14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды
.pdfздесь Сп – коэффициент при хп степенного ряда
∞
C0 + C1x + C2 x2 + ... + Cn xn + ... = ∑ Cn xn .
n=0
Внутри интервала (-R, R) сходимость должна быть абсолютной. На концах интервала (при х = -R и х = R) получившийся числовой ряд ис- следуется дополнительно.
3. Обучающий пример 1. |
|
|
Найти область сходимости ряда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
(-1)n+1 |
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 ×5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. |
|
Cn |
= |
(-1)n+1 |
|
|
|
|
Cn |
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
, |
|
Cn+1 |
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 ×5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
× |
5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)3 ×5n+1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
C |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(n +1)3 ×5n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
R = lim |
|
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
5 lim |
|
|
|
= 5 . |
|
|
||||||||||||||||||
Cn+1 |
|
× |
5n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
n |
→∞ n3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ n3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Положим х = -5, имеем числовой ряд |
|
|
|
|
|
|
(-1)2n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
n+1 (-5)n |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
n+1 5n ×(-1)n |
|
|
|
∞ |
|
∞ |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
∑(-1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑(-1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
= -∑ |
|
|
|
, |
|
|||||||||||||||
|
|
|
n3 ×5n |
|
|
|
|
|
n3 ×5n |
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
n=1 n3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
который сходится как ряд Дирихле (р = 3 > 1). Значит, при х = -5 |
ряд аб- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
солютно сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
( |
-1) |
n+1 5n |
|
|
|
∞ |
(-1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Пусть |
х = 5, имеем ряд |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
. Ряд из его аб- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n3 × |
5n |
|
|
|
|
|
n3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
солютных величин |
|
∑ |
|
|
|
|
|
сходится (р = 3 > 1), поэтому при |
х = 5 сте- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
пенной ряд тоже сходится абсолютно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Итак, отрезок [– 5, 5] является областью сходимости данного ряда. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Обучающий пример 2. |
|
Исследовать сходимость ряда |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1!( x - 5) + 2!( x - 5)2 + 3!( x - 5)3 + ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cn = n!, |
||
Решение. |
Пусть |
|
Х = х - 5, имеем ряд |
|
∑ n!X n . Здесь |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cn+1 = (n +1)!, |
|
|
|
R = lim |
|
|
|
Cn |
|
= lim |
|
|
|
|
n! |
|
|
|
= lim |
|
1 |
|
|
= 0 . |
|
Ряд |
сходится |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Cn+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
→∞ |
|
|
|
n→∞ (n +1)! n→∞ n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
только при Х = 0, т.е. при х – 5 =0, |
|
х = 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
251
Обучающий пример 3. Исследовать сходимость ряда
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
x3 |
+ |
x6 |
+ |
x9 |
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
102 |
103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Решение. Ряд составлен из членов геометрической прогрессии со |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
знаменателем q = |
x3 |
. Как известно, он сходится, если |
|
q |
|
<1, и расходится, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
<10 |
|
|
|
|
|
< 3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
³1. Следовательно, |
|
|
|
|
|
<1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
если |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
10 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
10 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
-3 |
|
< x < 3 |
|
|
(-3 |
|
3 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
10 |
10 |
, т.е. |
10, |
10 |
|
|
– область сходимости данного ряда. |
4. Два студента у доски (параллельно) решают следующие примеры: Найти области сходимости степенных рядов:
а)
б)
в)
x - |
|
x2 |
+ ... + |
(-1)n+1 |
xn |
+ ... |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: (– 1, 1), |
при х = 1 |
ряд сходится условно; |
||||||||
ln 2 |
2 |
+ |
ln 3 |
|
3 |
+ ... |
ln (n +1) |
|
n+1 |
+ ... |
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||
2 |
|
|
3 |
|
|
|
n +1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: (– 1, 1), |
при х = -1 |
ряд сходится условно; |
||||||||
( x - 2) + |
1 |
( x - 2)2 + |
1 |
( x - 2)3 + ... |
Ответ: 1 ≤ x ≤ 3 . |
|||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
5. Заметим, что в формулах для нахождения радиуса сходимости Сп – это коэффициент при хп. Если же дан ряд по степеням, например, х2п, х2п+1 и других, то радиус сходимости может быть найден неверно (смотри соот- ветствующий пример в теоретической части модуля).
Обучающий пример 4 |
|
(решает преподаватель у доски). Ис- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
n(n−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
следовать сходимость ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение. |
|
Рассмотрим |
|
ряд |
|
из абсолютных |
|
|
величин и применим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
n(n−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
(n+1)n |
||||||||||||
признак Даламбера, полагая |
|
an |
|
= |
|
|
|
|
2 |
|
, |
|
|
|
|
an+1 |
|
= |
|
|
2 |
|
. Тогда |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)! |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(n+1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
|
£1, |
||||||||||||||
|
|
an+1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
|
||||||||||||
p = lim |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
× |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
an |
|
n→∞ (n |
+1)! |
|
|
|
|
|
|
n(n−1) |
|
|
n→∞ (n +1) |
|
|
|
¥ |
при |
x |
>1. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Итак, ряд сходится на отрезке [– 1, 1], |
где р = 0 < 1. |
|
|
|
|
|
|
|
252
Пример |
(решает студент у доски). Исследовать сходимость ряда |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
+1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
n |
|
|
( x - 2)2n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 2n +1 |
|
|
Ответ: (2 - |
|
|
|
|
). |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, 2 + |
|
2 |
|||||||||||
Обучающий пример 5 |
(решает преподаватель у доски). Найти |
|||||||||||||||||||||||
сумму ряда 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ..., |
продифференцировав |
|
почленно |
ряд |
||||||||||||||||||||
1 + x + x2 + x3 + ... ( |
|
x |
|
<1) . |
|
|
|
|
S = |
|
|
1 |
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. |
Последний ряд имеет сумму |
|
|
|
|
, т.е. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
- q |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 - x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 + x + x2 + x3 + ... = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд слева (как степенной ряд) мажорируем в интервале (-1, 1), поэтому его можно почленно дифференцировать
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 2x + 3x |
|
+ 4x |
|
+ ... = |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 - x)2 |
|||||
интервал сходимости при этом не изменяется, т.е. -1< x < 1. |
||||||||||||||
|
|
Пример |
(решает студент |
|
у доски). |
Найти сумму ряда |
||||||||
x + |
x2 |
|
+ |
x3 |
+ |
x4 |
+ ... , проинтегрировав почленно ряд |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x + x2 + x3 + ... ( x <1) .
Ответ: -ln (1 - x) .
Домашнее задание
1.Изучить по теоретической части модуля материал к следующему практическому занятию по теме «Ряды Тейлора и Маклорена и их прило- жения».
2.Решить следующие примеры.
Найти области сходимости степенных рядов:
а) |
x - |
|
x3 |
|
+ ... + (-1)n+1 |
x2n−1 |
|
|
|
|
+ ... |
|
Ответ: (– ¥, ¥); |
|||||
3 ×3! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(2n -1)(2n -1)! |
|
|
|
|||||||||
|
∞ |
2n × xn |
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
||||||||
б) |
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
Ответ: |
- |
|
, |
|
|
|
, при x = - |
|
условно сходится; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n=1 3n × |
n |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
253
|
∞ |
(−1)n |
( x − 2) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) |
∑ |
|
|
. |
Ответ: (0, 4), при х = 4 условно сходится; |
|||||||||||
2n |
|
|
|
|||||||||||||
|
n=1 |
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∞ |
(nx)n |
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
1 |
, при x = − |
1 |
|
|
г) |
∑ |
n! |
. |
|
|
|
|
Ответ: |
|
, |
|
|
|
условно сходится. |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
e |
e |
|
e |
|
Указание. При исследовании сходимости на концах интервала учесть, что факториалы больших чисел могут быть приближенно выраже- ны формулой Стирлинга
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
n! |
2πn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
д) |
|
Найти сумму ряда x + |
x3 |
+ |
x5 |
+ ..., проинтегрировав ряд 1 + x2 + x4 + ... |
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
( |
|
|
|
< 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
) |
= |
1 |
|
|
( |
|
|
|
< 1 . |
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: S |
x |
ln |
|
|
|
x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x −1 |
|
|
|
) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VI. Ряды Тейлора и Маклорена и их приложения
1. Преподаватель у доски выписывает ряды Тейлора и Маклорена,
формулу для остаточного члена, разложения в ряды функций ex , sin x , cos x, а также биномиальный ряд и его частные случаи.
f (a) + f ′(a)( x − a) + |
f |
′′ |
(a) |
( x − a)2 + ... + |
f |
(n) |
(a) |
( x − a)n + ... |
|
||||||||||||||||||||||||
|
(1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|||||
Rn ( x) = f (n+1) (C ) ( x − a)n+1 = f (n+1) (a + θ( x − a)) ( x − a)n+1 , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 1)! |
|
|||||||||||
где С находится между х и а, |
|
0 < θ < 1 (в форме Лагранжа). |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) |
|
|
|
|
|
f ( x) = f (0) + f ′(0) x + |
f |
(0) |
x2 |
+ ... + |
|
f (0) |
xn + ... |
(2) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2! |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
||||
ex = 1 + x + |
x2 |
+ ... + |
xn |
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−∞ < x < ∞) |
(3) |
||||||||||||||
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
sin x = x − |
x3 |
+ |
|
x5 |
|
− ... + ( |
−1)n+1 |
|
+ ... |
|
(−∞ < x < ∞) |
(4) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3! |
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n −1)! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
cos x = 1 − |
x2 |
|
+ |
x4 |
|
− ... + (−1)n |
x2n |
|
+ ... |
|
|
|
|
(−∞ < x < ∞) |
(5) |
||||||||||||||||||
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2! |
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
254
(1 + x)m = x + mx + |
m(m -1) |
x2 + |
m(m -1)(m - 2) |
x3 + ... + |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
m(m -1) ×...× (m - (n -1)) |
xn + ... |
|
(-1 < x <1) |
(6) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
=1 - x + x2 - x3 + ... + (-1)n xn + ... |
|
|
|
|
(-1 < x <1) |
(7) |
||||||||||||||||||||||||||
|
1 + x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
=1 + x + x2 + x3 + ... + xn + ... |
|
|
|
|
|
|
(-1 < x <1) |
(8) |
|||||||||||||||||||||||||
|
1 - x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
=1 + |
1 |
x - |
|
1 |
|
|
x2 + |
|
1×3 |
|
|
x3 - |
|
1×3 ×5 |
|
x4 + ... (-1 £ x £1) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 + x |
(9) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
× 4 |
|
|
× 4 × |
6 |
|
× 4 × 6 ×8 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
=1 - |
1 |
x + |
1×3 |
x2 - |
1×3 ×5 |
x3 + ... |
|
|
|
|
(-1 < x £1) (10) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 + x |
2 |
|
|
|
2 × 4 |
|
|
2 × 4 × 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ряд (6) называется биномиальным, на концах интервала сходимости |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
он ведет себя по разному: при т ³ 0 |
он абсолютно сходится в точках |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
х = ± 1; при |
|
|
-1< m < 0 |
расходится в точке |
|
х = -1 |
|
и условно сходится в |
||||||||||||||||||||||||||||
точке х = 1; |
|
при т £ -1 |
расходится в точках х = ±1. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
В теоретической части модуля показано, что для всех этих рядов |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim Rn ( x) = 0 в области сходимости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2. Преподаватель у доски решает |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Обучающий пример 1. |
Разложить функцию f ( x) = sin 2x в ряд |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тейлора по степеням |
x - p |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1) решим сначала этот пример, используя формулу (1). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
a = π , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (a) |
= f p |
= sin p =1; |
|
|||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||
f ¢( x) = 2cos 2x , |
|
|
|
|
|
|
|
f ¢(0) = 2cos π = 0 ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
f ¢¢( x) = -22 sin 2x , |
|
|
|
f ¢¢(0) = -22 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
f ¢¢¢( x) = -23 cos 2x , |
|
|
|
f ¢¢¢(0) = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
f IY ( x) = 24 sin 2x , |
|
|
|
f IY (0) = 24 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
…………………………………….. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
255
Имеем
|
22 |
|
|
π 2 |
|
|
24 |
π 4 |
|
|
|
n |
22n |
π 2n |
|||||
sin 2x = 1 − |
|
|
x − |
|
+ |
|
|
|
x − |
− ... + (−1) |
|
|
x − |
|
+ ...; |
||||
2! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
4! |
4 |
|
|
|
|
(2n)! |
4 |
|
|||||
2) решим этот пример, используя известное разложение cos x в ряд |
|||||||||||||||||||
Маклорена. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2x = sin 2 |
|
π |
+ |
π |
|
|
|
|
− |
π |
π |
|
|
|
π |
|
|||
x − |
|
|
|
= sin |
2 x |
+ |
|
= cos 2 x − |
. |
||||||||||
|
|
|
|
4 4 |
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
4 |
|
cos x = 1 − |
x2 |
|
+ |
x4 |
|
− ... + (−1)n |
x2n |
|
+ ... |
(−∞ < x < ∞). |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2! |
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Пусть x = 2 x − π |
в левой и правой части этого равенства, тогда |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2x = cos 2 x − π = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 1 − |
22 |
x − π 2 |
+ |
24 |
x − π 4 − ... + (−1)n |
22n |
x − π |
2n + ... , |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2! |
4 |
|
4! |
4 |
|
|
|
(2n)! |
4 |
|
|||||||||||||||
причем −∞ < 2 x − π < ∞ −∞ < x < ∞, |
т.е. область сходимости не из- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
менилась. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Два студента у доски (параллельно) решают: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Пример 1. |
Разложить функцию |
|
y = ln x в ряд Тейлора в окрест- |
|||||||||||||||||||||||
ности точки х0 = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: ln x = ( x −1) − ( x −1)2 |
+ ( x −1)3 |
− ... + (−1)n+1 ( x −1)n |
+ ... |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
Пример 2 . Разложить в ряд Маклорена f ( x) = ch x . |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x4 |
|
x2n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: ch x = 1 + |
|
+ |
|
+ ... + |
|
+ ... |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
4! |
(2n)! |
Пример 3 . Найти первые пять членов ряда Маклорена функции
y = ecos x .
Ответ: e 1 − |
x2 |
|
|
||
|
2 |
|
|
||
|
+ x4 −
... .
6 |
|
|
256
Пример 4 . Используя |
известные разложения, разложить |
в |
ряд |
|||||||||||||||||||
Маклорена функцию y = cos2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Указание. cos2 x = |
1 |
(1 + cos 2x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(2x) |
4 |
|
|
(-1) |
n+1 2 |
2n−1 |
× x |
2n |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: |
|
- |
2 × 4! + ... + |
|
|
|
(2n)! |
|
|
+ |
||||||||||||
1 - x |
|
|
|
|
|
... . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Решить самостоятельно следующие примеры: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Пример 1 . Разложить функцию |
y = sin πx |
в ряд Тейлора в окре- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стности точки х0 = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
( x - 2)2 |
+ ... + (-1) |
n+1 |
p 2n−2 ( x - 2)2n−2 |
+ ... |
|||||||||||||||||
Ответ: 1 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n - 2)! |
||||||||||
|
4 |
2! |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 2 . Разложить в ряд Маклорена функцию |
f ( x) = sh x . |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
x5 |
|
|
|
|
x2n−1 |
|
||||
|
|
|
Ответ: sh x = x + |
|
+ |
|
|
+ ... + |
|
+ ... |
||||||||||||
|
|
|
3! |
|
5! |
(2n -1)! |
Пример 3 . Найти первые пять членов ряда Маклорена функции y = ex ×sin x .
|
Ответ: x + x2 + |
2x3 |
- |
4x5 |
|
+ ... |
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
3! |
5! |
|
|
|
|||
Пример 4 . Используя известные разложения, разложить в степен- |
||||||||||||
ной ряд по степеням х функцию y = ( x - tg x)cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ответ: - |
2x3 |
+ |
4x5 |
|
- ... + (-1)n |
2nx2n+1 |
|
+ ... |
||||
|
|
(2n +1)! |
||||||||||
3! |
5! |
|
|
|
|
5. Как уже было показано ранее, для разложения функций в степен-
ные ряды можно использовать известные разложения и теоремы о почлен- ном дифференцировании и интегрировании степенных рядов.
Обучающий пример 1. Разложить в ряд Маклорена y = ln (10 + x).
257
|
|
|
|
|
|
ln (10 + x) |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Решение. |
|
= ln10 1 |
+ |
|
|
= ln10 + ln 1 |
+ |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
10 |
10 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Используем ряд (7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
=1 - x + x2 - x3 + ... + (-1)n xn + ... |
|
|
(-1 < x <1) . |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 + x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Положим |
x = |
x |
, тогда |
|
1 |
|
|
=1 - |
x |
+ |
|
x 2 |
- ... + (-1)n |
x |
n |
+ ... |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
102 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
1 + |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10n |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 < |
|
|
<1 |
|
-10 < x <10 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Интегрируя последний ряд, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x2 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
(-1) |
n |
|
|
xn+1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
10ln 1 + |
|
|
|
= x - |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
- ... + |
|
|
|
|
|
|
|
+ ... |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
10 |
10 × 2 |
|
|
|
|
|
|
10n (n +1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
102 ×3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(интервал сходимости (– 10, 10) при этом не меняется). Таким образом,
ln (10 + x) = ln10 + |
x |
- |
|
x2 |
+ |
x3 |
|
- ... + (-1)n |
xn+1 |
+ ... |
|
|
|
|
10n+1 (n +1) |
||||||
10 |
|
102 × 2 103 ×3 |
|
|
(–10 < x < 10).
6.Студент у доски решает
Пример 1. Разложить в ряд Маклорена arctg x.
Ответ: x - x3 + x5 - x7 + ...
3 5 7
7. Так как приложение рядов Тейлора и Маклорена к приближенно- му вычислению значений функции и определенных интегралов достаточно подробно (с соответствующими примерами) освещено в теоретической части модуля, остановимся только на применении степенных рядов к на- хождению приближенных решений дифференциальных уравнений.
Обучающий пример 1 (решает преподаватель у доски). Найти пять первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциаль-
ного уравнения y¢ = x2 + y2 , если у(1) = 1.
258
Решение. Решение ищем в виде ряда Тейлора
y = y (1) + y¢(1) ( x -1) + y¢¢(1) ( x -1)2 + y¢¢¢(1) ( x -1)3 + ...
1! |
|
2! |
|
|
3! |
|
|
|||||
По условию у(1) = 1, из самого уравнения |
y¢(1) =12 +12 = 2 . Диф- |
|||||||||||
ференцируя исходное уравнение, получаем |
|
|
||||||||||
y′′ = 2x + 2 y × y′ , |
|
|
|
|
|
y′′(1) = 2 ×1 + 2 ×1× 2 = 6 , |
||||||
y¢¢¢ = 2 + 2 y¢2 + 2 yy¢¢ , |
|
|
|
|
|
y′′′(1) = 22 , |
|
|
||||
yIY = 4 y¢× y¢¢ + 2 y¢y¢¢ + 2 y × y¢¢¢, |
|
|
|
|
|
yIY (1) =116 |
|
и т.д. |
||||
В результате, частное решение найдено в виде |
|
|
||||||||||
y ( x) =1 + 2( x -1) + |
6( x -1)2 |
+ |
22 |
( x -1)3 + |
116 |
( x -1)4 + ... = |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
6 |
24 |
|
||||||||
=1 + 2( x -1) + 3( x -1)2 + |
11 |
( x -1)3 + |
29 |
( x -1)4 + ... |
||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
6 |
|
|
|
8. Два студента у доски (параллельно) решают
Пример 1. Найти первых шесть членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения y¢¢ - (1 + x2 ) y = 0 , y (0) = -2 ,
y′(0) = 2 .
Ответ: y = -2 + 2x - x2 + 1 x3 - 1 x4 + 7 x5 + ...
3 4 60
Домашнее задание
1. Найти первые пять членов ряда Маклорена функции y = ln (1 + ex ).
|
|
|
|
|
|
Ответ: ln 2 + |
x |
+ |
x2 |
- |
x4 |
+ ... |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
192 |
|
||||
2. Разложить функцию y = |
1 |
в ряд Тейлора в окрестности точки х = 3. |
||||||||||||
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: |
1 |
- |
x - 3 |
+ ( x - 3)2 |
- ... + (-1)n+1 ( x - 3)n−1 |
+ ... |
||||||||
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
9 |
27 |
|
|
|
|
3n |
|
259
3. |
Пользуясь известными формулами разложения в ряд Маклорена, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
разложить в окрестности а = 0, следующие функции: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
y = e2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2x)2 |
|
|
(2x)n−1 |
|
|
|
|||||||||||||
а) |
Ответ: 1 + 2x + |
2! |
|
+ |
... + (n -1)! + ... ; |
|
||||||||||||||||||||||||||
б) |
y = sin |
x |
. |
Ответ: |
x |
- |
|
x3 |
|
|
|
+ ... + (-1)n+1 |
|
|
x2n−1 |
|
+ ... ; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22n−1 ×(2n -1)! |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
23 ×3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
в) |
y = x ln (1 + x) . |
Ответ: x2 - |
x3 |
|
+ ... + |
|
(-1)n+1 |
xn+1 |
+ ...; |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Функцию y = ln (x + |
|
|
|
) разложить в ряд Маклорена исходя |
|||||||||||||||||||||||||||
г) |
1 + x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
из соотношения ln (x + |
1 + x2 ) = ∫ |
|
|
|
|
|
и указать интервал сходимости |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 + x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
полученного ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Ответ: x - |
1 |
|
x3 |
+ |
1×3 |
|
x5 |
|
- ... |
(-1 £ x £1) . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
2 × 4 5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
4. |
Вычислить приближенное |
|
значение |
определенного |
интеграла, |
взяв три члена разложения подынтегральной функции в ряд, указать по-
π
|
3 cos x |
||
грешность вычислений |
∫ |
|
dx . |
|
|||
|
π |
x |
|
|
6 |
|
|
Ответ: 0,3230; |
погрешность d = 0,0001. |
||||||||
5. Найти первые пять членов разложения решения дифференциаль- |
|||||||||
ного уравнения в степенной ряд: y′′ = y cos x + x , |
y (0) =1, |
y′(0) = 0 . |
|
||||||
Ответ: y ( x) =1 + |
x2 |
+ |
x3 |
+ |
x5 |
- |
5x6 |
+ ... |
|
|
|
|
|
||||||
|
2! |
3! |
5! |
6! |
|
6. Подготовиться к выполнению контрольной работы на следующем практическом занятии.
VII. Контрольная работа по теме « Ряды»
Студенты в обязательном порядке выполняют соответствующий вари- ант I уровня теста, каждая задача оценивается в 1 балл. По желанию можно решать задачи II уровня (каждая по 2 балла) и III уровня (3 – 5 баллов).
260