14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Пальчик_Теория вероятностей

Возьмем и разделим обе части (9.10) на Dx× Dy и вычислим предел при Dx ® 0, Dy ® 0. Тогда

попадания значений СВ (X, Y) в прямоугольник со сторонами Dx и к пло- щади этого прямоугольника, когда его стороны стремятся к нулю.

Из (9.11) получаем

Выражение f(x, y) dx dy называется элементом вероятности СВ (X, Y). Если же рассматривать не прямоугольник со сторонами Dx, Dy, а область (S), то ее можно разбить прямыми, параллельными осям координат, на элементарные прямоугольники и получаем

9.5. Свойства f(x, y).

9.5.1. f(x, y) ³ 0.

О. Это следует из свойства 9.3.2, т.е. из того, что F(x, y) является не- убывающей по каждому аргументу, и из свойств пределов. Ä.

9.5.2.

−∞ −∞

71

О. Это следует из того, что левая часть в (9.14) выражает вероят- ность достоверного события – попадания значений СВ (X, Y) в плоскость R2 (квадрант с бесконечными размерами). Ä.

Выше были отмечены маргинальные распределения компонент X и Y в случае дискретной СВ (X, Y).

Возникает вопрос о маргинальных распределениях компонент X и Y

вслучае непрерывной СВ (X, Y), у которой известна F(x, y) (или f(x, y)).

Всамом деле, если F(x, y) для СВ (X, Y) известна, то воспользуемся равенством (9.9) и свойством 9.3.5. Получаем

(9.16) и (9.15) называют маргинальными функциями распределения компо-

нент X и Y СВ (X, Y).

Теперь из определения плотности распределения 4.11 получаем мар-

гинальные плотности распределения компонент X и Y:

72

=fX (x) fY (y). Ä.

9.8.Пример. СВ (X, Y) имеет плотность распределения

10. Условные законы распределения. Числовые характеристики системы СВ

Пусть (X, Y) – 2- мерная СВ, распределение которой известно (т.е. из- вестна таблица (9.3) или известна f(x, y)).

73

10.1. Определение. Условным распределением компоненты (состав- ляющей) Х СВ (X, Y) называется ее распределение, вычисленное при усло- вии, что компонента Y приняла определенное значение.

Пусть (X, Y) – ДСВ, компоненты которой определены на одном про- странстве элементарных событий, и пусть ее закон распределения задан таблицей (9.3).

Пусть X = xi, а Y принимает любое из значений y1, ..., yj, ..., ym.

Тогда условная вероятность события B = {Y = yj } при условии, что

Если в (10.1) j = 1, m , то совокупность {p(y / xi )} условных вероят- ностей { p( y1 / xi ),K, p( ym / xi )} при X = xi и называют условным распреде-

лением компоненты Y при X = xi .

Это условное распределение удобно записать в виде таблицы:

Заметим, что

Аналогично условное распределение компоненты X при Y = yj есть совокупность

Отметим, что знаменатели формул (10.1) и (10.4) определены в (9.5)

и (9.6).

Пусть теперь (X, Y) − НСВ.

74

Тогда условное распределение компоненты X при условии, что Y

приняла значение y, задается условной функцией распределения компонен- ты X

есть условная функция распределения компоненты Y при условии X = x. Имеет место следующая

10.2. Теорема. Пусть (X, Y) − непрерывная СВ с непрерывной плот- ностью распределения f(x*, y*). Тогда

Отметим, что обозначения x* и y* введены лишь для того, чтобы вы- делить верхние пределы в интегралах (10.7) и (10.8), которые являются ар- гументами левых частей в (10.7) и (10.8).

Ясно, что в общем случае FX(x/y) есть функция от x, а FY(y/x) есть функция от y. Если они являются дифференцируемыми и f(x, y) − плот- ность распределения СВ (X, Y), то получаем условные плотности распре- деления компоненты X при условии, что Y=y, и компоненты Y при усло- вии, что X=x:

75

Из (10.9) и (10.10) получаем аналог формулы (3.1):

10.3. Определение. Пусть (X, Y) - 2-мерная СВ с известным зако-

ном распределения (9.3) или f(x, y). Условным математическим ожидани-

ем компоненты X называется МО СВ X, вычисленное при условии, что Y приняла определенное значение Y = y и обозначается M(X/Y). Аналогично определяется и M(Y/X).

Из этого определения и формулы (6.15) получаем формулы для вы- числения M(X/Y) и M(Y/X).

10.4. Определение. Начальным моментом порядка k+s системы

(X,Y) называется математическое ожидание произведения Xk и Ys, то есть

(ввиду (6.15))

В частности, n10 = M(XY0) = M(X), n01 = M(X0Y) = M(Y). Совокупность

{M(X), M(Y)} называется математическим ожиданием СВ (X, Y). Геомет-

рически - это координаты средней точки на плоскости XOY, вокруг кото- рой происходит рассеивание значений системы (X, Y).

76

10.5. Определение. Центральным моментом порядка k+s системы (X,Y) называется математическое ожидание произведения (X – M (X))k и

i=1 j =1

Если же (X, Y) - непрерывная СВ, то

−∞ −∞

10.6. Свойства KXY.

10.6.1. KXY = KYX (очевидно).

10.6.2.Если X и Y независимы, то KXY = ввиду (10.16) и 6.13.3 = =M(X – M (X)) × M(Y – M (Y)) = ввиду (6.26) = 0 × 0 = 0.

10.6.3.KXY = M[XY – M (X)Y – M (Y)X + M(X)M(Y)] = по 6.13 =

=M(XY) – M (X)M(Y) – M (Y)M(X) + M(X)M(Y) = M(XY) – M (X)M(Y). (10.19)

10.6.4. |KXY|£ sX × sY (sX = D( X ), sY = D(Y )). Æ.

Если KXY = 0, то не обязательно, что X и Y независимы. В этом случае они называются некоррелированными.

77

10.7. Пример. 2-мерная СВ (X, Y) имеет закон распределения:

Найти KXY и установить зависимость X и Y.

О. M(X) = (–1) × 1/6 + 0 × 2/3 + 1 × 1/6 = 0, M(Y) = 2/3.

M(XY)=(–1) ×0×1/12+(– 1) ×2×1/12+0×0×1/2+0×2×1/6 + 0×1×1/12 + 2×1×1/12 = 0. По формуле (10.19) KXY = 0 – 0 ×2/3 = 0.

Далее, P(X<0) = 1/6, P(Y<2) = 2/3. Поэтому

P[(X<0)×(Y<2)] = 1/12¹1/6×2/3 = P(X<0)×P(Y<2). Поэтому X и Y зави-

симы, хотя KXY=0.

Ввиду (10.19) формулам (10.17) и (10.18) можно придать более удоб- ный для вычислений вид:

-¥ -¥

Из 6.13.6 следует, что сравнивать X и Y неудобно, если они выража- ются в различных единицах измерения. Поэтому для удобства сравнения

× ×

принято компоненты X и Y нормировать, т.е. перейти к новым СВ X и Y , математические ожидания которых равны нулю, а дисперсии равны 1. Ес- ли положить

78

××

то ковариация СВ X и Y называется коэффициентом корреляции и обо- значается

rXY уже является безразмерной величиной, так как KXY имеет размер- ность, равную произведению размерностей X и Y по 6.13.6, а sX = D( X ) - размерность X по 6.14.4.

10.8. Свойства коэффициента корреляции

10.8.1.|rXY| £ 1.

О. По свойству 6.14.6 дисперсии имеем^ 0£D(X+Y)=D(X)+D(Y)±2COV(XY)=1+1±2rXY=2±2rXY=2(1±rXY). |rXY|£1. Ä.

10.8.2. Если ρXY = ±1, то это равносильно тому, что между СВ X и Y существует линейная функциональная зависимость: Y = b0 + b1X.

О. 1) Пусть Y = b0 + b1X. Тогда

M(Y) = M(b0 + b1X) = b0 + b1M(X);

sY = D(b0 + b1X ) = b12s2X = b1 sX .

KXY = M[(X – M (X)) × (b0 + b1X – b 0 – b 1M(X))] = M[(X – M (X)) × b1(X – M(X))] =

= M(b1(X – M (X))2) = b1×s2X .

Тогда

Знак ρXY определяется знаком при коэффициенте b1 в функции

Y= b0+b1X.

2)Если r = ± 1, то Y = b0 + b1X. Æ. Ä. 10.8.3. Если rXY ¹ 0, то X и Y зависимы. Æ.

79

Из определения дисперсии 6.9 следует, что центральные моменты m20 и m02 задают дисперсии компонент X и Y соответственно и характери- зуют рассеивание случайной точки в направлении осей Ox и Oy относи- тельно точки (M(X), M(Y)).

Поэтому D(X) можно вычислять по формуле (10.15) при k = 2, s = 0, а D(Y) - по формулам (10.15) при k = 0, s = 2.

Но с учетом (6.27) можно пользоваться более удобными формулами, полагая в (10.15) k = 2, s = 0 и k = 0, s = 2 соответственно

i =1 j =1

и

∞∞

D( X ) = ∫ ∫ x2 f (x, y) dxdy - M ( X )2 "НСВ(X,Y)

−∞ −∞

(10.25)

∞∞

D(Y) = ∫ ∫ y2 f (x, y) dxdy - M (Y )2 "НСВ(X,Y).

−∞ −∞

Теперь может быть доказана следующая

10.9. Теорема.

О. Полагаем в формуле (10.14) k = 1, s = 1. Тогда из (10.14) и (10.21) видно, что M(X×Y) – M (X)M(Y) = KXY. Теперь из (10.16) легко следует ут- верждение (6.24'). Ä.

10.10. Замечание. Сравнение теоремы 10.9 и свойства МО 6.13.3 по- казывает, что KXY (и, значит, rXY) является мерой тесноты связи между X и Y. Если KXY ® 0 (или rXY ® 0), то X и Y становятся мало зависимы друг от друга.

80