Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3320 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

10.1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда

Рассмотрим числовую последовательность

a1, a2 ,…, an ,...

Определение 1 0 . 1 . 1 .	Бесконечная сумма
a1 + a2 + ... + an + an+1 + ...		(10.1.1)
называется числовым рядом. Числа a1, a2 ,…, an ,... называются		членами
ряда, а число an – n-ным членом или общим членом ряда.
	∞
Кратко числовой ряд обозначается символом ∑ an .
	n=1
Определение 1 0 . 1 . 2 .	Сумма конечного числа n первых чле-
нов ряда называется n-ной частичной суммой ряда
Sn = a1 + a2 + ... + an .
Рассмотрим последовательность частичных сумм { Sn } ,
где S1 = a1 ,
S2 = a1 + a2 ,
…………..
n
Sn = a1 + a2 + ... + an = ∑ ak ,
k =1
Sn+1 = Sn + an+1 ,
………………………..
Определение 1 0 . 1 . 3 .	Числовой ряд (10.1.1) называется схо-

дящимся, если последовательность частичных сумм { Sn }		сходится к не-
которому числу S, которое называется суммой этого ряда.
Итак, по определению, ряд (10.1.1) сходится к		сумме S, если
lim { Sn } = S . В этом случае пишут
n→∞
a1 + a2 + ... + an +	∞
a1 + a2 + ... + an +	... = ∑ an = S .	(10.1.2)
	n=1
Если предел последовательности	{ Sn } не существует или равен бес-
конечности, то ряд (10.1.1) называется расходящимся.

191

Пример 10.1.1. Рассмотрим ряд, составленный из членов геомет- рической прогрессии

a + a q + a q2			+ ... + a qn−1	+ ...	(10.1.3)
1	1	1	1

Сумма ее n первых членов равна

a1 (1 − qn ) Sn = a1 + a1q + ... + a1qn−1 = − .

1 q

1) Если

< 1, то qn → 0

при n →∞ и, следовательно,

a qn

lim S

= lim

−

n→∞

− q

1 − q

n→∞ 1

1 − q

Значит, в случае

< 1

ряд (10.1.3) сходится и его сумма

S =

− q

> 1,

a - a qn

2) Если

то

® ¥ при

n ® ¥, и тогда

® ±¥

1 - q

при n ® ¥. Таким образом, при

>1 ряд (10.1.3) расходится.

3) Если q = 1, то ряд (10.1.3) имеет вид

a1 + a1 + ... + a1 + ...,

в этом случае

Sn = a1 + a1 + ... + a1 = na1 и lim Sn = ∞ , т.е. ряд расходится.

→∞

4) Если

q = −1, то ряд (10.1.3) имеет вид

a − a + a − a + ... +

(−1)n +1 a + ...

при n четном,

и предела не имеет, ряд (10.1.3)

В этом случае

Sn =

при n нечетном

расходится.

Таким образом, ряд (10.1.3), составленный из членов геометрической

прогрессии, сходится, если

<1, и расходится при

³1.

Пример 10.1.2. Исследовать на сходимость ряд

∞

+ ... +

+ ... = ∑

(n -1)n

1× 2 2

n = 2 (n -1)n

Решение. Общий член этого ряда раскладывается на простейшие

дроби следующим образом:

(n -1)n

n -1

192

Тогда


Sn =			1		+		1			+		1			+ ... +					1			+	1				=
Sn =					+					+		× 4			+ ... +				(n	- 2)(n -1)			+					=
		1	× 2 2 ×3 3									× 4							(n	- 2)(n -1)				(n -1)n
=1 -	1	+	1	-		1		+	1	-	1		+ ... +					1		-	1	+	1		-	1	=1 -		1	.
=1 -		+		-				+		-			+ ... +							-		+			-		=1 -			.
2			2	3 3						4							n - 2 n -1 n -1 n												n
																1
Так как		lim Sn						= lim 1						-			=1,			то искомый ряд сходится и его
Так как		lim Sn						= lim 1						-			=1,			то искомый ряд сходится и его
		n→∞						n→∞								n

сумма S = 1.

				∞			∞
	Суммой		двух рядов	∑ an		и	∑bn
∞	∞	∞		n=1			n=1
∞	∞	∞	(an + bn ) .
∑ an	+ ∑bn = ∑		(an + bn ) .
n=1	n=1	n=1	∞
			∞
	Произведением ряда ∑ an			на действительное число
			n=1
			∞		∞	(aan ) .
			a∑ an =		∑	(aan ) .
			n=1		n=1

называется ряд

a называется ряд

Пусть ряд (10.1.1) сходится к сумме S. Перепишем равенство (10.1.2)

в виде Sn + an+1 + an+2 + ... = S и обозначим	rn = an+1 + an+2 + ... Это выра-
жение, представляющее собой новый ряд,	называется остатком ряда
(10.1.1). Таким образом, для сходящегося ряда имеет место равенство
S = Sn + rn .	(10.1.4)

Справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 1 0 . 1 . 1 . Для того чтобы ряд (10.1.1) сходился необхо-

димо и достаточно, чтобы lim rn = 0 .

n→∞

Доказательство теоремы вытекает из определения суммы ряда и ра-

венства (10.1.4).

10.2. Простейшие свойства числовых рядов

Свойство 1 0 . 2 . 1 . Сходимость ряда не нарушится, если произ- вольным образом изменить (переставить, добавить или отбросить) конеч- ное число членов ряда.

Это свойство утверждает, что если ряд был сходящимся (расходя- щимся) до одной из перечисленных операций, то и после нее он будет схо- дящимся (расходящимся), хотя сумма его может измениться.

193

Свойство 1 0 . 2 . 2 .	Сходящийся ряд можно почленно умножить
			∞	∞
на любой множитель λ, т.е., если ряд ∑ an				имеет сумму S, то ряд ∑ λan
имеет сумму λS.		n=1		n=1
имеет сумму λS.				Sn = a1 + a2 + ... + an , получаем
Доказательство.	Из	того,	что	Sn = a1 + a2 + ... + an , получаем
λSn = λa1 + λa2 + ... + λan . Отсюда		lim λSn = λS .
		n→∞
Свойство 1 0 . 2 . 3 .	Сходящиеся ряды можно почленно склады-
вать и вычитать, т.е.	если	даны	ряды a1 + a2 + ... + an + ... = S1 и
b1 + b2 + ... + bn + ... = S2 , то	ряд	(a1 ± b1 ) + (a2 ± b2 ) + ... + (an ± bn ) + ... схо-

дится к S1 ± S2 .

Доказательство.

В самом деле

lim

((a1 ± b1 ) + (a2 ± b2 ) + ... + (an ± bn )) =

n→∞

= lim

(a1 + a2 + ... + an ) ± lim

(b1 + b2 + ... + bn ) = S1 ± S2 .

→∞

n→∞

∞

Пример 10.2.1. Исследовать на сходимость ряд

∑

n=0 6

∞

Решение.

∑

= ∑

+ ∑

Ряды

∑

n=0

n=0 6

n=0

∞

и ∑

представляют собой суммы геометрических прогрессий со

n=0

знаменателями

q =

< 1

< 1,

т.е.

сходятся.

Их

суммы

S1 =

= 6 ,

. Тогда

сумма

всего

ряда

1 − q1

1 −

1 − q2

1 −

S = S + S

= 6 + 3

= 9

10.3. Необходимое условие сходимости ряда.

Гармонический ряд

ТЕОРЕМА 1 0 . 3 . 1

(необходимое условие сходимости ряда). Ес-

∞

ли ряд ∑ an

сходится, то

n=1

lim an = 0 .

(10.3.1)

n→∞

194

	Доказательство.			Пусть S – сумма ряда, т.е. lim Sn = S . Так как
					n→∞
an	= Sn	− Sn−1	, то lim an = lim Sn		− lim Sn−1 = S − S = 0 .
			n→∞	n→∞	n→∞

Итак, если ряд сходится, то всегда выполняется условие (10.3.1). Ес- ли же условие (10.3.1) не выполнено, то ряд расходится (легко доказывает- ся методом от противного). Это является достаточным условием или

признаком расходимости ряда.

Отметим, что условие (10.3.1) не является достаточным условием сходимости ряда, т.е. из выполнения равенства (10.3.1) не обязательно вы- текает сходимость ряда (ряд может сходиться, может расходиться).

Покажем это на примерах.

∞

n + 1

Пример 10.3.1.

Исследовать на сходимость ряд ∑ln

n=1

Решение.

lim a

= lim ln

n +1

= lim ln 1 +

= 0 , т.е. необходимое

n→∞

условие выполнено. Тем не менее, этот ряд расходится. Действительно,

n +1

= ln

+ ln

+ ... + ln

+ ln

= ln

×...×

n -1

1 2 3

1 n

= ln (n +1) .

Отсюда

lim Sn

= lim ln (n +1) = ¥ , т.е. ряд расходится.

n→∞

∞

Пример 10.3.2.

Исследовать на сходимость ряд ∑

n=1 2n

Решение.

lim an

= lim

= 0 . Ряд сходится, так как q =

< 1.

n→∞

n→∞ 2n

Пример 10.3.3.

Рассмотрим так называемый

гармонический ряд

∞

1 +

+ ... +

+ ... = ∑

n=1 n

Для этого ряда необходимое условие сходимости выполнено, так его

общий член

® 0

при

n ® ¥. Однако гармонический ряд расходится (в

дальнейшем лекционном курсе при помощи интегрального признака Коши

∞	1
будет показано, что обобщенный гармонический ряд ∑		сходится при

n=1 n p

р > 1 и расходится при р £1 ).

195

10.4. Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения

	∞
Пусть задан ряд ∑ an		с положительными членами an ³ 0 .		Иссле-
	n=1
дуем вопрос о его сходимости или расходимости.
Так как частичные суммы ряда с положительными членами образуют
неубывающую последовательность (S1 > S2 > S3 > …),			то этот ряд сходится
тогда и только тогда, когда последовательность { Sn}			его частичных сумм
ограничена.
ТЕОРЕМА 1 0 . 4 . 1		(признак сравнения 1). Пусть для		рядов
∞	∞
∑ an и	∑bn имеет место неравенство
n=1	n=1
		0 < an £ bn		(10.4.1)
(для всех n или начиная с некоторого N). Тогда:
	∞		∞
1)	если сходится ряд ∑bn , то сходится и ряд		∑ an ;
	n=1		n=1
		∞	∞
2)	если расходится ряд	∑ an , то расходится и ряд ∑bn .
		n=1	n=1

Признак утверждает, что при выполнении условия (10.4.1) из сходи- мости ряда с большими членами вытекает сходимость с меньшими члена- ми, а из расходимости ряда с меньшими членами вытекает расходимость ряда с большими членами.

Доказательство.

			∞
1)		Пусть ряд ∑bn сходится			и		S – его сумма. Из соотношения
			n=1
(10.4.1) следует неравенство
			S	′ ≤ S	′′		≤ S ,
			n	n
		′ –		∞
где S		′ –	частичная сумма ряда	∑ a		;
	n			n
				n=1
		′′ –		∞
S		′′ –	частичная сумма ряда	∑b .
	n				n

n=1

196

Из

этого

неравенства

вытекает ограниченность сверху частичных

S ′

( S ′ ≤ S)

∞

сумм

ряда

∑ a .

В таком случае неубывающая последова-

n=1

{Sn′}

∞

сходится, и его сумма σ ≤ S.

тельность

имеет предел, т.е. ряд

∑ an

n=1

∞

Пусть ряд

∑ an

расходится. Если бы при этом ряд

∑bn

схо-

n=1

дился, то по только что доказанному

(an ≤ bn )

должен сходиться и ряд

∞

∑ an ,

что противоречит условию. Значит, ряд

∑bn

расходится.

n=1

∞

При выполнении условий (10.4.1) будем говорить, что ряд

∑bn

яв-

n=1

∞

ляется мажорантным рядом или мажорантой (оценкой) для ряда ∑ an .

n=1

Пример 10.4.1.

Ряд

1 +

+ ...

+ ... сходится, так как его

члены

не

больше

соответствующих

членов

ряда

1 +

+ ...

≤

. Последний ряд сходится, так как его члены, начиная со второ-

го, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем

q =

< 1. Сум-

ма этого ряда

S = 1 +

= 1,5 .

Следовательно, в силу теоремы 10.4.1

1 −

данный ряд тоже сходится, причем его сумма σ < 1,5.

Пример 10.4.2.

Ряд

1 +

+ ...

расходится, так как

его члены, начиная со второго, больше соответствующих членов гармони-

ческого ряда 1 + 1 + 1 + ... 1 + ... , который расходится. 2 3 n

197

Замечание 1 0 . 4 . 1 . Признак сравнения 1 справедлив только для рядов с положительными членами. Он остается в силе, если некоторые члены 1-го или 2-го ряда – нули. Однако этот признак перестает быть вер- ным, если среди членов ряда есть отрицательные числа.

Замечание 1 0 . 4 . 2 . Теорема 10.4.1 справедлива и в том случае, если неравенство (10.4.1) начинает выполняться лишь для n ³ , а не для всех n = 1, 2, 3, …

ТЕОРЕМА 1 0 . 4 . 2		(предельный			признак	сравнения 2). Пусть
∞	∞
члены рядов ∑ an	и ∑bn	положительны и
n=1	n=1
	lim		an	= A > 0 ,	A ¹ ¥ .	(10.4.2)
	lim			= A > 0 ,	A ¹ ¥ .	(10.4.2)
	n→∞ bn

Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

∞ 2n + 3

Пример 10.4.3. Исследовать на сходимость ряд ∑ .

n=1 n3 + 3

2n + 3

Решение.

Так как

a =

= 0

при

n → ∞, то

+ 3

1 +

∞

сравним этот ряд с обобщенным гармоническим рядом

∑

(р = 2 > 1),

n=1 n2

2n + 3

(2n + 3)n2

который

сходится. Поскольку

lim

= lim

n→∞

n3 + 1 n2

n→∞

n3 + 1

2n3

+ 3n2

2 +

= lim

= 2 , то по признаку сравнения 2 исходный ряд

n→∞ n3 + 1

n→∞ 1 +

сходится.

∞

Пример 10.4.4. Исследовать на сходимость ряд

∑ tg

n=1

∞

Решение.

Так как

lim tg

= 1, а ряд

∑

расходится, то

n→∞

n=1 n

расходится и данный ряд по признаку сравнения 2.

198

10.5. Признаки Даламбера и Коши

Рассмотрим еще три достаточных признака для исследования число- вых рядов с положительными членами.

ТЕОРЕМА 1 0 . 5 . 1 (признак Даламбера). Если в ряде

a1 + a2 + ... + an + an+1 + ...

(10.5.1)

отношение (n + 1)-го члена к n-ному при n → ∞ имеет конечный предел

		p = lim	an+1	,	(10.5.2)
		p = lim		,	(10.5.2)
		n→∞ an
то	1)	ряд сходится, если р < 1;
	2)	ряд расходится, если р > 1.

(В случае р = 1 ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда теорема не дает, нужны дополнительные исследования.)

Доказательство.
1)	Пусть р < 1. Рассмотрим число				q, удовлетворяющее соотноше-
нию р < q < 1.
Из определения предела следует, что					"e = q - p > 0 $N , что для всех
n ³ N		an+1	− p	< ε = q − p		an+1	− p < q − p
	будет иметь место

		an				an

an+1 < q . Запишем это неравенство для различных значений n, начиная с an

номера N.

	aN +1 < qaN ,
	aN +2 < qaN +1 < q2aN ,	(10.5.3)
	aN +3 < qaN +2 < q3aN ,	(10.5.3)
	aN +3 < qaN +2 < q3aN ,
	..................................
	Рассмотрим теперь три ряда:
	a1 + a2 + ... + aN −1 + aN + aN +1 + aN +2 + ...	(исходный ряд)
	aN + aN +1 + aN +2 + ...	(10.5.4)
	aN + qaN + q2aN + ...	(10.5.5)

Ряд (10.5.5) есть сумма геометрической прогрессии с q < 1, следова- тельно, он сходится. Члены ряда (10.5.4) меньше соответствующих членов ряда (10.5.5) ввиду выполнения неравенств (10.5.3), поэтому он сходится.

Но ряд (10.5.1) получается добавлением к сходящемуся ряду (10.5.4) конечного числа членов (N − 1), поэтому он тоже сходится.

199

2) Пусть

р > 1. Тогда из равенства

lim

an+1

= p (где р > 1) следует,

n→∞ an

что, начиная с некоторого номера N, т.е. для n ³ N

un+1

>1. Следователь-

un+1 > un для всех

но,

n ³ N . Но это означает, что члены ряда возрастают,

начиная с номера N + 1, и поэтому общий член ряда не стремится к нулю.

Следовательно, ряд расходится.

Замечание 1 0 . 5 . 1 .

Ряд будет расходиться и в том случае, ко-

гда

р = ¥. Это следует из того, что если

lim

an+1

= ¥,

то, начиная с неко-

n→∞ an

торого номера

n =

N, будет иметь место неравенство

an+1

>1 или

> an lim an ¹ 0 .

an+1

n→∞

Пример 10.5.1.

Исследовать сходимость ряда

1 +

+ ... +

+ ...

1× 2 ×3 ×...× n

× 2 1× 2 ×3

Решение.

Здесь

. Следовательно,

n+1

+1)!

p = lim

= lim

n→∞ a

→∞

+1)! n!

n→∞ (n +1)!

= lim

1× 2 ×3 ×...× n

= lim

= 0 <1. Ряд сходится.

n→∞ 1× 2 ×3 ×...× n(n +1)

n→∞ n

∞

Пример 10.5.2.

Исследовать сходимость ряда

∑

n=1

2n+1

2n+1 × n

Решение.

p = lim

= lim

2 lim

= 2 >1.

+1) × 2n

n→∞

n +

n→∞ (n

n→∞ n +

Ряд расходится.

Замечание 1 0 . 5 . 2 .

Если

р = 1, но отношение

an+1

для всех

номеров n, начиная с некоторого, больше единицы,

то ряд расходится.

Это следует из того, что если

an+1

> 1,

то

> a

и общий член не

n+1

стремится к нулю, когда n ® ¥.

200

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3320 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20155.38 Mб48умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб49умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб57умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб37умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб47умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб95умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf