умк_Вакульчик_Опред интеграл

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

а) y 2 = x 3 от x = 0 до x =1 ( y ³ 0 ).

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2514 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ниченной кривой

y = f ( x) , осью Ох и двумя вертикалями

x = a

и x = b ,

выражается соответственно формулами:

Vx = π∫ y 2 dx .

(V.7)

V y = 2π∫ xy dx .

(V.8)

( x)

30. Если фигура, ограниченная

кривыми y

= f

и y

= f

(0 ≤ f1 ( x) ≤ f 2 ( x))

и прямыми x = a ,

x = b , вращается вокруг оси Ох, то

объем тела вращения

2 )dx .

Vx = π∫( y2

2 − y1

(V.9)

40. Если тело образовано при вращении вокруг оси Оу криволиней- ной трапеции, ограниченной x = j( y ) ( j( y ) ³ 0 ) и прямыми x = 0 , y = c , y = d , то объем тела вращения равен:

				d
		V y = π ∫ x 2 dy .			(V.10)
				c
50. Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной па-
	x = x (t ),
раметрически		, где t Î[t1 ;t 2 ] , то объем тела вращения вокруг
раметрически		, где t Î[t1 ;t 2 ] , то объем тела вращения вокруг
	y = y (t ).

оси Ох находится по формуле
			t
		Vx = π ∫2 ( y (t ))2 x′(t)dt .			(V.11)
			t1
60. Если криволинейный сектор, ограниченный кривой					r = r (j) и
лучами ϕ = α ,	ϕ = β , вращается вокруг полярной оси, то объем тела вра-
щения равен				β
			2	β
		V =	2	π∫ρ3 sin ϕ dϕ .	(V.12)
		V =		π∫ρ3 sin ϕ dϕ .	(V.12)
		3		α

Обучающая задача 5. Найти объем тела, ограниченного двумя ци- линдрами x 2 + y 2 = a 2 и x 2 + z 2 = a 2 .

Решение. Изобразим на рисунке восьмую часть тела, расположенную в I октанте (рис. V.4). В поперечном сечении (перпендикулярном оси Ох)

131

тела получится квадрат. Его сторона равна ординате точки

M ( x; y ) , ле-

жащей на окружности x 2 + y 2 = a 2 , т. е.

y =

a 2 − x 2 . Следовательно, площадь

сечения равна

S ( x) = y 2 = (

)2 = a 2 − x 2 , 0 ≤ x ≤ а.

a 2 − x 2

Используя формулу

V = b∫S ( x) dx ,

Рис. V.4

находим

V = ∫(a 2 − x 2 )dx = a

2 x −

a 3 , т. е. V =

a 3 (ед3).

Обучающая задача 6. Найти объем тела вращения около оси Ох фи-

гуры,

образованной

линиями

y = x 2 ,

x = y 2 .

Решение. Тело вращения (рис. V.5)

можно рассматривать как разность двух

тел вращения криволинейных трапеций,

ограниченных параболами x = y 2 ,

y = x 2

на отрезке [0;1], x = 1 – абсцисса точки пе-

ресечения парабол.

Тогда объем тела вращения, как раз-

Рис. V.5

ность объемов указанных тел, будет

x 2

x 5

Vx = π ∫

(

x )

− (x 2 )

dx = π∫

(x − x 4 )dx = π

−

= π

−

= 0,3 π (ед3.).

Обучающая задача 7. Найти объем тела, образованного вращением фи-

гуры, ограниченной линией x = a cos3 t , y = a sin 3 t , вокруг оси Ох (рис. V.6).

Решение. Фигура, ограниченная астроидой (см. рис. V.6), при враще- нии вокруг оси Ох образует тело вращения, объем которого определяется

132

t
формулой Vx = π ∫2 ( y (t ))2 x′(t )dt . Исходя из дан-
t1
ных параметрических		уравнений астроиды
x = a cos3 t , y = a sin 3 t , имеем
y 2 = a 2 sin 6 t ,	dx = −3a cos 2 t sin t dt ;
t = π при x = 0 ,		t = 0 при x = a .
2
Тогда			Рис. V.6
0		0	Рис. V.6
0		0	(1 − cos 2 t )3 cos 2 t d (cost ) =
Vx = 2π∫ a 2 sin 6 t (−3a)cos 2 t sin t dt = 6a 3π∫			(1 − cos 2 t )3 cos 2 t d (cost ) =
π		π
2		2

= 6a 3π0∫(cos 2 t − 3cos 4 t + 3cos 6 t − cos8 t )d (cost ) =

					cos 3 t				3		3					1					0	32
					cos 3 t				3		3					1					0	32
				= 6a 3π				−		cos 5 t +		cos 7 t −					cos			9 t	=			πa	3.
				= 6a 3π				−		cos 5 t +		cos 7 t −					cos			9 t	=			πa	3.
						3			5		7					9					π	105
						3			5		7					9					π	105
																					2
	Обучающая задача 8. Кардиоида ρ = a (1 − cos ϕ)																						вращается вокруг
полярной оси. Найти объем тела вращения.																				β
																		2		β
	Решение. Воспользуемся формулой V =																	2	π∫ρ3 sin ϕ dϕ .
	Решение. Воспользуемся формулой V =																		π∫ρ3 sin ϕ dϕ .
					π										π	3				α
				2	π								2		π	(1 − cos ϕ)3d ((1 − cos ϕ)) =
		V =		2	π∫a 3 (1 − cos ϕ)3 sin ϕ dϕ =								2	πa 3	∫
		V =			π∫a 3 (1 − cos ϕ)3 sin ϕ dϕ =									πa 3	∫
			3		0						3				0
					0		π								0
=	2		πa 3		(1 − cos ϕ)4			=	8	πa 3 (ед3).
	2				(1 − cos ϕ)4				8

	3				4		0		3
	3				4				3


	4. Преподаватель вместе со всей
аудиторией решает на доске задачи.
	4.1. Найти объем тела, полученно-
го вращением вокруг оси Оу фигуры,
лежащей в плоскости Оху и ограничен-
ной линиями y 2 = 4 − x ,								x = 0 .
	Решение. Изобразим тело на ри-
сунке V.7.																					Рис. V.7

133

Очевидно, что

d	2	2	2	(16 - 8 y 2 + y 4 )dy =
V y = p∫ x 2 dy = p ∫		(4 - y 2 )2 dy = 2p∫	(4 - y 2 )2 dy = 2p∫	(16 - 8 y 2 + y 4 )dy =
c	−2	0	0

	8		3		y 5	2				64		32		512π
	8				y 5	2				64		32		512π
= 2π 16 y −		y		+			= 2π	32	−		+		=		.
= 2π 16 y −		y		+	5		= 2π	32	−	3	+	5	=	15	.
	3				5					3		5		15
						0
						0

4.2. Найти объем части цилиндра, отсеченной плоскостью, которая проходит через диаметр 2R его основания под углом α к плоскости основания.

Решение. Изобразив половину дан- ного тела (рис. V.8), замечаем, что всякое сечение его плоскостью, параллельной плоскости АВС, представляет прямо- угольный треугольник.

Из прямоугольного треугольника АМР имеем

MP 2 = MA2 - AP 2 = R 2 - ( R - x)2 .

Из прямоугольного треугольника PMN имеем

							MN = MP × tg a .
Площадь сечения S ( x)							как прямоугольного треугольника с катетами
МР и MN:											(R 2 - ( R - x)2 )tg a =										(2Rx - x 2 )tg a .
S ( x) =	1	MP × MN =	1		MP 2 × tg a =					1										1
S ( x) =		MP × MN =	2		MP 2 × tg a =
2			2						2										2
Тогда, используя формулу V = b∫S ( x) dx , получим
V = ∫S ( x) dx = ∫												a
V = ∫S ( x) dx = ∫						1 (2Rx - x 2 )tg a dx = tg a ∫ (2Rx - x 2 )dx =
		b			2R													2R
		a	0			2											2	0
		a	0															0
=				tg a			2	-	x 3			2R	=	2		3	tg a	3
				tg a			2		x 3			2R		2		3		3
						Rx									R			(ед	).
			2			Rx			3					3	R			(ед	).
			2						3					3
												0
												0

4.3. Студенты самостоятельно выполняют задание.

Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями 2 y = x 2 , 2x + 2 y − 3 = 0 , вокруг оси Ох.

Ответ: 91 p. 3

134

5. Рассмотрим правила вычисления площади боковой поверхности тела вращения.

1.Если дуга кривой, заданная неотрицательной функцией y = f ( x) ,

x[a;b] , вращается вокруг оси Ох, то площадь боковой поверхности тела

вращения вычисляется по формуле


b

σ x = 2π∫	y	1 + ( f ′( x))2 dx ,	(V.13)

a
где а и b – абсциссы начала и конца дуги.

2. Если дуга кривой, заданная неотрицательной функцией x = ϕ( y ) , y [c; d ] , вращается вокруг оси Оу, то площадь поверхности вращения вы-

числяется по формуле

′

σ y = 2π∫

dy ,

(V.14)

1 + (ϕ ( y ))

где c и d – ординаты начала и конца дуги.

3. Если дуга кривой задана параметрическими уравнениями:

x = x (t ),

t Î[t

] , причем

y (t ) ³ 0 , то

y = y (t ).

( x¢t )2 + ( y¢t )2 dt .

s x = 2p ∫2

(t )

(V.15)

4. Если дуга задана в полярных координатах r = r(j) ,

s x = 2p∫r sin j r2 + (r¢)2 dj.

jÎ[a;b] , то

(V.16)

Обучающая задача 9. Найти площадь поверхности шара радиуса R, рассматривая его как тело вращения.

Решение. а) Поверхность шара (сферы) может быть образована вра-

щением дуги кривой y =

R 2 - x 2

(полуокружности), где −R ≤ x ≤ R , во-

круг оси Ох (или дуги x =

R 2 - y 2

вокруг оси Оу). Применим формулу

1 + ( f ¢( x))2 dx .

s x = 2p∫

-x

= 1 +

x 2

1 + ( y¢)2

y = R 2 - x 2 , y¢ =

R 2

- x 2

R 2 - x 2

135

( x)

R = 4pR 2 .

R 2 - x 2 ×

s x = 2p ∫

dx = 2p ∫ R dx =2pR

−R

R 2 - x 2

−R

б)

Если

окружность

задана

параметрическими

уравнениями:

x = R cos t,

( x¢t )

+ ( y¢t )

dt , находим

то, применив формулу s x = 2p ∫ y (t )

y = R sin t,

(( R cost )¢t )

(( R sin t )¢t

)

s x = 2p∫ R sin t

dt =

(-R sin t )2 + ( R cost )2 dt =2p

= 2p∫ R sin t ×

∫ R sin t R 2 (sin 2 t + cos 2 t )dt =

(-cost )

= 2p∫ R 2 sin t dt = 2pR 2

= 2pR 2 .

Следовательно, s x = 4pR 2 .

в)

Если окружность задана

в полярных

координатах

уравнением

ρ = R , то, применяя формулу

r2 + (r¢)2 dj,

s x = 2p∫r

sin j

находим

s x = 2p∫ R sin j R 2 + ( R¢)2 dj = 2p∫ R sin j× Rdj =

2pR 2

∫sin jdj =

= 2pR 2 (-cos j)

= 2pR 2 , т. е.

s x = 4pR 2 .

Обучающая задача 10. (повышенный уровень сложности). Найти площадь поверхности тела, образованного вра- щением вокруг оси Оу петли кривой

9ax 2 = y (3a - y )2 .

Решение. Петля данной кривой (рис. V.9) описывается текущей точкой при изменении переменной у от 0 до 3а. Поэтому, дифферен- цируя по переменной у обе части ее уравнения, получим

136

18a x x′ = (3a − y )2 − 2 y (3a − y) , 18a x x′ = (3a − y)(3a − y − 2 y) ,

18a x x′ = 3(3a − y )(a − y) ,

′

3(3a − y )(a − y )

(3a − y )(a − y )

x x

18a

′

( y ))

И, подставляя в формулу σ y = 2π∫

dy , имеем

1 + (ϕ

( x x′)2 dy =

σ y = 2π ∫ x 1 + (x′y )2 dy =2π ∫ x 2 +

y (3a − y )

(3a − y )

(a − y )

= 2π ∫

dy = 2π ∫

3a − y

4ay + (a − y )2 dy =

36a 2

3∫a (3a − y )

dy =

(a + y )2

2ay + a 2 + y 2

(3a − y )(a + y ) dy =

(3a 2 + 2ay − y 2 ) dy =

∫

3a 2 y + ay 2 −

y 3

(9a 3 + 9a 3 − 9a 3 ) = 3πa 2 .

6. На доске одновременно три студента решают задачи. Студент, со- ответствующий II уровню обучения, с помощью преподавателя и аудито- рии решает задачу 6.1. Студенты, соответствующие III уровню обучения, задачи 6.2 и 6.3 решают самостоятельно. Решение этих задач обсуждается после решения задачи 6.1.

6.1. Найти площадь боковой поверхности тела, полученного вращением

фигуры, ограниченной линиями

y 2 = 4ax , x = 0 ,

x = 3a , вокруг оси абсцисс (рис. V.10).

Указание.

Примените

формулу

σ x = 2π∫

1 + ( f ′( x))2 dx ,

y = 2

где

y′ =

Ответ: 56 πa 2 . 3

137

6.2. Найти площадь поверхности тела, образованного вращением во-

x = t − sin t,

круг оси Ох одной арки циклоиды

y = 1 − cost.

		t2
		t2	′	)		′	)
Указание	. Примените формулу σ x	= 2π ∫ y (t )	′		2	′		2	dt .
	. Примените формулу σ x	= 2π ∫ y (t )	( xt			+ ( yt			dt .
		t1

Ответ: 64 π . 3

6.3. Найти площадь поверхности тела, образованного вращением кардиоиды ρ = 2a (1 + cos ϕ) вокруг полярной оси.

Ответ: 128 πa 2 . 5

Домашнее задание

1.Изучить теоретический материал по теме «Физические и механи- ческие приложения определенного интеграла».

2.Найти длину дуги кривой:

x = a (t − sin t ),	t [0;2π] .
б) одной арки циклоиды	t [0;2π] .
y = a (1 − cost ).

Ответ: 8а.

в) длину первого витка логарифмической спирали ρ = e ϕ .

Ответ: 2 (e 2π −1).

3. а) Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фи-

гуры, ограниченной кривой y 2 = ( x −1)3 и прямой x = 2 .

Ответ: π . 4

б) Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох арки

x = a (t − sin t ),

циклоиды , t [0;2π] .

y = a (1 − cost ).

Ответ: 5π2a 3 .

138

4. а) Найти площадь боковой поверхности тела, образованного вра-

щением кривой x 2 = y + 2 , y = 1 вокруг оси Оу.

Ответ: π6 (1313 −1) .

б) Найти площадь поверхности тела, образованного вращением ок- ружности ρ = 2cos ϕ вокруг полярной оси.

Ответ: 4π .

в) (повышенный уровень сложности). Найти площадь поверхности

тела, образованного вращением		вокруг оси Оу		дуги окружности
x 2 + ( y − b)2 = R 2 между ее точками,		где y = y и y = y	2	.
		1	2
		y2
		y2	x 1 + ( x )				dy , пред-
	. Воспользоваться формулой σ y = 2π ∫		x 1 + ( x )				dy , пред-
Указание					′	2
		y1

варительно отыскав x, x′ .

Ответ: 2πR ( y2 − y1 ) .

VI. Физические (механические) приложения определенного интеграла

1. В начале занятия выяснить вопросы по выполнению домашнего задания и, в случае необходимости, разобрать решения задачи на доске.

2. Рассмотреть физические (механические) приложения определен- ного интеграла.

2.1. Путь, пройденный точкой. Если точка движется по некоторой кри- вой и абсолютная величина ее скорости V = v(t) есть известная функция вре- мени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени [t1,t2 ] , равен

t
S = ∫2 v (t )dt .	(VI.1)
t1
2.2. Работа переменной силы, заданной функцией F = F(x) и направ-
ленной вдоль оси Ox на отрезке [a,b] , равна интегралу
A = b∫F ( x)dx .	(VI.2)
a
2.3. Давление жидкости на горизонтальную пластину равно весу
столба этой полуплоскости (закон Паскаля), т. е.
P = gShγ ,	(VI.3)
где g – ускорение свободного падения; γ –	плотность жидкости; S – пло-
щадь пластинки; h – глубина ее погружения.

139

Давление жидкости на вертикальную пластину, ограниченную ли- ниями x = a, x = b, y1 = f1(x) и y2 = f2(x) (рис VI.1), вычисляется по формуле

P = g b∫γ ( f 2 ( x) − f1 ( x)) x dx .	(VI.4)
a

2.4 Статическим моментом относительно оси и материальной точки А, имеющей массу m и отстоящей от оси

	y	и на расстоянии	d, называется число
		M u = md .
		Если дуга	плоской	материальной


		кривой задана уравнением		y = f (x) , где
		x [a;b] , и имеет плотность γ = γ(x) , то
		x [a;b] , и имеет плотность γ = γ(x) , то
x		статические моменты этой дуги Mx и My
		относительно координатных осей Ox и

Рис. VI.1

Oy находят по формулам:

M x = b∫γ ( x) f ( x)dl = b∫γ ( x) f ( x)

dx ,

1 + ( f ′( x))2

(VI.5)

M y = b∫γ ( x) x dl = b∫γ ( x) x

dx ,

1 + ( f ′( x))2

(VI.6)

dx ,

где dl =

1 + ( f ′( x))2

dl =

′

)

′

)

dt, dl =

′

( xt

+ ( yt

+ (ρϕ )

dϕ – дифференциал дуги.

Моментом инерции относительно оси и материальной точки массой m, отстоящей от оси и на расстоянии d, называется число:

I u = md 2 .

Моменты инерции дуги плоской материальной кривой y = f (x) , где x [a;b] , с заданной плотностью γ = γ(x) , равны соответственно


I x = b∫γ ( x)( f ( x))2				dx ,
		1 + ( f ′( x))2			(VI.7)
a
I y = b∫γ ( x) x 2			dx .
	1 + ( f ′( x))2				(VI.8)
a

Координаты центра масс дуги плоской материальной кривой y = f (x) , где x [a;b] , с плотностью γ = γ(x) вычисляют по формулам:

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2514 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб51умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб42умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб40умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб46умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб47умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб53умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб35умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf