Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.54 Mб

Скачать

☆

1 / 331 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Полоцкий государственный университет»

Ф. Ф. ЯСКО

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ

Учебно-методический комплекс для студентов технических специальностей

Новополоцк

ПГУ

2008

УДК 51(075.8) ББК 22.1я73

Я81

Рекомендовано к изданию научно-методической комиссией радиотехнического факультета в качестве учебно-методического комплекса (протокол № 3 от 25.03.08)

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

канд. физ.-мат. наук, доц., декан математического факультета УО «Витебский государственный педагогический университет им. П. М. Машерова» Н. Е. БОЛЬШАКОВ;

д-р физ.-мат. наук, проф. каф. высшей математики УО «Полоцкий государственный университет» Э. М. ПАЛЬЧИК;

канд. пед. наук, доц. каф. высшей математики УО «Полоцкий государственный университет» В. С. ВАКУЛЬЧИК

Яско, Ф.Ф.

Я81 Дифференциальные уравнения. Ряды : учеб.-метод. комплекс для студентов техн. спец. / Ф. Ф. Яско. – Новополоцк : ПГУ, 2008. – 324 с.

ISBN 978-985-418-762-4.

Изложены теоретические основы двух разделов курса высшей математики для студентов технических специальностей: «Дифференциальные уравнения» и «Ряды»; спроектированы основные этапы практических занятий; предложено соответствующее дидактическое обеспечение: графические схемы, информа- ционные таблицы, обучающие задачи, трехуровневые тесты, вопросы к экза- мену, глоссарий. Приведены примеры решения прикладных задач.

Предназначен для студентов и преподавателей технических специально- стей высших учебных заведений.

	УДК 51(075.8)
	ББК 22.1я73
ISBN 978-985-418-762-4	Яско Ф. Ф., 2008
	УО «Полоцкий государственный университет», 2008

	СОДЕРЖАНИЕ
Введение ................................................................................................................................................		5
УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 9. «Дифференциальные уравнения» .............................................................		9
Введение ................................................................................................................................................		9
Дидактические цели обучения ............................................................................................................		9
Учебно-методическая карта модуля .................................................................................................		10
Графическая схема модуля ................................................................................................................		11
Информационная таблица «Дифференциальные уравнения» ........................................................		12
Краткое содержание теоретического материала .............................................................................		14
	9.1. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям ...............................	14
	9.2. Основные понятия теории дифференциальных уравнений ...............................................	17
	9.3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши ........................................	19
	9.4. Дифференциальные уравнения с разделенными
	и разделяющимися переменными ................................................................................................	22
	9.5. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним ................................	24
	9.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка ..............................................	28
	9.7. Уравнение Бернулли ..............................................................................................................	32
	9.8. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах ..............................................	34
	9.9. Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка ..................................	37
	9.10. Модели прикладных задач с применением дифференциальных уравнений ..................	39
	9.11. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши.
	Понятие общего и частного решений ..........................................................................................	41
	9.12. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка ...............................	42
	9.13. Понятие о краевых задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений ...........	46
	9.14. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков ..........................................	47
	9.15. Линейные однородные дифференциальные уравнения, свойства их решений.
	Определитель Вронского. Условия линейной зависимости и независимости решений ........	48
	9.16. Линейные однородные дифференциальные уравнения
	с постоянными коэффициентами .................................................................................................	51
	9.17. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод вариации
	произвольных постоянных ...........................................................................................................	55
	9.18. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
	с постоянными коэффициентами .................................................................................................	58
	9.19. Системы дифференциальных уравнений. Решение систем дифференциальных
	уравнений с постоянными коэффициентами ..............................................................................	64
	Вопросы к экзамену по модулю 9 ................................................................................................	70
Методические указания к проведению практических занятий ......................................................		71
Учебно-информационный блок для проведения практических занятий ......................................		71
Основная и дополнительная литература ..........................................................................................		72
I.	Основные понятия теории дифференциальных уравнений.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ...............................................		73

II.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

и приводящиеся к ним .......................................................................................................................		77
III.	Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
и уравнение Бернулли ........................................................................................................................		81
IV.	Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Решение задач
прикладного содержания ...................................................................................................................		85
Трехуровневые тестовые задания к разделу «Дифференциальные уравнения
первого порядка» ................................................................................................................................		89
V.	Дифференциальные уравнения высших порядков,
допускающие понижение порядка ..................................................................................................		113
VI.	Линейные однородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами ....................................................................................................		118

VII. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных .......................		121
VIII. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами и специальной правой частью ................................................		127
IX. Решение систем дифференциальных уравнений ................................................................		134
Трехуровневые тестовые задания к разделу «Дифференциальные уравнения
высших порядков» ............................................................................................................................		138
Глоссарий ..........................................................................................................................................		180
УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 10. «Ряды» ...................................................................................................		186
Введение ............................................................................................................................................		186
Дидактические цели обучения ........................................................................................................		186
Учебно-методическая карта модуля ...............................................................................................		187
Графическая схема модуля ..............................................................................................................		188
Информационная таблица «Ряды» ..................................................................................................		189
Краткое содержание теоретического материала ...........................................................................		191
	10.1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда .....................................................................	191
	10.2. Простейшие свойства числовых рядов ............................................................................	193
	10.3. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд .......................................	194
	10.4. Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения .................................................	196
	10.5. Признаки Даламбера и Коши ............................................................................................	199
	10.6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница ...............................................................	203
	10.7. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды ................................	205
	10.8. Функциональные ряды. Область сходимости .................................................................	207
	10.9. Степенные ряды. Теорема Абеля.
	Интервал и радиус сходимости степенных рядов ....................................................................	209
	10.10. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов ...........................................	214
	10.11. Ряды Тейлора и Маклорена. Условия разложения функции в ряд Тейлора ...............	215
	10.12. Разложение по степеням х функций ex , sin x, cos x, (1 + x)m ...................................	216
	10.13. Приложение рядов к приближенным вычислениям .....................................................	220
	10.14. Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье ...............................................................................	224
	10.15. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций ................................................	228
	10.16. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на [−ℓ, ℓ] ...............................................	230
	10.17. О разложении в ряд Фурье непериодических функций ...............................................	232
Вопросы к экзамену по модулю 10 .................................................................................................		233
Методические указания к проведению практических занятий ....................................................		234
Учебно-информационный блок для проведения практических занятий ....................................		234
Основная и дополнительная литература ........................................................................................		235
I.	Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда .........................................................................	236

II.Необходимый признак сходимости. Ряды с положительными членами.

Теоремы сравнения ..........................................................................................................................		240
III.	Признак Даламбера. Радикальный и интегральный признаки Коши ................................	243
IV.	Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Абсолютная
и условная сходимость .....................................................................................................................		246
V.	Степенные ряды. Нахождение радиуса и интервала сходимости .....................................	250
VI.	Ряды Тейлора и Маклорена и их приложения .....................................................................	254
VII.	Контрольная работа по теме «Ряды» ....................................................................................	260
VIII.	Разложение функций в ряд Фурье, заданных на [– π, π] ....................................................	261
IX.	Разложение функций в ряд Фурье, заданных на [−ℓ, ℓ] .....................................................	264
Трехуровневые тестовые задания к разделу «Ряды» ....................................................................		268
Глоссарий ..........................................................................................................................................		318
Используемая литература ................................................................................................................		322

ВВЕДЕНИЕ

Данный учебно-методический комплекс (УМК) является частью се- рии учебно-методических пособий, разрабатываемых кафедрой высшей математики УО «ПГУ» по курсу «Высшая математика» для студентов тех- нических специальностей под руководством кандидата педагогических на- ук, доцента В.С. Вакульчик. Теоретические и дидактические принципы разработки таких пособий изложены в нулевом учебном модуле [5].

В предлагаемом УМК, графическая схема которого представлена на рис. 1, автором предпринята попытка спроектировать процесс обучения математике как систему целей, содержания, форм, методов и средств обу- чения, обеспечивающих в своем взаимодействии организацию познава- тельной деятельности с учетом дифференциации студенческой аудитории. Дидактическую основу УМК составляет дифференцированный и деятель- ностный подход к обучению математике, а также дидактические принципы научности, системности, доступности. В применении к математике мы ру- ководствуемся сформулированным А.А. Столяром исходным положением теории обучения математике: «Обучение математике есть дидактически целесообразное сочетание обучения математическим знаниям и математи- ческой деятельности». Под дифференцированным подходом к обучению математике понимается такая его организация, при которой каждый сту- дент, овладевая некоторым минимумом математических знаний и их прак- тических приложений, получает право и возможность расширять и углуб- лять свои математические знания на более высоких уровнях усвоения. От- дельное внимание необходимо обратить на наличие в УМК таких дидакти- ческих средств как графические схемы, информационные таблицы, глосса- рий, обобщенные планы, алгоритмические указания, алгоритмическое вы- деление этапов познавательной деятельности, которые позволяют органи- зовать мыслительную деятельность по переработке математической ин- формации, помогают обучающемуся в логической организации, структу- рировании, систематизации математических знаний. Поскольку УМК предназначен для студентов нематематических специальностей, то он име- ет прикладную направленность, содержит практические задачи, решение которых требует моделирования с помощью изучаемого математического аппарата. УМК содержит в себе возможности самоконтроля, а также уров- невого контроля знаний. Студенты, работающие на I уровне сложности, потенциально могут претендовать на получение на экзамене оценки «4» – «5»; работающие на II уровне – оценки «6» – «8»; работающие на III уров-

не – оценки «9» – «10». Информационное поле УМК позволяет студенту выбирать свою траекторию обучения в каждом модуле. Трехуровневая тестовая среда УМК создает условия для перехода студентов от заданий, требующих воспроизводящей мыслительной деятельности к заданиям, тре- бующим познавательной деятельности преобразующе-воспроизводящего или творческого характера.

Считаем необходимым еще раз привести методические рекоменда- ции работы в информационном поле модуля, изложенные в нулевом учеб- ном модуле [5].

В самом общем виде процесс познания новой информации состоит из следующих этапов: первичное восприятие → изучение основных ее элементов → углубление, обобщение, систематизация полученной инфор- мации → включение познанного нового знания в систему имеющихся представлений, знаний, мировоззрения в целом. Исходя из этих психолого- методологических соображений, предлагается следующая последователь- ность этапов работы в информационном поле модуля.

0.С помощью методической карты изучить содержание разделов лекционного материала.

1.Вход в модуль целесообразно осуществить с помощью графиче- ской схемы и информационной таблицы. Граф-схема и информационная таблица определенного раздела математики представляют собой макси- мально сжатый, компактно составленный справочный материал. Справоч- ный материал информационной таблицы раскрывает основные блоки гра- фической схемы рассматриваемого раздела.

Предложенные методические средства помогают при изучении но- вой информации увязать различные понятия, теоремы, формулы в единое целое; позволяют проследить логику построения теорий; служат эффек- тивному прохождению всех этапов восприятия, усвоения, обобщения, сис- тематизации, и в конечном итоге, логической организации новой инфор- мации. Структурированная наглядность содержания представленной ин- формации облегчает ее усвоение за счет целостности представления и вос- приятия изучаемого объекта, направляет избирательность внимания и па- мяти. Все это способствует более глубокому уровню усвоения предмета, помогает находить главное и производное в изучаемом материале, анали- зировать его, учит рационально работать с новой информацией любого со- держания.

2.Изучение теоретической части модуля следует начинать с бегло- го чтения всей информации. На втором этапе этой познавательной дея-

тельности рекомендуется проработать каждый раздел, отдельные фрагмен- ты при этом разумно параллельно проделать своей рукой. На третьем эта- пе, просмотрев еще раз графическую схему, отработав основные положе- ния теоретической части модуля с помощью информационной таблицы, целесообразно прочитать еще раз весь теоретический материал с целью его целостного восприятия, большей систематизации, логической организации

иобобщения.

3.Практическая часть модуля представляет собой методически спроектированные практические занятия. Отметим, что они содержат как методические рекомендации преподавателям, так и методические реко- мендации студентам. В этой связи, обратим внимание на наличие обучаю- щих задач, решение вариантов аудиторных и внеаудиторных контрольных работ. Все это дополняет задачи и примеры, приведенные в теоретической части модуля, и создает предпосылки для овладения соответствующим ма- тематическим аппаратом, по крайней мере, на уровне воспроизводящей познавательной деятельности, позволяет освоить обучающемуся практиче- скую часть информации модуля либо самостоятельно, либо под руково- дством преподавателя.

4.На выходе из модуля следует еще раз провести обобщение, сис- тематизацию полученных знаний путем повторного изучения графической схемы, информационной таблицы, глоссария и выводов. Кроме того, прак- тическая часть содержит в себе возможности для проведения контроля и самоконтроля результатов обучения: тесты трех уровней сложности с от- ветами. Поэтому на выходе из модуля рекомендуется, как минимум, вы- полнить тест первого уровня сложности. Тесты первого уровня сложности рекомендуется выполнить и непосредственно при подготовке к экзамену, зачету либо коллоквиуму.

Желаем успехов!

Учебно-методический комплекс «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ»

СОДЕРЖАНИЕ

ОБУЧЕНИЯ

Дидакти-

Модуль-

Уров-

ческие

ное по-

невый

средства

строение

кон-

курса

троль

Граф.

Обобщен-

схемы

ные планы

Ин-

форма-

цион-

Обучающие

ные

задачи

табли-

цы

Диф- фе- ренци рован- ный под- ход

Обучение математиче-

ским знаниям

ДИДАКТИЧЕСКАЯ

Обучение математической

ОСНОВА

деятельности, формирова-

ние математических на-

выков и умений

Дея-

Ди-

При-

тель-

дакти-

клад-

Организация и управление

ност-

ческие

ная

самостоятельной познава-

прин-

направ

ный

тельной деятельности

под-

ципы

лен-

ход

ность

Формирование познава-

тельной самостоятельности

Раз-

ви-

ваю

щей

дея-

тель

нос-

ти

Рис. 1

УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 9 « ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Введение

В данном учебном модуле рассматриваются дифференциальные уравнения первого, второго и высшего порядка, методы их решения, а также системы дифференциальных уравнений и методы решения систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. К каждо- му виду дифференциальных уравнений приводятся прикладные задачи (как правило, одна задача геометрическая, вторая – техническая). Форму- лируются и решаются задача Коши и краевая задача. Приведены тесты трех уровней сложности с ответами.

ДИДАКТИЧЕСКИЕ ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ

	Студент должен знать	Студент должен уметь
− основные правила решения приклад-		− строить модели прикладных задач с при-
ных задач с получением дифференци-		менением дифференциальных уравнений;
альных уравнений;		− решать дифференциальные уравнения с
−	основные определения, связанные с	разделенными и разделяющимися пере-
понятием дифференциальных уравне-		менными и приводящиеся к ним;
ний 1-го порядка;		− решать однородные дифференциальные
−	формулировку задачи Коши;	уравнения 1-го порядка и приводящиеся
−	дифференциальные уравнения 1-го	к ним;
порядка, допускающие интегрирование;		− решать линейные дифференциальные
− основные понятия, связанные с диф-		уравнения 1-го порядка и уравнения Бер-
ференциальными уравнениями высших		нулли;
порядков, задачу Коши;		− решать дифференциальные уравнения в
−	линейные однородные дифференци-	полных дифференциалах;
альные уравнения высших порядков,		− решать дифференциальные уравнения
свойства их решений, определитель		высших порядков, допускающие пониже-
Вронского, условия линейной незави-		ние порядка;
симости решений, структуру общего		− решать линейные однородные диффе-
решения;		ренциальные уравнения высших порядков
− структуру общего решения линей-		с постоянными коэффициентами;
ных неоднородных дифференциальных		− находить частное решение линейного
уравнений высших порядков, метод ва-		неоднородного уравнения методом вариа-
риации произвольных постоянных на-		ции произвольных постоянных;
хождения частного решения;		− решать линейные неоднородные диффе-
−	системы дифференциальных уравне-	ренциальные уравнения высших порядков
ний, формулировку задачи Коши;		с постоянными коэффициентами со специ-
− методы решения систем дифферен-		альной правой частью;
циальных уравнений с постоянными		− решать системы дифференциальных
коэффициентами		уравнений

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА МОДУЛЯ

	Номер	Методи-	Формы
Название вопросов, которые изучаются на лекции	практи-	ческие	контро-
	ческого	пособия	ля
	занятия		знаний
1. Физические задачи, приводящие к диф-
ференциальным уравнениям. Основные по-		6, 5, 7,	ПЛ,
нятия теории дифференциальных уравнений.	I	6, 5, 7,	ПЛ,
нятия теории дифференциальных уравнений.	I	8	ВДЗ
Задача Коши. Дифференциальные уравнения		8	ВДЗ
Задача Коши. Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными
2. Дифференциальные уравнения 1-го по-
рядка: однородные и приводящиеся к одно-	II	3, 8, 9,	ПДЗ,
родным		3, 8, 9,	ПДЗ,
родным		6	ВДЗ
		6	ВДЗ

3. Линейные уравнения, уравнения Бернул-			ПЛ,
ли, уравнения в полных дифференциалах.		3, 8, 9,	ПЛ,
ли, уравнения в полных дифференциалах.	III, IV	3, 8, 9,	ПДЗ,
Модели прикладных задач с применением	III, IV	6,10	ПДЗ,
Модели прикладных задач с применением		6,10	тест
дифференциальных уравнений			тест
дифференциальных уравнений
4. Дифференциальные уравнения высших
порядков. Задача Коши. Понятие общего и	V	5, 8, 9	ПЛ,
частного решений. Уравнения, допускающие	V	5, 8, 9	ВДЗ
частного решений. Уравнения, допускающие			ВДЗ
понижение порядка
5. Линейные дифференциальные уравнения
высших порядков. Линейные однородные
дифференциальные уравнения, свойства их
решений. Определитель Вронского. Условия	VI	5, 6, 8,	ПДЗ,
линейной зависимости и независимости ре-	VI	9	ВДЗ
линейной зависимости и независимости ре-		9	ВДЗ
шений. Линейные однородные дифференци-
альные уравнения с постоянными коэффи-
циентами
6. Линейные неоднородные дифференци-			ПЛ,
альные уравнения с постоянными коэффи-	VII,	5, 6, 8,	ПЛ,
альные уравнения с постоянными коэффи-	VII,	5, 6, 8,	ПДЗ,
циентами. Метод Лагранжа вариации произ-	VIII	9	ПДЗ,
циентами. Метод Лагранжа вариации произ-	VIII	9	ВДЗ
вольных постоянных			ВДЗ
вольных постоянных
7. Системы дифференциальных уравнений.		5, 6, 8,
Решение систем дифференциальных уравне-	IX	5, 6, 8,	тест
Решение систем дифференциальных уравне-	IX	9, 10	тест
ний с постоянными коэффициентами		9, 10
ний с постоянными коэффициентами

Перечень тем практических занятий приведен в практической части модуля.

1 / 331 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20155.38 Mб46умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб47умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб53умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб35умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб45умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб93умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf