Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды

.pdf

Скачиваний:

100

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3332 33 > Следующая >>>

Уровень I I I

∞

Найти сумму ряда

∑

+ 1)(2n

+ 5)

n=1 (n + 1)(n + 2)(2n

Ответ:

∞

(С ¹ −n,

Найти сумму ряда

n∑=1

, где

С –

постоянная

(C + n)(C + n + 1)

n = 1, 2, 3, …).

Ответ:

C + 1

∞

= 1;

Используя результат предыдущего примера, показать, что ∑

n=1 n(n + 1)

∞

∑

;

∑

n=1

(n + 1)(n + 2)

n=1

(π + 1)(π + n + 1)

π + 1

n=1

(

2 + 1)(

2 + n + 1)

2 + 1

∞

постоянная (С ¹ −n,

Найти сумму ряда

n∑=1

, где

С –

(C + n)(C + n + 2)

∞

n = 1, 2, 3, …).

Показать, что

∑

n=1 n(n + 2)

Ответ: S =

2C + 3

C +

+ 1)(C +

2 C + 1

∞

Найти сумму ряда

∑

, где С –

постоянная

+ n

−1)(C + n)(C + n

+ 1)

n=1 (C

(С ¹− n; n = 1, 2, 3, …).

∞

Показать, что

∑

(n + 1)(n + 2)

n=1 n

Ответ: S =

−

2C (C + 1)

2 C C + 1

Доказать, что

lim (5n)!

= 0 .

n→∞

Доказать, что

lim (2n)!

= 0 ,

(а > 1).

n→∞ an!

311

8.	Доказать, что	lim
		n→∞
9.	Доказать, что	lim
		n→∞
10.	Доказать, что	lim
		n→∞

( nn) = 0 .

2n !

nn = 0 .

(n!)2

(n!)n = 0 .

nn2

11. Исследовать на сходимость ряд

вительных значениях р и a.

∞	1
∑	1	при различных дейст-


n=2 n p (ln n)α

Ответ:

Если р > 1, то ряд сходится при всех a, а если р < 1, то расходится.

Если р = 1, то ряд сходится при a > 1	и расходится при a £ 1.
	∞			1
12. Исследовать на сходимость ряд	∑			1		при различных

		p	(ln n)	α	β
n=3 n			(ln n)		(ln ln n)

действительных значениях р, a и b.

Ответ:

Если р > 1, то ряд сходится при всех a и b; если р < 1, то расходится.

Если р = 1, то ряд сходится при a > 1 и любых b и расходится при b £ 1.

13. Исследовать условия сходимости гипергеометрического ряда

ab	+	a(a +1)b(b +1)	+	a(a +1)...(a + n -1)(a + n)b(b +1)...(b + n)	,
1× g		1× 2 × g(g +1)		(n +1)!g(g +1)...(g + n)

где a > 0, b > 0, g >0.

Ответ: ряд сходится при g - a - b > 0

и расходится при g - a - b £ 0.

∞	∞
14. Пусть ряд ∑ an	сходится (an ³ 0) . Доказать, что ряд ∑ an2 тоже схо-
n=1	n=1

дится. Показать, что обратное утверждение неверно.

312

∞

15. Убедиться, что признак Даламбера неприменим к ряду ∑ an , где

2n−1

n=1

a2n−1 =

a2n =

, тогда как радикальный признак Коши показывает,

что этот ряд сходится.

∞

n +1

16.

Показать, что если ряд ∑ an

абсолютно сходится, то и ряд ∑

n=1

также абсолютно сходится.

17.

При каких значениях х сходится ряд

sin x + 2sin

+ 4sin

+ ... + 2n sin

+ ...

Ответ: −∞ < x < ∞ .

18. Определить область сходимости ряда ln x + ln2 x + ... + lnn x + ...

Ответ: 1 < x < e . e

19. Найти область сходимости ряда	1	+	1		+	1		+ ...
	1 + x2			1 + x4			1 + x6

Ответ: x >1.

20. Найти область сходимости функционального ряда

∞	(-1)n+1
∑			, x , x > −2 .
∑			, x , x > −2 .
n=1 n ×3n ( x + 2)n
			Ответ:
	∞	- x)n , 0 ≤ x ≤ 1.
21. Найти сумму ряда	∑ x (1	- x)n , 0 ≤ x ≤ 1.

n=1

-	17	, + ¥	.
	9

Ответ: S ( x) = 0,

если x = 0, x =1;

если 0 < x <1.

22. Найти сумму ряда

3x2

4x3

+ ..., если

< a .

a a2 a3

Ответ: (a - x)2 .

313

23.

Найти сумму ряда

+ ...,

если

−a ≤ x < a .

3a2

4a3

Ответ:

a ln a

− x .

a − x

24.

1× 2

2 ×3

x +

3 × 4

+ ...,

< a .

Найти сумму ряда

если

Ответ:

(a − x)3

25.

Найти сумму ряда

−2x + 4x3 − 6x5 + 8x7 − ... ,

если

< 1.

Ответ: −

(1 + x2 )2

26.

Функцию f ( x) = (1 + x)e− x − (1 − x)ex

разложить

в ряд Маклорена.

Пользуясь разложением, найти сумму ряда

+ ... +

+ ...

(2n + 1)!

2x5

nx2n+1

Ответ: 4

+ ... +

+ ...

(2n + 1)!

∞

27.

Показать, что для суммы ряда S ( x) = ∑

выполняется соотно-

шение S¢¢( x) = S ( x).

n=0

(2n)!

28.

В прямоугольном треугольнике катеты равны 1 и 5 см. Определить

острый угол треугольника, лежащий против меньшего катета, с точностью до 0,001 радиана.

	Ответ: α 0,197.
29.	Найти наименьшее положительное значение х, удовлетворяющие
тригонометрическому уравнению 2sin x − cos x = 0 .
	Ответ: 0,4636.
30.	Вычислить площадь овала x4 + y4 = 1 с точностью δ = 0,01.
	Ответ: 3,71.
31.	Вычислить длину одной полуволны синусоиды y = sin x с точностью

δ = 0,001.

Ответ: 3,821.

314

32. Фигура, ограниченная линией y = arctg x , осью абсцисс и прямой

x = 1 , вращается вокруг оси абсцисс. Вычислить объем тела вращения с

точностью до 0,001.

Ответ: 0,119.

33. Пользуясь разложением функций в ряд Маклорена, вычислить пределы:

		x + ln (				− x)
		x + ln (			1 + x2	− x)
а)	lim								.
а)	lim				x3				.
	x→0				x3
		2(tg x − sin x)					− x3
б)	lim							.
б)	lim				x5			.
	x→0				x5
в)	lim		1	− ctg2 x .
в)	lim			− ctg2 x .
	x→0	x2

Ответ: 1 ; 6

Ответ: 1 ; 4

Ответ: 2 ; 3

г)

lim

x − x2 ln

1 +

Ответ:

;

x→0

д)

lim

2 + cos x

−

Ответ:

x→0

x3 sin x

34. Дано уравнение

xy + ex = y . Пользуясь методом неопределенных ко-

эффициентов, найти разложение неизвестной функции в ряд Маклорена. Решить задачу, находя коэффициенты ряда Маклорена последовательным дифференцированием.

n−1

Ответ: 1 + 2x +

+ ... + 2

+ ... +

+ ...

2! 3!

(n −1)!

35. Дано уравнение y = ln (1 + x) − xy .

Пользуясь методом неопределен-

ных коэффициентов, найти разложение неизвестной функции в ряд Мак- лорена. Решить задачу, находя коэффициенты ряда Маклорена последова- тельным дифференцированием.

Ответ: x −	3	x2 +	11	x3 − ... + (−1)n+1	1 +	1	+	1	+ ... +	1	xn + ...

2		6				2	3			n

36. Найти явное выражение для у с помощью ряда Маклорена двумя спо- собами: методом неопределенных коэффициентов и последовательным дифференцированием:

315

а) y3 + xy = 1 (найти три члена разложения).

Ответ: 1 −

− ... ;

2sin x + sin y = x − y (найти два члена разложения).

б)

Ответ: −

5x3

− ...;

в)

ex − e y = xy (найти три члена разложения).

Ответ: x − x2 + 2x3 − ...

∞

37.

Показать, что функция

y = ∑

является решением дифференци-

ального уравнения y′ − xy = 0 .

n=0 2n n!

38.

Разложить в ряд Фурье

2ℓ-периодическую функцию

−2 ≤ x < 0,

f ( x) =

0 ≤ x < 1, ℓ = 3.

1 ≤ x ≤ 2.

2 − x,

−

∞

cos nπx

∞

(−1)n+1

(2n −1)πx

Ответ:

∑

sin

π2

(2n −1)2

n=1

39.

Воспользовавшись разложением

f(x) в ряд Фурье в указанном интер-

вале, найти сумму данного числового ряда:

f ( x) =

, (−π, π),

∞

а)

sin x

∑

Ответ:

n=1 4n2 −1

б) f ( x) = x , [0, π], по косинусам,

∞

Ответ: π

∑

(2n

−1)2

n=1

в)

г)

д)

−x,				−π ≤ x ≤ 0,
f ( x) = x	2		,	0 < x ≤ π.


π
f ( x) = π ,		(0, π),
4
f ( x) = cos x ,				0, π		,
					2

∞	3 − (−1)n					5π2
∑		.		Ответ:				.
	n2					12
n=1
∞	(−1)n−1					π
∑	.			Ответ: .
n=1	2n −1					4
∞	(−1)n				2 − π
n∑=1			.	Ответ:			.
	(2n −1)(2n + 1)					4

316

е) f ( x) = x(π − x) , (0, π), по синусам,

( ) −2x, −π ≤ x ≤ 0,

ж) f x = 3x, 0 < x ≤ π.

и) f ( x) = π2 − x2 , (−π, π),

к) f ( x) = xsin x , [−π, π],

л) f ( x) = x2 , (−π, π),

∞	(−1)n−1
∑						.
∑	(2n −1)3					.
n=1	(2n −1)3
∞	1 − (−1)n
∑						.
∑				n2		.
n=1				n2
∞	(−1)n+1				.
∑			n2		.
n=1			n2
∞	(−1)n
∑			.
n=1 n2 −1
∞	1
∑				.
∑		2		.
n=1 n		2
n=1 n

40. Исследовать на сходимость ряд с общим членом

Ответ: π3 .

		32
					π2
			Ответ: .
		4
					π2
			Ответ: .
		12
				Ответ:		1	.
				Ответ:			.
		4
					π2
			Ответ: .
		6
1

	n
	n		x dx
an = ∫			x dx		.
an = ∫					.
0		x2 + 1

Ответ: сходится.

317

		ГЛОССАРИЙ

Новые понятия				Содержание
1				2
1. Ряд	бесконечная сумма
2. Числовой ряд	выражение вида
	∞		= a1 + a2 + ... + an + ... , где a1, a2 ,…, an ,... -
	∑ an		= a1 + a2 + ... + an + ... , где a1, a2 ,…, an ,... -
	n=1
	последовательность чисел
3. Общий член ряда	выражение для an, чаще всего an = f(n)
4. n-ная частичная	сумма конечного числа				n первых членов ряда,
сумма	Sn = a1 + a2 + ... + an
5. Сумма ряда	конечный предел частичной суммы при n®¥,
	если он существует. S = lim Sn
				n→∞
6. Сходящийся ряд									∞
	ряд, имеющий конечную сумму S = ∑ an
									n=1
7. Расходящийся ряд	если предел частичной суммы не существует или
	бесконечен, то ряд называется расходящимся
8. Остаток ряда								∞
	rn = an+1 + an+2 + ... . Если ряд ∑ an								сходится
								n=1
	Û lim r = 0 .
		n→∞ n
9. Необходимый			∞		lim an = 0
признак сходимости	если ряд ∑ an сходится,				lim an = 0
признак сходимости			n=1				n→∞
			n=1
	(обратное утверждение неверно)
10. Достаточный при-			lim an ¹ 0	∞
знак расходимости	если		lim an ¹ 0	∑ an	расходится
знак расходимости			n→∞	n=1
				n=1
11. Ряды с положи-	∞
тельными членами	∑ an		( an ³ 0 )
	n=1
12. Признаки	1.				∞			(1)	∞	(2)
сравнения	1.	Пусть для		рядов ∑ a				(1)	и ∑b	(2)
сравнения						n			n
				n=1					n=1
	"n ³ n0 , an ³ bn . Тогда:
	если сходится ряд (1), то сходится и ряд (2);
	если расходится ряд (2), то расходится и ряд (1)
	2.	Если $ конечный lim				an	¹ 0 , то ряды (1) и
	2.	Если $ конечный lim					¹ 0 , то ряды (1) и
				n→∞ bn
	(2) сходятся или расходятся одновременно

318

13. Ряд Дирихле

∞

(обобщенный

∑

; если р > 1 сходится,

гармонический ряд)

n=1 n

если р ≤ 1 расходится

14. Гармонический ряд

∞

1 +

+ ... +

+ ... =

∑

– расходится

n=1 n

15. Признак

p = lim

an+1

Даламбера

n→∞ an

ряд сходится, если р < 1;

ряд расходится, если р > 1;

если

р = 1, вопрос о сходимости остается от-

крытым

16. Радикальный

p = lim n

признак Коши

n→∞

если р < 1, ряд сходится;

если р > 1, ряд расходится.

если

р = 1, вопрос о сходимости остается от-

крытым

17. Интегральный

∞

( an ³ 0 ) непрерывная и

признак Коши

Пусть для ряда ∑ an

n=1

монотонно убывающая на [a, +∞) ( a ³ 1) функ-

∞

ция f(x) такая, что f (n) = an . Тогда ряд ∑ an и

∞∫ f ( x)dx

n=1

сходятся

или расходятся

одновре-

менно

18. Знакопеременный

содержит как положительные, так и отрица-

ряд

тельные числа.

19. Абсолютная и ус-

∞

(1). То-

ловная сходимость

Пусть дан знакопеременный ряд ∑ a

n=1

∞

гда, если ряд ∑

(2) сходится, то сходится и

n=1

данный ряд (1), при этом он называется абсо-

лютно сходящимся. Если же ряд (2) расходит-

ся, а данный ряд (1) сходится, то он называется

условно сходящимся.

319

1				2
20. Знакочередующий-	∞	(−1)n−1 a , an>0 (у которого члены положи-
20. Знакочередующий-	∑	(−1)n−1 a , an>0 (у которого члены положи-
ся ряд	n=1			n
	n=1
	тельны, а знаки чередуются).

21. Теорема Лейбница	достаточный признак сходимости знакочере-
	дующихся рядов: если
	1)	a1 > a2 > a3 > ... ;
	2)			lim an = 0 ,
				n→∞
	то ряд сходится и его сумма 0 < S < a1 .

22. Функциональный	∞			( x) , члены которого u		( x) – некоторые
ряд	∑u		n	( x) , члены которого u	n	( x) – некоторые
ряд	n=1		n		n
	n=1
	функции от х.
	Его сумма S ( x) = lim Sn ( x)
				n→∞

23.Область сходимо- множество всех точек сходимости этого ряда.

сти функционального ряда

24.Степенной ряд функциональный ряд, составленный из степен-

ных функций, имеет вид

∞

C0 + C1x + C2 x2 + ... + Cn xn + ... = ∑ Cn xn .

n=0

25. Степенной ряд по

∞

( x − a)n .

степеням (х − а)

имеет вид ∑ C

n=0

26. Интервал

(-R, R), в каждой точке которого степенной ряд

сходимости

сходится

абсолютно.

На

концах

интервала

степенного ряда

(х=−R и х=R) ряд исследуется дополнительно.

27. Радиус сходимо-

число R из интервала (-R, R). Может быть най-

сти

ден по формулам:

R =

R = lim

n→∞

Cn+1

lim n

n→∞

28. Ряды Тейлора и

f ( x) = f (a ) + f ′(a )( x − a ) +

f ′′(a)

( x

− a )

Маклорена

f (n) (a)

+... +

( x − a)n + ... – ряд Тейлора;

320

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 3332 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20155.38 Mб53умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб54умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб62умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб42умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб52умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб100умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf