Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3316 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Вариант 13

1. Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции y = ϕ( x) при x = x0 с точностью до двух знаков после запятой

y′′ = arctg x ,

= 1, y (0) = y′(0) = 0 .

Ответ: 0,15.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

y¢

понижение порядка, xy¢¢ = y¢ln

Ответ: y =

eC1x+1 -

eC1x+1 + C2 .

C12

Найти общее решение дифференциального уравнения

а) 9 y′′ + 6 y′ + y = 0 ;

б) y′′ − 4 y′ − 21y = 0 ;

в) y′′ + y = 0 .

Найти общее решение дифференциального уравнения

y¢¢ - 8 y¢ +12 y = 36x4 - 96x3 + 24x2 +16x - 2 .

Ответ: y = C e2 x

+ C

e6 x + 3x4 - x2 .

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′ - 6 y′ + 25 y = (32x -12)sin 3x + (12 - 36x)cos3x ,

y (0) = 4 ,

y′(0) = 0 .

Ответ: y = e3x (4cos 4x - 3sin 4x) + 2x sin 3x .

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′′ − 2 y′′ + 9 y′ −18 y = 0 ,

y (0) = -2,5 , y′(0) = 0 ,

y′′(0) = 0 .

Ответ: y = -

e2 x -

cos3x +

sin 3x .

7. Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных

постоянных

y′′ + 4 y = ctg 2x .

Ответ: y = C cos 2x + C

sin 2x +

sin 2x × ln

tg x

8. Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:

а) сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;

б) с помощью характеристического уравнения.

x¢ = 8x - 3y,

y¢ = 2x + y.

x = C e2t + C

e7t ,

Ответ:

y = 2C e2t

C e7t .

3 2

151

Вариант 14

y¢¢ = tg x ×

, x = π , y

(0) =

, y′(0) = 0 .

cos2 x

Ответ: -0,39.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

понижение порядка,

xy′′ + y′ = ln x .

Ответ: y = ( x + C1 )ln x - 2x + C2 .

Найти общее решение дифференциального уравнения

а) 2 y′′ + 3y′ + y = 0 ;

б) y′′ + 4 y′ + 8 y = 0 ;

в) y′′ − 6 y′ + 9 y = 0 .

Найти общее решение дифференциального уравнения

y¢¢ + 8 y¢ + 25 y =18e5x .

Ответ: y = e−4 x (C cos3x + C

sin 3x) +

e5x .

Найти частное решение дифференциального уравнения

y¢¢ + 25 y = ex (cos5x -10sin 5x),

y (0) = 3,

y′(0) = -4 .

Ответ: y = 2cos5x - sin 5x + ex cos5x .

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′′ + 9 y′ = 0 ,

y (0) = 0 ,

y′(0) = 9 , y′′(0) = -18 .

Ответ: y = −2 + 2cos3x + 3sin 3x .

7. Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных

постоянных		y′′ + y = ctg x .
									x
		Ответ: y = C cos x + C sin x + sin x × ln				tg			x	.
		Ответ: y = C cos x + C sin x + sin x × ln				tg				.
		1	2					2
8. Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:
а)	сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;
б)	с помощью характеристического уравнения.
		x¢ = 3x + y,
		y¢ = x + 3y.
			x = C e2t		+ C		e4t ,
			Ответ:	1	2
			Ответ:					e4t .
			y = -C e2t + C					e4t .
				1			2

152

Вариант 15

1. Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить значение полученной функции y = ϕ( x) при x = x0 с точностью до двух знаков после запятой.

	y′′′ = e	x		x = 2 , y (0) = 8 , y′(0) = 5,			y′′(0) = 2 .
			+ 1,
		2	+ 1,
				0
								Ответ: 25,08.
2.	Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего
понижение порядка,				y′′ tg x = y′ + 1.
						Ответ: y = −C1 cos x − x + C2 .
3.	Найти общее решение дифференциального уравнения
	а) y′′ −10 y′ + 21y = 0 ; б) y′′ − 2 y′ + 2 y = 0 ;						в) y′′ + 4 y′ = 0 .
4.	Найти общее решение дифференциального уравнения
				y′′ − 9 y′ + 20 y = 126e−2 x .
						Ответ: y = C e4 x		+ C	e5x + 3e−2 x .
							1	2
5.	Найти частное решение дифференциального уравнения
	y′′ + 2 y′ + 5 y = −8e− x sin 2x , y (0) = 2 ,						y′(0) = 6 .
				Ответ: y = e− x (2cos 2x + 3sin 2x) + 2xe− x cos 2x .
6.	Найти частное решение дифференциального уравнения
	y′′′ −13y′′ + 12 y′ = 0 , y (0) = 0 , y′(0) = 1, y′′(0) = 133 .
						Ответ: y = 10 −11ex + e12 x .
7.	Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных
постоянных				y′′ − 2 y′ + y =	ex	.
постоянных				y′′ − 2 y′ + y =		.
					x

	Ответ: y = (−x + C )ex + (ln x + C					2	) xex
	1					2
8. Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:
а)	сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;
б)	с помощью характеристического уравнения.
	x′ = 2x + 3y,

	y′ = 5x + 4 y.
	x = C e−t		+ C		e7t ,
	Ответ:	1	2
	Ответ:			5
	y = −C e−t +			5		C		e7t
	y = −C e−t +					C		e7t
		1	3				2
			3

153

Вариант 16

y′′ =

, x0 = −

, y (0) =

, y′(0) = −

e2 x

Ответ: 0,34.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

понижение порядка,

y′′ + 2xy′2 = 0 .

Ответ: y =

arctg

+ C

Найти общее решение дифференциального уравнения

а) y′′ + 6 y′ = 0 ;

б) y′′ + 10 y′ + 29 y = 0 ;

в) y′′ − 8 y′ + 7 y = 0 .

Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′ + 36 y = 36 + 66x − 36x3 .

Ответ: y = C cos 6x + C

sin 6x − x3

+ 2x + 1.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′ −10 y′ + 25 y = e5x , y (0) = 1, y′(0) = 0 .

Ответ: y = e5x − 5xe5x +

x2e5x .

Найти частное решение дифференциального уравнения

yIY − 5 y′′ + 4 y = 0 ,

y (0) = −2 ,

y′(0) = 1, y′′(0) = 2 , y′′′(0) = 0 .

Ответ: y = −ex −

e− x +

e2 x +

e−2 x .

7. Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных

постоянных		y′′ + 2 y′ + y =	e− x	.
постоянных		y′′ + 2 y′ + y =		.
			x
		Ответ: y = (−x + C )e− x + (ln x + C							2	) xe− x
		1							2
8. Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:
а)	сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;
б)	с помощью характеристического уравнения.
		x′ = x + 2 y,

		y′ = 3x + 6 y.
				x = C + C				e7t ,
				Ответ:	1		2
				Ответ:		1
				y = −		1	C + 3C				e7t
				y = −			C + 3C				e7t
					2		1			2

154

Вариант 17

y′′ = sin

2 3x , x

, y (0) = − π2

y′(0) = 0 .

Ответ: -0,01.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

понижение порядка,

′ ′′

= y

′2

+ 1.

2xy y

Ответ: y =

(C x −1)

+ C

3C1

Найти общее решение дифференциального уравнения

а) y′′ + 25 y = 0 ;

б) y′′ + 6 y′ + 9 y = 0 ;

в) y′′ + 2 y′ + 2 y = 0 .

Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′ + y = 4cos x + 2sin x .

Ответ: y = C1 cos x + C2 sin x − x (cos x − 2sin x) .

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′ + y′ −12 y = (16x + 26)e4 x , y (0) = 3, y′(0) = 5.

Ответ: y = e3x + e−4 x + (2x + 1)e4 x .

Найти частное решение дифференциального уравнения

yIY −10 y′′ + 9 y = 0 , y (0) = 0 ,

y′(0) = 0 , y′′(0) = 8 , y′′′(0) = 24 .

Ответ: y = −2ex + e− x + e3x .

7. Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных

постоянных

y′′ + y =

cos x

Ответ: y = (ln

cos x

+ C1 )cos x + ( x + C2 )sin x .

8. Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:

а)

сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;

б)

с помощью характеристического уравнения.

x′ = 5x + 4 y,

y′ = 4x + 5 y.

+ C2e

x = C1e

Ответ:

e9t .

y = −C et + C

155

Вариант 18

y′′′ = x sin x , x = π		, y (0) = 0 , y′(0) = 0 , y′′(0) = 0 .
0	2
	2

Ответ: 0,14. 2. Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

понижение порядка,	y′′ −	y′		= x ( x −1) .
		x −
			1

Ответ: y = x4 − x3

8 6

3. Найти общее решение дифференциального уравнения а) y′′ − 3y′ = 0 ; б) y′′ − 7 y′ − 8 y = 0 ; в)

4. Найти общее решение дифференциального уравнения y′′ + 2 y′ − 24 y = 6cos3x − 33sin 3x .

+ C1 x2 − C1x + C2 . 2

y′′ + 4 y′ + 13y = 0 .

	Ответ: y = C e−6 x + C		e4 x + sin 3x .
	1	2
5.	Найти частное решение дифференциального уравнения
	y′′ − 2 y′ + 5 y = 5x2 + 6x −12 , y (0) = 0 , y′(0) = 2 .
	Ответ: y = ex (2cos 2x − sin 2x) + x2 + 2x − 2 .
6.	Найти частное решение дифференциального уравнения
	y′′′ − y′′ + y′ − y = 0 , y (0) = 0 , y′(0) = 1, y′′(0) = 0 .
	Ответ: y = sin x .

7. Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных

постоянных

y′′ + y =

sin x

Ответ: y = (−x + C1 )cos x + (ln

sin x

+ C2 )sin x .

8. Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:

а)

сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;

б)

с помощью характеристического уравнения.

x′

= x + 2 y,

y′ = 4x + 3y.

−t

+ C2e

x = C1e

Ответ:

e5t .

y = −C e−t + 2C

156

Вариант 19

5π

y′′′sin

x = sin 2x ,

x0 =

, y′

= 1, y′′

= −1.

Ответ: 7,85.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

понижение порядка,

y′′′ + y′′ tg x = sec x .

Ответ: y = −sin x − C1 cos x + C2 x + C3 .

Найти общее решение дифференциального уравнения

а) y′′ − 3y′ − 4 y = 0 ;

б) y′′ + 6 y′ + 13y = 0 ;

в) y′′ + 2 y′ = 0 .

Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′ + 6 y′ + 13y = 12cos 2x − 87sin 2x .

Ответ: y = e−3x (C cos 2x + C

sin 2x) + 4cos 2x − 3sin 2x .

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′ + 8 y′ + 16 y = 16x3 + 24x2 −10x + 8 , y (0) = 1, y′(0) = 3.

Ответ: y = 4xe−4 x + x3 − x + 1.

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′′ − 3y′′ + 3y′ − y = 0 ,

y (0) = 0 ,

y′(0) = 0 ,

y′′(0) = 4 .

Ответ: y = 2x2ex . 7. Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных

постоянных	y′′ + 4 y =		1		.
постоянных	y′′ + 4 y =	sin 2x			.
		sin 2x
	Ответ: y =		−	x	+ C
	Ответ: y =		−		+ C
			2		1
			2

	1

cos 2x +		ln	sin 2x	+ C2 sin 2x .

4

8. Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:
а)	сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;
б)	с помощью характеристического уравнения.
	x′ = x + 4 y,

	y′ = x + y.
	x = C e−t + C				e3t		,
	Ответ:	1		2
	Ответ:		1	C e−t +		1
	y = −		1			1	C	e3t .
	y = −						C	e3t .
		2		1	2		2

157

Вариант 20

y′′ = cos x + e− x , x = π , y (0) = −e−π ,

y′(0) = 1.

Ответ: 1,00.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

понижение порядка,

y′′ − 2 y′ctg x = sin3 x .

Ответ: y = −

sin3 x

+ C

− C

sin 2x

+ C

1 2

Найти общее решение дифференциального уравнения

а) y′′ + 25 y′ = 0 ;

б) y′′ −10 y′ + 16 y = 0 ;

в) y′′ − 8 y′ + 16 y = 0 .

Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′ + 5 y′ = 39cos3x −105sin 3x .

Ответ: y = C + C

e−5x + 4cos3x + 5sin 3x .

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′ − 2 y′ + 37 y = 36ex cos 6x , y (0) = 0 ,

y′(0) = 6 .

Ответ: y = ex sin 6x + 3xex sin 6x .

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′′ − y′′ + 4 y′ − 4 y = 0 , y (0) = −1, y′(0) = 0 , y′′(0) = −6 .

Ответ: y = −2ex + cos 2x + sin 2x .

7. Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных

постоянных

y′′ + 4 y = tg 2x .

Ответ: y = C cos 2x + C

sin 2x −

x + π

cos 2x .

8. Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:

а)

сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;

б)

с помощью характеристического уравнения.

x′ = 3x − 2 y,

y′ = 2x + 8 y.

x = C e4t + C

e7t ,

Ответ:

y = −

C e4t − 2C e7t .

158

Вариант 21

	3				π		7		π
y′′ = sin		x , x0	= 2,5π ,	y		= −		, y′		= 0 .
y′′ = sin		x , x0	= 2,5π ,	y		= −	9	, y′		= 0 .
					2		9		2

Ответ: -0,78.

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего

понижение порядка,

y′′ + 4 y′ = 2x2 .

Ответ:

y =

−

− C

e−4 x

+ C .

Найти общее решение дифференциального уравнения

а) y′′ − 3y′ −18 y = 0 ;

б) y′′ − 6 y′ = 0 ;

в) y′′ + 2 y′ + 5 y = 0 .

Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′ − 4 y′ + 29 y = 104sin 5x .

Ответ: y = e2 x (C cos5x + C

sin 5x) + 5cos5x + sin 5x .

Найти частное решение дифференциального уравнения

y′′ − 8 y′ = 16 + 48x2 −128x3 , y (0) = −1,

y′(0) = 14 .

Ответ: y = 2e8x − 3 + 4x4 − 2x .

Найти частное решение дифференциального уравнения

yIY − 2 y′′′ + y′′ = 0 ,

y (0) = 0 , y′(0) = 0 , y′′(0) = 1,

y′′′(0) = 2 .

Ответ: y = 1 − ex + xex . 7. Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных

′′

+ 4 y

′

+ 4 y =

e−2 x

постоянных

x3 .

Ответ: y = C + C x +

e−2 x .

8. Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:

а)

сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;

б)

с помощью характеристического уравнения.

x′ = x + 4 y,

+ 3y.

y′ = 2x

x = C e−t + C e5t

Ответ:

C e−t + C

y = −

e5t .

2 1

159

Вариант 22

1. Найти частное решение дифференциального уравнения и вычислить

значение полученной функции y = ϕ( x)										при x = x0							с точностью до двух
					y′′′ =				− sin 2x ,			x0 = 1,
знаков после запятой					y′′′ =			x	− sin 2x ,			x0 = 1,
	y (0) = −	1	,	y′(0) =		1	cos 2 ,			y′′(0) =				1		.		Ответ: 0,08.
	y (0) = −		,	y′(0) =			cos 2 ,			y′′(0) =						.		Ответ: 0,08.
	8				8									2
2.	Найти общее решение дифференциального уравнения,																	допускающего
понижение порядка,				xy′′ − y′ = 2x2ex .
										Ответ: y = 2ex ( x −1) + C									x2	+ C			.
										Ответ: y = 2ex ( x −1) + C									2	+ C			.
3.																		1	2			2
3.	Найти общее решение дифференциального уравнения
	а) y′′ − 6 y′ + 13y = 0 ;				б) y′′ − 2 y′ −15 y = 0 ;												в)	y′′ − 8 y′ = 0 .
4.	Найти общее решение дифференциального уравнения
		y′′ − 4 y′ + 5 y = (24sin x + 8cos x)e−2 x .
				Ответ: y = e2 x (C cos x + C										2	sin x) + e−2 x (cos x + sin x) .
					1									2
5.	Найти частное решение дифференциального уравнения
	y′′ + 12 y′ + 36 y = 72x3 −18 , y (0) = 1, y′(0) = 0 .
										31		82									9
				Ответ: y = y =							+		x		e−6 x + 2x3			− 2x2 + x −					.
				Ответ: y = y =						22	+	11	x		e−6 x + 2x3			− 2x2 + x −			22		.
										22		11									22

6. Найти частное решение дифференциального уравнения

yIY − y = 0 , y (0) = 0 , y′(0) = 0 , y′′(0) = 0 , y′′′(0) = −4 .

Ответ: y = e− x − ex + 2sin x . 7. Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных

′′

′

e2 x

постоянных

− 4 y

+ 4 y = x3 .

Ответ: y = C e2 x + C

xe2 x +

e2 x

8. Решить систему дифференциальных уравнений двумя способами:

а)

сведением к дифференциальному уравнению высшего порядка;

б)

с помощью характеристического уравнения.

x′ = 7x + 3y,

y′ = x + 5 y.

x = C e4t

+ C

e8t ,

Ответ:

y = −C e4t +

e8t .

160

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3316 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20155.38 Mб48умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб49умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб57умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб37умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб47умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб95умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf