + 6y – 4 x – 13 = 0		б) 6x2 – y2 + 4z2 + 4y + 8 = 0
8.	Преобразовать к каноническому виду уравнение поверхности вто-
рого порядка, назвать и построить поверхность:
а) 3x2 + 6y2 + 4z2 – 12 x – 66 y + 54 = 0		б) x2 + z2 – y – 4 = 0
9.	Преобразовать к каноническому виду уравнение поверхности вто-
рого порядка, назвать и построить поверхность:
а) x2 + y2 + z – 4 = 0		б) x2 – y2 + 3z2 – 4 x + 4 = 0
10. Преобразовать к каноническому		виду уравнение поверхности

второго порядка, назвать и построить поверхность:

а) x2 + y2 – 4 z2 – 2 y +16z – 11 = 0 б) y2 + z2 + x – 3 = 0

182

Задание 2 .

1.Преобразовать к каноническому виду уравнение второго порядка, назвать и построить кривую 2x2 + 3y2 – 4 x +6y – 7 = 0.

2.Преобразовать к каноническому виду уравнение линии второго порядка, назвать и построить график y2 + 9y – 4 x +16 = 0.

3.Преобразовать к каноническому виду уравнение линии второго порядка, назвать и построить кривую 5x2 + 9y2 – 30 x + 18y + 9 = 0.

4.Преобразовать к каноническому виду уравнение линии второго порядка, назвать и построить кривую x2 – 4 y2 + 6x + 8y + 21 = 0.

5.Преобразовать к каноническому виду уравнение линии второго порядка, назвать и построить кривую 2x2 + 2y2 – 5 x + 10y = 0.

6.Преобразовать к каноническому виду уравнение линии второго порядка, назвать и построить график x2 – 4 y2 + 8x – 24 y + 16 = 0.

7.Преобразовать к каноническому виду уравнение линии второго порядка, назвать и построить кривую 3x2 – 9 x + 3y2 + 10y – 9 = 0.

8.Преобразовать к каноническому виду уравнение линии второго порядка, назвать и построить график 4x2 – 8 x + 5y – 2 = 0.

9.Преобразовать к каноническому виду уравнение линии второго порядка, назвать и построить кривую 5x2 – 2 y + 8x – 6 = 0.

10.Преобразовать к каноническому виду уравнение линии второго порядка, назвать и построить кривую 2x2 – 3 x – y2 + 4y – 6 = 0.

11.Преобразовать к каноническому виду уравнение линии второго порядка, назвать и построить кривую 5y2 – 10 y + x + 6 = 0.

12.Преобразовать к каноническому виду уравнение линии второго порядка, назвать и построить кривую 3x2 – 9 x + 3y2 + 10y = 0.

13.Преобразовать к каноническому виду уравнение линии второго порядка, назвать и построить кривую 9x2 – 4 y2 + 18x + 8y – 31 = 0.

14.Преобразовать к каноническому виду уравнение линии второго порядка, назвать и построить кривую 4x2 + 9y2 + 16x + 18y – 11 = 0.

15.Преобразовать к каноническому виду уравнение линии второго порядка, назвать и построить кривую 2y2 – 8 y + x + 3 = 0.

16.Преобразовать к каноническому виду уравнение линии второго порядка, назвать и построить кривую 2x2 + 3y2 – 4 x + 6y – 7 = 0.

Трехуровневые тестовые задания к разделу

«Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве»

Уровень I

1. Написать уравнение прямой L1 , проходящей через точку M 1 ( 2;−5 ) , перпендикулярно заданной прямой L: 2x + y − 4 = 0 . Написать

уравнение прямой

L2 , проходящей через точку M 2 ( − 3;2 ) , параллельно

заданной прямой L.

Прямая L задана точкой M 0 (−3;2) L и нормальным вектором

= ( − 2,5 ) . Требуется написать уравнение прямой

L, привести его к об-

щему виду.

Вычислить расстояние от точки

В(1, 0)

до прямой АС,

если

А(5, – 3),

С(17, 2).

Написать

уравнение плоскости,

проходящей через

точку

M ( 0;−1;1 ) параллельно векторам

1 = ( 3;1;2 ) и

2 = ( −1;0;1 ) .

Привести уравнение к каноническому виду и определить вид по-

верхности:

4x2 – 9 y2 + 3z2 – 16 x – 54 y – 72 z – 65 = 0.

Уровень II

Заданы прямые:

AB : 7x + 3y − 5 = 0 ,

BC : x − y + 10 = 0 ,

AC : x − 3 = 0 .

Найти:

−вершины ABC ;

−площадь ABC ;

−составить уравнение прямой, проходящей через вершину A ║BC ;

−определить углы ABC .

2.Написать уравнение траектории точки М(x, y), которая при своем движении остается вдвое ближе к точке А( – 1, 1), чем к точке В( – 4, 4). Построить линию.

3.Дана точка А(1; – 3; 2). Написать уравнение плоскости α, прохо- дящей через точку А, параллельно плоскости X0Z.

184

4.	Заданы плоскость	Р: x + y − z + 1 = 0 и точка M ( 3;−2;1 ) . Напи-
сать уравнение плоскости		P′ , проходящей через точку М, параллельно
плоскости Р, и вычислить расстояние ρ( P, P′ ) .
5.	Прямая L задана общими уравнениями. Написать канонические
уравнения параллельной ей прямой, проходящей через точку M ( 3;−2;1 ) .
	L :	2x − y + 2z − 3 = 0,

		x + 2 y − z −1 = 0.
6.	Исследовать форму поверхности и построить её:
		2x2 – 9 y2 – z2 = 36
		Уровень III
1.	Написать уравнение множества точек, сумма расстояний каждой

из которых от точек F1(2, 0)		и F2( – 2, 0) равна 2 5 . Построить линию.

2.Написать уравнение множества точек плоскости, равноудаленных от точки F(2, 2) и от оси 0X. Построить линию.

3.Написать уравнение множества точек плоскости, равноудаленных

от оси 0Y и точки F(4, 0). Построить линию.

4. Дана плоскость (P) x + y − z + 1 = 0 и прямая (l)	x −1	=	y	=	z + 1	.

0		2		1

Написать уравнение плоскости, проходящей через (l) перпендикулярно плоскости P .

5. Построить тело, ограниченное указанными поверхностями: x 2 + y 2 = 4z 2 , z ³ 0 , y = x , y = 8x , x = 2 .

185

ГЛОССАРИЙ

Уравнение прямой с угло-

y = kx + b, здесь k – угловой коэффициент

вым коэффициентом

Общее уравнение прямой

Ax+By+C=0, здесь А, В, С − произвольные

числа, не равные нулю одновременно

Формула вычисления угла

tg q =

k 2 - k1

между двумя прямыми

+ k1 × k 2

Условие параллельности

k1 = k 2

двух прямых y = k1x +

b1 и

y = k 2 x +

Условие перпендикулярно-

= -

сти двух прямых

y = k1x + b1 и y = k 2 x + b2

k 2

Уравнение прямой, прохо-

y - y1 = k ( x - x1 )

дящей через заданную точку

М1(х1, у1), с данным угловым

коэффициентом k

Формула вычисления рас-

d =

Ax1 + By1 + C

стояния d от точки М1(х1,

A2 + B 2

у1) до прямой Ax+By+C=0

Уравнение окружности с

( x - a)2 + ( y - b)2 = R 2

центром в точке С(а, b) и

радиусом R

Окружность

геометрическое место точек, удаленных от

точки С(а, b) на равное расстояние R

геометрическое место точек, сумма рас-

стояний от которых до двух данных точек,

Эллипс

называемых фокусами, есть величина по-

стоянная, равная 2а, большая, чем расстоя-

ние между фокусами

Каноническое уравнение

x 2

y 2

=1, где а, b – полуоси эллипса

эллипса

геометрическое место точек, разность рас-

стояний от которых до двух данных точек,

Гипербола

называемых фокусами, есть величина по-

стоянная, равная 2а, меньшая, чем расстоя-

ние между фокусами

гиперболы

x 2

y 2

a 2 - b 2 =1, где а – действительная, b –

Каноническое уравнение

мнимая полуоси гиперболы.

186

геометрическое место точек, равностоящих Парабола от данной точки, называемой фокусом, и

данной прямой, называемой директрисой

Каноническое уравнение

y 2 = 2 px ,

здесь

р –

расстояние от фокуса

параболы

до директрисы

Общее уравнение плоско-

Ax+By+Cz+D=0,

где

{ A, B,C}

–

вектор

сти

нормали к плоскости

cos j =

A1 × A2 + B1 × B2 + C1 ×C2

Формула вычисления угла

+ B 2

+ C 2 ×

A2 + B

2 + C 2

между двумя плоскостями

где

1 { A1, B1,C1} ,

2 { A2 , B2 ,C2}

− векто-

(угол между их нормалями)

ры нормали к данным плоскостям

Условие перпендикулярно-

A1 × A2 + B1 × B2 + C1 ×C2 = 0

сти двух плоскостей (это

условие эквивалентно усло-

вию перпендикулярности

векторов нормали)

Условие параллельности

двух плоскостей (это усло-

вие эквивалентно условию

параллельности векторов

нормали

1 ,

2 )

x - x1

y - y1

z - z1

Канонические уравнения

−

прямой в пространстве

здесь

М1(x1, y1,

z1)

точка на

прямой,

= (m, n, p) − направляющий вектор прямой

х = х0 + mt,

Параметрические уравне-

у = у0 + nt,

ния прямой в пространстве

z = z0 + pt,

где t –

коэффициент пропорциональности

Общее уравнение прямой

A x + B y + C z + D = 0

(пересечение двух плоскостей)

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

Формула вычисления угла

sin j =

Am + Bn + Cp

между прямой

A2 + B 2 + C 2 × m 2 + n 2 + p 2

x - x1

y - y1

z - z1

плоскостью Ax+By+Cz+D=0

187

Условие параллельности

Am + Bn + Cp = 0,

прямой

Ax1 + By1 + Cz

1 + D ¹ 0

x - x1

y - y1

z - z1

плоскости Ax+By+Cz+D=0

Условие перпендикулярно-

сти прямой

n p

x - x1

y - y1

z - z1

плоскости Ax+By+Cz+D=0

Формула вычисления угла

cos j =

m1m2 + n1n2 + p1 p2

между двумя прямыми

2 + n 2 + p 2 × m 2 + n 2 + p 2

x - x1 = y - y1 = z - z1 и

x - x 2

y - y2

z - z 2

m 2

Условие параллельности

двух прямых

x - x1

y - y1

z - z1

x - x 2

y - y2

z - z 2

m 2

Условие перпендикулярно-

m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0

сти двух прямых

x - x1

y - y1

z - z1

x - x 2

y - y2

z - z 2

m 2

Расстояние от точки до

d (M 1,a) =

Ax1 + By1 + Cz1 + D

плоскости

+ B

+ C

Расстояние от точки до

d (M , L) =

M 0M 1

×sin (M 0M

S )

прямой

Расстояние между скре-

d ( L1, L2 ) =

щивающимися прямыми

S1 ´ S 2

188

УРОВНЕВО-РЕЙТИНГОВАЯ СИСТЕМА КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ В СЕМЕСТРЕ

Учебно-познавательная деятельность студентов в процессе обучения математике, даже при наличии управляемой системы, предполагает не только наличие добросовестной их работы, но и наличие эффективного контроля за этой деятельностью. Подобный контроль должен быть доста- точно частым и систематическим, т.к. только в этом случае можно исполь- зовать вытекающие из его результатов выводы. Нужно также иметь в виду, что в процессе обучения математике необходимо формировать у студента умения самоконтроля за своей познавательной деятельностью. Проверяя и оценивая свои знания, выявляя в них пробелы, студент обращается к той или иной теме. При этом обеспечивается осмысление и переработка изу- чаемого материала, познавательная деятельность приобретает спиралеоб- разный характер. Овладение умениями самоконтроля приучает обучаю- щихся к планированию учебного труда, способствует углублению их вни- мания, памяти, выступает важным фактором развития познавательной са- мостоятельности.

Как свидетельствует педагогическая практика, систематический, на- учно организованный контроль оказывает положительное влияние на весь ход учебного процесса, активизирует самостоятельную деятельность сту- дентов, облегчает управление этой деятельностью, приучает студентов к постоянной, кропотливой работе. Поэтому контроль должен быть полным, в смысле охвата объема изучаемого материала, и всеобщим, в смысле ох- вата всех обучающихся, а также учитывать дифференциацию студенческой аудитории. Основываясь на изучении непротиворечивых подходов к про- блеме в психолого-педагогической литературе, на положениях некоторых педагогических исследований, на собственном педагогическом опыте, мы пришли к выводу, что наиболее оптимально для осуществления диффе- ренциации обучения математике в техническом вузе деление студенческой аудитории на три типологические группы.

В соответствии с таким делением уровень усвоения высшей матема- тики студентами, условно, можно охарактеризовать как базовый, при-

кладной и творческий.

В этой связи, уровень знаний каждого обучающегося мы предлагаем определять как с качественной, так и с количественной стороны. Количе- ственные характеристики мы получаем с помощью тестов (в том числе – компьютерных), текущего, рубежного и итогового контроля знаний. Необ-

189

ходимо отметить, что методическая работа в этом направлении требует от преподавателя большого такта, кропотливого труда, внимания, гибкости и продуманности действий, особенно в первом семестре обучения.

Вместе с тем, на наш взгляд, нельзя абсолютизировать количествен- ные характеристики уровня знаний при установлении индивидуально- типологических различий обучающихся. Здесь мы руководствуемся поло- жением Л.С. Выготского о необходимости диагностики, определяющей «уровень актуального развития» и «зону ближайшего развития» личности. Последний может быть определен как уровень возможных достижений обучающегося в сотрудничестве с преподавателем. «Уровень актуального развития» студента наша методическая система определяет с помощью различных методов контроля за имеющимися математическими знаниями, устанавливая, тем самым, уровень готовности обучающегося к осуществ- лению дальнейшей учебной деятельности. Наиболее сложной мы считаем задачу определения «зоны ближайшего развития» студента, т.е. установ- ление индивидуальных возможностей к самостоятельному овладению ма- тематических знаний, а также того «предельного» уровня, которого он может и должен достичь с помощью преподавателя и всей вузовской сис- темы обучения.

Мы полагаем, что для выявления «зоны ближайшего развития» обу- чающегося в овладении высшей математикой главную роль играют каче- ственные характеристики уровня его математических знаний. Эти характе- ристики возможно выявить в процессе исследования учебно- познавательной деятельности студентов при организации их обучения ма- тематике в соответствии с делением студенческой аудитории на три типо- логические группы. Для распределения обучающихся на группы мы выде- ляем следующие основные качественные показатели уровня математиче- ских знаний и уровня обучаемости: а) объем знаний, б) понимание мате-

риала, в) осмысленность и действенность знаний, г) уровень познава-

тельной активности и самостоятельности.

Под объемом знаний студента по изучаемому разделу высшей ма- тематики понимается количество правил, определений, формулировок теорем и их доказательств, которые усвоены обучающимся на достаточ- ном уровне.

Осмысленность и действенность знаний проверяется по умению студента анализировать проблемные ситуации, делать обобщения, выде- лять главное, структурировать, систематизировать математическую ин-

190

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2219 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб51умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб42умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб40умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб46умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб47умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб53умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб35умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб45умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf