14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Пальчик_Теория вероятностей

15.Для стрелка вероятность попасть в «яблочко» при одном выстре- ле постоянна и равна 0,25. Спортсмен сделал 5 выстрелов. СВ Х – число попаданий в «яблочко». P(1 < x <3) = ?

16.Из партии втулок, изготовленных токарем, наудачу берут 6 штук. Известно, что вероятность изготовить бракованную деталь для данного то- каря постоянна и равна 0,3. СВ Х – число бракованных втулок среди взя-

тых. P(2 < x < 5) = ?

17.В урне содержится 15 шаров, 8 из них – белые, остальные – крас- ные. Наудачу берут 5 шаров. СВ Х – число белых шаров среди 5-ти взятых.

P(1 < x < 4) = ?

18.В группе спортсменов 6 лыжников и 5 конькобежцев. Из нее слу- чайным образом отобрано 5 спортсменов. СВ Х – число лыжников среди отобранных спортсменов. P(1 < x <3) = ?

19.Из 12 книг, стоящих на полке, 8 художественных. Наугад берут 6 книг. СВ Х – число художественных книг среди взятых. P(2 < x <5) = ?

20.В классе 12 мальчиков и 18 девочек. Выбирается делегация из 5-ти человек. СВ Х – количество мальчиков в делегации. P(2 < x < 4) = ?

21.В группе 20 студентов, среди них 9 отличников. На конференцию выбирают 6 человек. СВ Х – число отличников, попавших на конферен-

цию. P(3 < x < 5) = ?

22.В цехе работают 16 мужчин и 6 женщин. Для работы в 1-ю смену

выбирают 5 человек. СВ Х – число мужчин, занятых в 1-ю смену.

P(1 < x < 4) = ?

23.На блюде лежат 15 пирожков, одинаковых на вид, 8 из них – с начинкой из мяса. Гостю предлагается выбрать 4 пирожка. СВ Х – число пирожков с мясом, выбранных гостем. P(1 < x < 4) = ?

24.В пакете с семенами находится 30 семян, 7 из которых – брако-

ванные. Высеивается 6 семян. СВ Х – число взошедших семян.

P(15 < x < 18) = ?

25.В коробке 25 фишек, среди которых 12 – красного цвета. Наугад извлекают 6 фишек. СВ Х – число красных фишек среди извлеченных.

P(2 < x < 5) = ?

26.На фирме работают 25 человек, 15 из которых с высшим образо- ванием. Формируют группу для разработки нового проекта, для этого слу- чайным образом выбирают 6 человек. СВ Х – число людей с высшим обра- зованием, попавших в группу проектировщиков. P(3 < x < 6) = ?

27.Среди 30-ти наугад выбранных телефонных номеров 10 номеров – числа, делящиеся на 5. Из этих 30-ти номеров произвольным образом вы-

181

бирают 4 номера. СВ Х – число телефонных номеров, делящихся на 5, из 4-х выбранных. P(x > 2) = ?

28. Смешали 1 пакет семян поздних помидоров (7 штук) и 1 пакет ранних помидоров (10 штук). Для посадки взяли наугад 5 семян. СВ Х – число взошедших семян поздних помидоров среди 5-ти посеянных.

P(x > 3) = ?

29.В автопарке имеется 20 автобусов, из них 14 – марки «Икарус». На линию должны выехать 5 автобусов. СВ Х – число «Икарусов», вы- ехавших на линию. P(x < 3) = ?

30.Из 25 подписчиков на газеты 16 человек подписались на местные газеты, остальные – на республиканские. Наудачу выбрали 6 подписчиков. СВ Х – количество подписчиков на местные газеты среди выбранных.

P(x > 4) = ?

Дополнительные задания по законам распределения НСВ

Найти закон распределения СВ Х, M(X), D(X), P(a ≤ x ≤ b).

1.Среднее время безотказной работы аппаратуры равно 3-м часам. СВ Х – время безотказной работы аппаратуры. a = 5, b = ∞.

2.Среднее время разговора абонента, ежедневно регистрируемого на АТС, составляет 35 мин. СВ Х – длительность разговора абонента в сутки.

a = 7, b = 15.

3.На шоссе установлен контрольный пункт для проверки техниче- ского состояния автомобилей. СВ X – время ожидания очередной машины контролером. Время (в часах) между прохождениями машин через кон- трольный пункт распределено по показательному закону:

f (t) = 5e−5t .

a = 2, b = ∞ .

4.Среднее время ожидания покупателя у кассы магазина равно 5 ми- нутам. Найти закон распределения СВ X – время ожидания, F(X), D(X).

а = 2, b = 4.

5.Задана интенсивность простейшего потока, равная 4-м. Найти за- кон распределения СВ Х – времени появления 3-х последовательных собы- тий потока. Найти M(X), D(X). P(X > 2) = ?

6.Среднее время безотказной работы двигателя автомобиля равно 5-ти годам. СВ Х – время безотказной работы. P(X > 6) = ?

182

7.Трамваи данного маршрута идут с интервалом в 7 мин. СВ Х – время ожидания пассажира, пришедшего на остановку. а = 1, b = 3.

8.Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,8. Показа- ния прибора округляются до ближайшего целого деления. СВ Х – ошибка измерения. а = 0, b = 0,2.

9.Диаметр круга Х измерен приближенно, причем a ≤ X ≤ b. Рас- сматривая диаметр как случайную величину Х, распределенную в интерва- ле [a, b], найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

10.Время между появлениями автобусов маршрута № 5 на остановке равно 15 минутам. СВ Х – время ожидания пассажира, пришедшего на ос- тановку автобуса № 5. a = 5, b = 10.

11.Цена деления металлической линейки равна 1 мм. Измерения ок- ругляются до целого деления. СВ Х – ошибка при измерении. Найти веро- ятность того, что при измерении будет допущена ошибка, не превышаю- щая 0,02 мм.

12.Для исследования продуктивности определенной породы до- машней птицы измеряют диаметр яиц. Наибольший поперечный диаметр

яиц представляет собой СВ Х, распределенную по нормальному закону со средним значением 5 см и средним квадратным отклонением 0,3 см. a = 4,7, b = 6,2.

13.Урожайность озимой пшеницы по совокупности участков рас- пределения по нормальному закону со средним значением 50 ц/га, средним квадратичным отклонением 10 ц/га. Определить: а) какой процент участ- ков будет иметь урожайность свыше 40 ц/га; б) процент участков с уро- жайностью от 45 до 60 ц/га.

14.Считается, что изделия – высшего качества, если отклонение его размеров от нормальных не превосходит по абсолютной величине 3,6 мм. Случайные отклонения размера изделия от номинального подчиняются нормальному закону со средним квадратичным отклонением, равным 3 мм. Систематические отклонения отсутствуют. Определить среднее число из- делий высшего качества среди 100 изготовленных.

15.Диаметр подшипников, изготовленных на заводе, представляет собой случайную величину, распределенную нормально с математическим ожиданием 1,5 см и средним квадратичным отклонением 0,04 см. Найти вероятность того, что размер наугад взятого подшипника колеблется от 1 до 2 см.

16.Валик, изготовленный автоматом, считается стандартным, если отклонение его диаметра от проектного размера не превышает 3 мм. Слу-

183

чайные отклонения диаметра валиков подчиняются нормальному закону со средним квадратичным отклонением 1,6 мм и математическим ожиданием, равным нулю. Сколько стандартных валиков (в %) изготовляет автомат?

17.Детали, выпускаемые цехом, имеют диаметры, распределенные

по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 6 см, и дис- персией, равной 0,81 см2. Найти вероятность того, что диаметр наугад взя-

той детали от 4 до 7 см.

18.При определении расстояния радиолокатором случайные ошибки распределяются по нормальному закону. Какова вероятность того, что ошибка при определении расстояния не превысит 20 м, если известно, что

систематических ошибок радиолокатор не допускает, а дисперсия ошибок равна 1370 м2?

19.СВ Х подчинена нормальному закону с математическим ожида- нием, равным нулю. Вероятность попадания этой СВ в интервал [– 1; 1] равна 0,5. Найти среднее квадратическое отклонение и записать закон рас- пределения.

20.СВ Х распределена нормально с математическим ожиданием, равным 40 и дисперсией, равной 100. Найти P(30≤X≤80).

21.Случайное отклонение Х размера детали от номинала распреде- лено по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю,

исредним квадратическим отклонением, равным 5 мк. Каким должен быть допуск, чтобы с вероятностью не более 0,0027 получилась деталь с кон- тролируемым размером вне поля допуска?

22.СВ Х – размер детали, изготовленной на станке, подчинена нор-

мальному закону распределения со средним значением 20 см и дисперсией

0,2 см2. Найти P(15≤X≤22).

23.Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если откло- нение ее контролируемого размера от проектного не превышает 15 мм. Случайные отклонения подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 5 мм и математическим ожиданием, равным нулю. Сколько % годных деталей изготавливает автомат?

24.Автомат изготавливает шарики, которые считаются годными, ес- ли отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,8 мм. Считая, что СВ Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением, равным 0,4 мм, найти: сколько, ве- роятнее всего, окажется годных шариков среди 100 изготовленных?

25.СВ Х – расстояние между автобусными остановками подчинена нормальному закону распределения со средним значением, равным 100 метрам и средним квадратическим отклонением, равным 8 метрам. Найти

P(90≤X≤125).

184

26.В результате статистического исследования установлено, что средний вес юношей, выпускников средней школы, составляет 70 кг. СВ Х – вес юноши подчинена нормальному закону распределения со средним квадратическим распределением, равным 8-ми кг. Найти P(60<X<80).

27.СВ Х распределена нормально с математическим ожиданием,

равным 14-ти. P(12≤X≤16) = 0,2. Найти P(25≤X≤40).

28.Средняя продолжительность эксплуатации электрических лампо- чек равна 100 часам. СВ Х – время эксплуатации лампочки подчинена нормальному закону распределения со средним квадратическим отклоне- нием, равным 80-ти часам. Найти P(70≤X≤120).

29.СВ Х подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием, равным нулю. Известно, что P(–3 ≤X≤3) = 0,5. Найти D(X).

30.СВ Х имеет нормальное распределение с математическим ожида- нием, равным нулю, и средним квадратическим отклонением, равным 5. Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадет СВ Х в резуль- тате испытания.

11.Генеральная совокупность и выборка. Вариационный и статистический ряды распределения.

Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения

Группа объектов, объединенных по некоторому качественному или количественному признаку, называется статистической совокупностью. Различают генеральную и выборочную совокупность.

Выборочной совокупностью или выборкой называется совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности называется число объектов, входящих в эту совокупность.

Более подробно о генеральной совокупности (ГС) и выборке го- ворится в лекции 11.

Статистическая совокупность, расположенная в порядке возрастания или убывания признака, называется вариационным рядом, а ее объекты −

вариантами.

185

Вариационный ряд называется дискретным, если его члены прини- мают конкретные изолированные значения. Если члены вариационного ря- да заполняют некоторый интервал, то такой ряд называют непрерывным.

Статистическим распределением выборки или статистическим рядом называется соотношение между значениями вариант xi и соответст-

вующими им частотами mi или относительными частотами wi = mi , где n − n

объем выборки. Статистическое распределение можно представить в ви- де таблицы, где в одну строку записывают варианты (члены вариационного ряда), а в другую – соответствующие им частоты или относительные частоты.

Геометрически статистический ряд можно изобразить следующим образом: на оси абсцисс откладывают варианты, а на оси ординат − соот- ветствующие им частоты или относительные частоты. Ломаную линию, соединяющую полученные точки, называют полигоном.

Для непрерывного вариационного ряда интервал, в котором заклю- чены все значения ряда, разбивают на несколько частичных интервалов

– x i = h и находят для каждого частичного интервала сумму частот или относительных частот вариант, попавших в i-й интервал. На оси абсцисс

откладывают частичные интервалы, а над ними на расстоянии mi или wi h h

проводят отрезки, параллельные оси абсцисс. Соединив концы отрезков и интервалов линиями, параллельными оси ординат, получают ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, которая называется гистограммой.

Вид таблиц для построения полигона и гистограммы приведен в лекции 11.

Эмпирической функцией распределения называется функция F*(x),

равная относительной частоте события X < x:

n

где mx − число вариант, меньших x; n − объем выборки. 0 ≤ F*(x) ≤ 1.

186

11.1. Пример. Составить статистический ряд для случайной величи- ны – длины заготовок, отобранных случайным образом, − 49, 51, 50, 50, 53, 51, 54, 52, 51, 51, 53, 52, 49, 50, 52, 53, 51, 52, 51, 49, 52, 52, 51, 52, 50, 51, 53, 51, 49, 50 и построить полигон частот.

О. Так как размеры имеют конкретные изолированные значения, ва- риационный ряд будет дискретным. Расположим значение признака X (длина заготовок) в порядке возрастания в первой строке табл. 1, а во вто- рой строке − количество заготовок соответствующей длины (частоты).

Таблица 1

Построим полигон. Для этого откладываем по оси Ox значения при- знака X, а по оси Oy − частоты m. Полученные точки соединяем отрезками прямых.

m

9

7

5

1

Рис. 1. Ä

11.2. Пример. Из текущей продукции автомата, обрабатывающего ролики диаметром D = 20 мм, взята выборка объемом 50 штук. Ролики из- мерены по диаметру микрометром с ценой деления 0,01. По данным от- клонений от номинального размера диаметра, приведенным ниже, соста- вить непрерывный статистический ряд и построить гистограмму.

О. Так как наименьшее отклонение равно 0,01, а наибольшее – 0,14, то разобьем весь интервал на 7 интервалов длиной 0,02.

Запишем интервальный статистический ряд (табл. 2).

Значения вариант, принадлежащих границам, отнесем к тому интер- валу, у которого эта граница является левой.

Построим гистограмму.

m

14

10

6

1

Рис. 2. Ä

11.3. Пример. Построить эмпирическую функцию распределения по данным статистического ряда (табл. 3):

Таблица 3

О. Используя формулу (11.1), находим: наименьшая варианта равна 1, значит, F*(x) = 0 при x £1.

Значения X < 3, т.е. x1 = 1, наблюдались 4 раза, следовательно,

F*(x)= 4/20 = 1/5 при 1 < x £ 3 .

188

Значения X < 5, а именно: x1 = 1, x2 = 3, наблюдались 4 + 6 = 10 раз,

следовательно, F*(x) = 10/20 = 1/2, при 3 < x £ 5 . Значения X < 7, а именно:

x1 = 1, x2 = 3, x3 = 5, наблюдались 4 + 6 + 7 = 17 раз, следовательно, F*(x) = 17/20,

при 5 < x £ 7 . Так как x = 7 − наибольшая варианта, то F*(x) = 1 при X > 7.

Запишем эмпирическую функцию распределения:

Задачи для самостоятельного решения

1. В результате опроса студентов одной группы их возраст представ-

ляется следующими данными: 17, 20, 18, 19, 18, 17, 20, 21, 24, 22, 20, 21,

20, 19, 18, 20, 21, 22, 25, 20.

Составить статистический ряд, построить полигон частот.

189

2. Составить интервальный статистический ряд овальности валиков

(в мк) по следующим данным:

и построить полигон частот.

3. В результате проверки партии деталей получены данные по сор-

там: 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 2, 2.Составить стати-

стический ряд, построить полигон частот.

4. Найти эмпирическую функцию и построить ее график по следую-

щим распределениям:

а)

б)

в)

190