Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды

.pdf

Скачиваний:

100

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3331 32 33 > Следующая >>>

Вариант 16

1.Разложить в ряд Маклорена функцию f(x), указать область сходимо-

сти f ( x) = sin 3x . x

∞	(-1)n−1 ×32n−1		x	< ¥, x ¹ 0 .
Ответ: ∑		x2n−2 ,
n=1	(	2n -1)!

2. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью d, используя разложение в степенной ряд соответствующим образом по-

добранной функции 3e , d = 0,00001.

Ответ: 1,3956. 3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.

0,4		−	x
0,4		−
∫	xe 4 dx .
0

Ответ: 0,159. 4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения диффе- ренциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

y′ = x2 + 2 y2 , y (0) = 0,2 .

Ответ: y = 0,2 + 0,08x + 0,032x2 + ...

5. Методом последовательного дифференцирования найти первые k членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравне- ния при указанных начальных условиях.

′	= x	2	+ 0, 2 y	2	, y (0) = 0,1, k = 3.
y

Ответ: y = 0,1 + 0,002x + 0,00004x2 + ...

6.Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ω = 2π ) функцию

f(х), заданную на отрезке [-p; p] .

f ( x) = 3x + 2, -p £ x £ 0,

0 < x £ p.

Ответ:

4 − 3π

∞

cos((2k −1) x)

3π − 4

∞

sin (2kx)

f ( x) =

∑

sin ((2k −1) x)

− 3∑

π k =1

(2k −1)2

k =1

2k −1

k =1

301

Вариант 17

1.Разложить в ряд Тейлора функцию f(x) в окрестности указанной точ-

ки х0. Найти его область сходимости.	f ( x) =	1	,	x		= −2 .
ки х0. Найти его область сходимости.	f ( x) =		,	x		= −2 .
		x		0
		x
	Ответ: −		1	∞	( x + 2)n		, −4 < x < 0 .
				∑		2n
				∑
			2 n=0

2. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью δ, используя разложение в степенной ряд соответствующим образом по- добранной функции sin 1°, δ = 0,0001.

Ответ: 0,0175. 3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.

0,5 +

∫ 1 cos x dx .

0,3 x2

Ответ: 2,568. 4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения диффе- ренциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

y′ = x2 + xy + y2 , y (0) = 0,5 .

Ответ: y = 0,5 + 0, 25x + 0,375x2 + ...

y′′ = y′2 + xy , y (0) = 4 , y′(0) = −2 , k = 5.

Ответ: y = 4 − 2x + 2x2 − 2x3 + 19 x4 + ...

6.Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ω = 2π ) функцию

f(х), заданную на отрезке [−π; π] .


					f ( x) =	0,		−π ≤ x < 0,
					4 − 2x,			0 ≤ x ≤ π.
	4 − π		4	∞	cos((2k −1) x)		2(4 − π)		∞
f ( x) =		+		∑		+			∑	sin ((2k −1) x)
					(2k −1)2
2			π k =1					π	k =1		2k −1

Ответ:

∞sin (2kx)

+2 ∑ 2kk =1

302

Вариант 18

1.Разложить в ряд Тейлора функцию f(x) в окрестности указанной точ-

ки х0. Найти его область сходимости. f ( x) =	1	, x0	= −2 .

	x + 3
	∞		+ 2)n , −3 < x < −1.
Ответ: ∑ (−1)n ( x

n=0

2. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью δ, используя разложение в степенной ряд соответствующим образом по-

добранной функции. 38,36 , δ = 0,001.

Ответ: 2,030. 3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.

0,5 2

∫ arctg x dx .

0 x2

Ответ: 0,498. 4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения диффе- ренциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

y′ = esin x + x , y (0) = 0 .

Ответ: y = x + x2 + 1 x3 + ...

y′ = xy + y2 , y (0) = 0,1, k = 3.

Ответ: y = 0,1 + 0,01x + 0,051x2 + ...

6.Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ω = 2π ) функцию

f(х), заданную на отрезке [−π; π] .

	π
f ( x) = x	+ 2	,	−π ≤ x ≤ 0,
	0,		0 < x ≤ π.
	f ( x) =			2	∞	cos((2k −1) x)	∞	sin (2kx)
Ответ:				2	∑	cos((2k −1) x)	− ∑	sin (2kx)	.
Ответ:					∑	(2k −1)2	− ∑		.
				π k =1		(2k −1)2	k =1	2k

303

Вариант 19

1.Разложить в ряд Тейлора функцию f(x) в окрестности указанной точ-

ки х0. Найти его область сходимости. f ( x) = ex , x = 1.
0
∞	( x −1)n	x	< ∞ .
Ответ: e ∑	,	x	< ∞ .
n=0	n!
n=0	n!

добранной функции. ln 10, δ = 0,0001.

Ответ: 2,3026. 3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.

0,8∫ 1 − cos x dx .

0 x

Ответ: 0,156. 4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения диффе- ренциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

y′ = xy − y2 , y (0) = 0,2 .

Ответ: y = 0, 2 − 0,04x + 0,108x2 + ...

y′′ = e y sin y′ , y (π) = 1, y′(π) = π , k = 3. 2

Ответ: y = 1 + π ( x − π) + e ( x − π)2 + ...

2 2

6.Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ω = 2π ) функцию

f(х), заданную на отрезке [−π; π] .

					f ( x) =	0,		−π ≤ x < 0,
					6x − 5,			0 ≤ x ≤ π.
	3π − 5		12	∞	cos((2k −1) x)		2(3π − 5)		∞		((2k −1) x)
f ( x) =		−		∑		+			∑	sin
					(2k −1)2						2k −1
2			π k =1					π	k =1

	Ответ:
∞	sin (2kx)
− 6∑		.
− 6∑	2k	.
k =1	2k

304

Вариант 20

1.Разложить в ряд Тейлора функцию f(x) в окрестности указанной точ-

ки х0. Найти его область сходимости.		f ( x) =			1		, x0 = 3.

				2x + 5
	1	∞	(−1)n		2	n		( x − 3)n , −	5	< x <	17
Ответ:		∑										.

11 n=0				11				2		2

добранной функции. arcsin 1 , δ = 0,001. 3

Ответ: 0,340. 3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.

∫sin x2dx .

Ответ: 0,310. 4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения диффе- ренциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

y′ = 2x + y2 + ex , y (0) = 1.

Ответ: y = 1 + 2x + 3,5x2 + ...

y′ = 0, 2x + y2 , y (0) = 1 , k = 3.

Ответ: y = 1 + x + 1,1x2 + ...

6.Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ω = 2π ) функцию

f(х), заданную на отрезке [−π; π] .

f ( x) = 7 − 3x, −π ≤ x ≤ 0,

0 < x ≤ π.

3π + 14

∞

cos((2k −1) x)

3π

∞

f ( x) =

−

∑

−

∑

sin ((2k −1) x)

(2k −1)2

π k =1

k =1

2k −1

	Ответ:
∞	sin (2kx)
+ 3∑		.
+ 3∑	2k	.
k =1	2k

305

Вариант 21

1.Разложить в ряд Тейлора функцию f(x) в окрестности указанной точ-

ки х0. Найти его область сходимости.

f ( x) =

x0 = 1.

( x −

3)2

∞

n + 1

( x −1)

−1 < x < 3.

Ответ:

∑

4 n=0

2. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью δ, используя разложение в степенной ряд соответствующим образом по- добранной функции. lg 7, δ = 0,001.

Ответ: 0,8451. 3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.

0,1∫ ln (1 + x) dx . 0 x

Ответ: 0,098. 4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения диффе- ренциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

y′ = xsin x − y2 , y (0) = 1.

Ответ: y = 1 − x + x2 + ...


y′′ = x2 + y2 , y (−1) = 2 , y′(−1) = 0,5 ,					k = 4.
Ответ: y = 2 +	1	( x + 1) +	5	( x + 1)2 +		15	( x + 1)4 + ...

2		2			16

6.Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ω = 2π ) функцию

f(х), заданную на отрезке [−π; π] .

−π ≤ x < 0,

f ( x) =

−

0 ≤ x ≤ π.

cos((2k −1) x)

sin (2kx)

f ( x)

∞

Ответ:

∑

(2k −1)2

π k =1

2 k =1

306

Вариант 22

1.Разложить в ряд Тейлора функцию f(x) в окрестности указанной точ-

ки х0. Найти его область сходимости. f ( x) = sin		πx ,			x	= 2 .
			4		0
			4	π 2n ( x − 2)2n
∞	(−1)		n				x	< ∞ .
∞			n
Ответ: ∑						,
n=0				4		(2n)!
n=0				4		(2n)!

добранной функции. e , δ = 0,0001.

Ответ: 1,6487. 3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.

∫cos 3 x dx .

Ответ: 0,718. 4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения диффе- ренциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

y′ = 2x2 − xy , y (0) = 0 .

Ответ: y = 4 x3 − 16 x5 + 96 x7 − ...

3! 5! 7!

y′ = x2 + xy + e− x , y (0) = 0 , k = 3.
Ответ: y = x −	x2	+	5x3	+ ...

2!		3!

6. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ω = 2π ) функцию f(х), заданную на отрезке [−π; π] .


					f ( x) = 6x − 2, −π ≤ x ≤ 0,
						0,	0 < x ≤ π.
	3π + 2		12	∞	cos((2k −1) x)		2(3π + 2)	∞
f ( x) = −		+		∑		+		∑	sin ((2k −1) x)
					(2k −1)2		π
2			π k =1					k =1		2k −1

	Ответ:
∞	sin (2kx)
− 6∑		.
− 6∑	2k	.
k =1	2k

307

Вариант 23

1.Разложить в ряд Тейлора функцию f(x) в окрестности указанной точ-

ки х0. Найти его область сходимости. f ( x) = ln (5x + 3) ,		x	=	2	.
ки х0. Найти его область сходимости. f ( x) = ln (5x + 3) ,		x	=		.
		0	5
	(−1)n−1		5
∞	(−1)n−1	2 n				3		7
Ответ: ln 5 + ∑	x −		, −				< x ≤		.
Ответ: ln 5 + ∑	x −		, −				< x ≤		.
n=1	n	5				5		5

2. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью δ, используя разложение в степенной ряд соответствующим образом по- добранной функции. cos 10°, δ = 0,0001.

Ответ: 0,9848. 3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.

∫ x sin x dx .

Ответ: 0,364. 4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения диффе- ренциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

y′ = x − 2 y2 , y (0) = 0,5 .

Ответ: y = 0,5 − 0,5x + x2 + ...

y′ = 1 − x2 +1, y (0) = 1 , k = 5. y

Ответ: y = 1 + 2x − x2 + 4 x3 − 17 x4 + ...

3 19 6. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ω = 2π ) функцию f(х), заданную на отрезке [−π; π] .

f ( x) = 0,	−π ≤ x < 0,
4 − 9x,	0 ≤ x ≤ π.

f ( x) = 8 − 9π + 18 ∑ cos((2k −1) x)				+ 8 − 9π ∑ sin ((2k −1) x)
		∞				∞
4	π	k =1	(2k −1)2		π	k =1	2k −1

	Ответ:
∞	sin (2kx)
+ 9 ∑		.

k =1	2k

308

Вариант 24

1.Разложить в ряд Тейлора функцию f(x) в окрестности указанной точ-

ки х0. Найти его область сходимости. f ( x) = ln			1	,	x0 = 1;
	x2 −
			2x + 2
∞		(−1)n			2n	, 0	≤ x ≤ 2 .
Ответ: ∑		n	( x −1)
n=1

добранной функции.	1		,	δ = 0,001.
	3
		30

Ответ: 0,322. 3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.

25	e	−2 x2
∫	e			dx .



0			x
0

Ответ: 0,976. 4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения диффе- ренциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

y′ = xex + 2 y2 , y (0) = 0 .

Ответ: y = 1 x2 + 1 x3 + 1 x4 + ...

2	3	8
5. Методом последовательного дифференцирования	найти	первые k

членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравне- ния при указанных начальных условиях.

y′′ + y = 0 , y (0) = 0 , y′(0) = 1, k = 3.
Ответ: y = x −	x3	+	x5	+ ...

3!		5!

6. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ω = 2π ) функцию

f(х), заданную на отрезке

[−π; π] .

− 3,

−π ≤ x ≤ 0,

f ( x) =

0 < x ≤ π.

f ( x) = − π + 18 +

2 ∑ cos((2k −1) x) + 18 + π ∑ sin ((2k −1) x)

Ответ:

− 1 ∑ sin (2kx) .

∞

3π

k =1

(2k −1)2

3π

k =1

2k −1

3 k =1 2k

309

Вариант 25

1.Разложить в ряд Тейлора функцию f(x) в окрестности указанной точ-

ки х0. Найти его область сходимости.

f ( x) =

, x0

= −3;

+ x

∞

(-1)n ×1×3 ×...×(2n -1)

( x +

−4

< x ≤ −2 .

Ответ: 1 + ∑

2 × 4 ×... ×(2n)

n=1

добранной функции. 10 1080 , d = 0,001.

Ответ: 2,031. 3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.

1x2

∫cos dx . 4

Ответ: 0,994. 4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения диффе- ренциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

y′ = xy + x2 + y2 , y (0) =1.

Ответ: y =1 + x + 3 x2 + ...

y′′ = y cos y′ + x , y (0) =1 , y¢(0) = π , k = 3. 3

Ответ: y = 1 + π x + 1 x2 + ...

3 4 6. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ω = 2π ) функцию f(х), заданную на отрезке [-p; p] .

f ( x) =

-p £ x < 0,

10x - 3,

0 £ x £ p.

Ответ:

5π − 3

∞

cos((2k −1) x)

(5π − 3)

∞

sin (2kx)

f ( x) =

−

∑

sin ((2k −1) x)

−10 ∑

(2k −1)2

π k =1

k =1

2k −1

k =1

310

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3331 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20155.38 Mб53умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб54умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб62умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб42умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб52умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб100умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf