Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды

.pdf

Скачиваний:

165

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 334 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

откуда

C′( x)e−∫ p( x)dx = f ( x) C′( x) = f ( x)e∫ p( x)dx

C ( x) = ∫ f ( x)e∫ p( x)dxdx + C .

(9.6.11)

Итак, функция C ( x) найдена. Подставляя ее в (9.6.10), находим об-

щее решение уравнения (9.6.1)

y = e−∫ p( x)dx (∫ f ( x)e∫ p( x)dxdx + C ),

совпадающее с решением (9.6.8).

Пример 9 . 6 . 2 .

Найти

частное

решение

дифференциального

′

, удовлетворяющее начальному условию y (1) = 1.

уравнения y

− x

= − x2

Решение. В начале решаем соответствующее однородное уравнение

−

= 0

∫

+ ln C ln

= ln

+ ln C y = Cx .

dx x

В соответствии с методом Лагранжа общее решение ищем в виде

y = C ( x) x .

Находим

y′ = C′( x) x + C ( x) .

Тогда

′

( x) x + C ( x) −

C ( x) x

′

= − x2

( x) + C ( x) − C ( x) = − x2

C ( x) = −

∫

+ C

C ( x) =

+ C и

y =

+ C

x или

y = C x +

будет общим решением данного уравнения. Из условия y (1) = 1 имеем

1 = C1 + 1 C1 = 0 .

Итак, искомым частным решением данного уравнения, удовлетво-

ряющим начальному условию y (1) = 1, является функция y = 1 . x

Общее решение уравнения (9.6.1) можно сразу найти по формуле (9.6.8), подставив туда p ( x) и f ( x) и взяв три интеграла.

Замечание. В приложениях часто встречаются линейные урав- нения с постоянными коэффициентами

				dy	+ ay = b ,			(9.6.12)
					+ ay = b ,			(9.6.12)
				dx
где a и b – постоянные.
Его можно решить путем разделения переменных:
	dy	= b − ay	dy			= dx x = ∫	dy	+ C .
		= b − ay	b − ay			= dx x = ∫	b − ay	+ C .
	dx		b − ay				b − ay

9.7. Уравнение Бернулли

Рассмотрим уравнение вида

y¢ + p ( x) y = f ( x) × yn ,	(9.7.1)
где p ( x) и f ( x) – непрерывные функции от х	(или постоянные), а

n ¹ 0 и n ¹ 1 (в противном случае получилось бы линейное уравнение). Это уравнение, называемое уравнением Бернулли, приводится к линейному следующим преобразованием.

Разделив обе части уравнения (9.7.1) на yn , получим

	y¢	+	p ( x) y	= f ( x) , или y−n × y¢ + p ( x) y−n+1	= f ( x).	(9.7.2)
	yn
			yn
Сделаем, далее, замену z = y−n+1 z¢ = (-n +1) y−n × y¢.
Умножим обе части уравнения (9.7.2) на (-n +1) .
		(-n +1) y−n × y¢ + (-n +1) × p ( x) y−n+1 = (-n +1) × f ( x)
			z′ + (-n +1) p ( x) z = (-n +1) f ( x),			(9.7.3)

т.е. получили линейное дифференциальное уравнение относительно z и z′ . Найдя его общий интеграл и подставив z = y−n+1 , получим общий инте- грал уравнения Бернулли.

Пример 9 . 7 . 1 .											Найти общее решение дифференциального урав-
нения xy¢ - 2x2										= 4 y .
нения xy¢ - 2x2									y	= 4 y .
Решение.									Предполагая			х ¹ 0, разделим обе части дифференци-
												y¢ -		4	y = 2x
ального уравнения на											х, тогда			4					y является уравнением Бер-
ального уравнения на											х, тогда								y является уравнением Бер-
														x
																			1
			n =			1		. Умножим обе части уравнения на y−														, в результате име-
нулли, где						1															2
нулли, где																					2
			2
1			1
ем y−		y¢ -	4	y			= 2x .
	2		4		2
	2				2
			x
												1				1	y−		1
Сделаем подстановку z = y												2	z¢ =			1			2	× y¢. Умножая обе части по-
Сделаем подстановку z = y												2	z¢ =						2	× y¢. Умножая обе части по-
												2
																									−	1			1
следнего дифференциального уравнения на																		1	, получим				1	y	−	2 y¢ -	2	y 2 = x ,
																		1					1				2

												2							2								x

z′ − 2 z = x , а это уже линейное дифференциальное уравнение относитель- x

но z

z′ . Найдем его общее решение по формуле (9.6.8), взяв p ( x) = −

f(x) = x,

−∫ p( x)dx

∫

p( x)dx

∫

−∫

z = e

(C +

∫ f ( x)e

dx) = e

∫ xe

C +

2 ln

= e

(C +

∫ xe−

dx)

= x2 (C + ∫ x × x−2dx) = x2 C +

∫

= x2

(C + ln

) .

= x2 (C + ln

)

(C + ln

)2 – искомое

Так как z = y

, то y

y = x4

общее решение.

Замечание.

Дифференциальное уравнение (9.7.1)

можно сразу

решать методом Бернулли или Лагранжа, не сводя его к линейному.

Пример 9 . 7 . 2 .

Решить уравнение y¢ +

= x2 y4 .

Решение. Это уравнение Бернулли. Решение будет искать в виде

y = u ( x)

× v ( x)

′

Исходное уравнение принимает вид

= u v + uv .

(uv)

u¢v + uv¢ +

uv = x

u¢v

+ u v¢ +

= x

Выберем функцию

v(x)

таким образом, чтобы v¢ +

v = 0 . В резуль-

тате получаем систему:

v¢ +

= 0,

u¢v = x u

Решим первое

уравнение системы

= -

∫

= -∫

= -ln

v =

Тогда второе уравнение системы

du dx

2 4

u¢v = x

принимает вид

u¢ = x u

= x

×u

∫

= ∫

- ln

= ln

- ln

= 3(ln

- ln

)

3u3

u =

. Итак,

y = u ( x) v ( x) , т.е.

y =

будет общим реше-

3 3ln

x × 3 3ln

нием исходного уравнения.

9.8.Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Напомним, что полным дифференциалом функции двух переменных u = u ( x, y ) называется выражение

du =	∂u dx +	∂u dy .	(9.8.1)
	¶x	¶y
Уравнение
P ( x, u )dx + Q ( x, y )dy = 0			(9.8.2)

называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, ес-

ли его левая часть представляет собой полный дифференциал некоторой функции u ( x, y), т.е. P ( x, y )dx + Q ( x, y)dy = du ( x, y) . В этом случае

уравнение можно записать в виде du ( x, y ) = 0 , откуда следует, что соот- ношение

u ( x, y ) = C	(9.8.3)
является его общим интегралом.
ТЕОРЕМА 9 . 8 . 1 . Пусть P ( x, y ) и Q ( x, y ) –	функции, непре-

рывные в некоторой односвязной (не имеющей «дырок» внутри себя) об- ласти D плоскости XOY и имеющие в ней непрерывные частные произ-

водные ∂P и ∂Q . Тогда, для того чтобы выражение

¶y ¶x

P ( x, y )dx + Q ( x, y )dy		(9.8.4)
было полным дифференциалом некоторой функции		u ( x, y ), необходимо и
достаточно, чтобы во всех точках области D было выполнено условие
∂P º	∂Q .	(9.8.5)
¶y	¶x

Доказательство.

Необходимость. Пусть выражение (9.8.4) является полным диффе- ренциалом некоторой функции u ( x, y ), т.е.

du = ∂u dx + ∂u dy = P ( x, y )dx + Q ( x, y )dy , отсюда

¶x ¶y

					∂u = P ( x, y ),				∂u = Q ( x, y) .	(9.8.6)
					∂x				∂y
	Дифференцируя первое из этих равенств по y, а второе –									по x, полу-
чим		∂2u	=	∂P ,	∂2u	=	∂Q , откуда по теореме о равенстве смешанных
чим			=	∂P ,		=	∂Q , откуда по теореме о равенстве смешанных
		∂x∂y		∂y	∂y∂x		∂x
производных получаем ∂P ≡								∂Q .
						∂y		∂x
	Достаточность. Покажем, что при выполнении условия (9.8.5)
выражение				P ( x, y )dx + Q ( x, y )dy есть полный дифференциал некоторой

функции u ( x, y ).

Из соотношения ∂u = P ( x, y ) находим

∂x

u ( x, y ) = ∫ P ( x, y )dx + ϕ( y ) ,

где x0 – абсцисса любой точки из области существования решения.

При интегрировании по x мы считаем y постоянным, и поэтому произвольная постоянная интегрирования может зависеть от y. Подберем ϕ( y ) так, чтобы выполнялось второе из соотношений (9.8.6). Для этого

продифференцируем обе части последнего равенства по y и результат

приравняем		Q ( x, y ) :
			∂u	x	∂P dx + ϕ′( y ) = Q ( x, y ) .
			∂u	= ∫	∂P dx + ϕ′( y ) = Q ( x, y ) .
			∂y	x	∂y
				0
		∂P =	∂Q , то	x
Но, так как		∂P =	∂Q , то	∫ ∂Q dx + ϕ′( y ) = Q ( x, y ) , т.е.
		∂y	∂x	x	∂x
				0
Q ( x, y )	x	+ ϕ′( y ) = Q ( x, y )			,	или Q ( x,	y ) − Q ( x , y ) + ϕ′( y ) = Q ( x, y ) .
Q ( x, y )	x	+ ϕ′( y ) = Q ( x, y )			,	или Q ( x,	y ) − Q ( x , y ) + ϕ′( y ) = Q ( x, y ) .
	x0						0
	x0						y
							y
Следовательно, ϕ′( y ) = Q ( x0 , y ) , или							ϕ( y ) = ∫ Q ( x0 , y )dy + C1 .
							y0
Таким образом, функция						u ( x, y ) будет иметь вид
				x		y
			u ( x, y ) = ∫ P ( x, y )dx + ∫ Q ( x0 , y ) dy + C1 ,					(9.8.7)
				x0		y0

где M0 ( x0 , y0 ) – точка, в окрестности которой существует решение уравнения (9.8.2).

Если при построении функции u ( x, y )		брать за исходное второе из
равенств (9.8.6), то получим, что
x	y	( x, y ) dy + C2 .
u ( x, y ) = ∫ P ( x, y0 )dx + ∫ Q		( x, y ) dy + C2 .	(9.8.8)
x0	y0

В формулах (9.8.7) и (9.8.8) нижние пределы интегрирования нужно выбирать так, чтобы получающиеся интегралы имели смысл. Удачный выбор

и y0 во многих случаях облегчает задачу интегрирования уравнения.

Напомним,

что

общим

интегралом

уравнения

(9.8.2)

будет

u ( x, y ) = C (произвольные постоянные С1

или

С2

можно включить в по-

стоянную С).

y2 - 3x2

Пример 9 . 8 . 1 .

Решить уравнение

dx +

dy = 0 .

Решение. Проверяем, не есть ли это уравнение в полных диффе-

ренциалах. Пусть

P ( x, y ) =

Q ( x, y ) =

y2 - 3x2

x2 ,

тогда

¶P

= 2x ( y−3 )¢y = -6xy−4

∂Q

¶y

= -

;

¶x = 0 -

× 2x = -

Условие (9.8.5)

при y ¹ 0 выполняется. Значит, левая часть данного уравнения есть пол- ный дифференциал некоторой неизвестной функции u ( x, y ). Найдем эту функцию.

Так как

∂u =

то

u = ∫

dx + j( y ) =

+ j( y ) , где j( y )

– не

¶x y3

определенная пока функция от y.

Дифференцируя

это

соотношение

по

и учитывая,

что

¶u = Q =

y2 - 3x2

, получаем

-3x2

+ j¢( y ) =

3x2

j¢( y ) =

¶y

j( y ) = -

+ C . Следовательно, u ( x, y ) =

+ C .

Таким образом, общий интеграл исходного уравнения

= C .

Замечание.

Неизвестную функцию u ( x, y )

можно сразу находить

по одной из формул (9.8.7) или (9.8.8).

= 0 ( y > 0) .

Пример

9 . 8 . 2 . Дано уравнение

xydx +

Решение.

Условие (9.8.5) выполнено. Применим формулу (9.8.7),

x0 = 0 ,

y0 = 1. Получим

положив

∫ xydx + ∫

dy = C

1 2

x2 y

= 0 ,

+ ln y

= C

+ ln y = C – общий интеграл. Нельзя полагать y

так как y = 0

не принадлежит области определения коэффициентов.

Если

∂P ¹ ∂Q , то уравнение Pdx + Qdy = 0 уже не является уравне-

¶y

¶x

нием в полных дифференциалах. Его можно превратить в уравнение в полных дифференциалах умножением обеих частей на подходящим обра- зом подобранную функцию m( x, y ) , которая называется интегрирующим

множителем. В некоторых частных случаях интегрирующий множитель можно найти. Более подробно этот вопрос можно найти в любом учебнике, содержащем дифференциальные уравнения.

9.9. Особые решения дифференциальных уравнений первого порядка

Из геометрического смысла дифференциального уравнения y′ = f ( x, y ) следует, что его интегральная кривая в каждой своей точке

имеет касательную, совпадающую с направлением поля, порожденного этим уравнением. Отсюда вытекает, что все интегральные кривые диффе- ренциального уравнения (если они существуют), проходящие через точку, должны касаться друг друга.

Теперь можно определить особое решение дифференциального уравнения с геометрической точки зрения. Решение дифференциального уравнения y′ = f ( x, y ) называется особым, если через любую точку со-

ответствующей ему интегральной кривой проходит, кроме нее, еще и дру- гая касающаяся ее интегральная кривая данного уравнения.

Кривая, через каждую точку которой проходит хотя бы еще одна кривая некоторого семейства, имеющая ту же касательную в данной точке, что и кривая семейства, называется огибающей данного семейства.

Из сказанного следует, что особое решение дифференциального

уравнения y′ = f ( x, y )

является огибающей семейства интегральных кри-

вых Φ ( x, y, C ) = 0 (общего интеграла) этого уравнения.

Пример 9 . 9 . 1 .

Найти особое решение уравнения y2 (1 + y′2 ) = R2 .

Решение.

Разрешим уравнение относительно y′ .

= ±

− y2

ydy

= dx

∫(R2 − y2 )−

d (R2 − y2 ) = ∫dx − C

± R2 − y2

±R2 − y2 = x − C R2 − y2 = ( x − C )2

( x − C )2 + y2 = R2 – общий интеграл данного уравнения.

Легко видеть, что семейство интегральных линий представляет со- бой семейство окружностей радиуса R с центром на оси абсцисс. Оги- бающей семейства кривых будет пара прямых y = ±R .

	у
y = R	R
	R
	x

–R C

y = –R

Функции y = ±R удовлетворяют исходному дифференциальному уравнению ( y′ = 0, R2 = R2 ) . Следовательно, y = ±R – особые решения данного уравнения.

9.10.Модели прикладных задач

сприменением дифференциальных уравнений

Составление дифференциальных уравнений является важным и вме- сте с тем трудным вопросом. Универсального метода, пригодного во всех случаях, указать нельзя. Необходимо приобретение опыта и определенных навыков в решении различных задач, что достигается разбором большого количества задач и самостоятельным решением аналогичных примеров. Необходимо также знание данной прикладной дисциплины.

Составление дифференциального уравнения по условию задачи (ме- ханической, физической, химической, технической или любой другой) со- стоит в определении математической зависимости между переменными величинами и их приращениями, которые сразу же заменяются соответст- вующими дифференциалами.

В большинстве случаев модель прикладных задач с применением обыкновенных дифференциальных уравнений сводится к следующему:

1)подробный разбор условий задачи и составление чертежа, пояс- няющего его суть;

2)составление дифференциального уравнения рассматриваемого

процесса;

3)интегрирование этого уравнения и определение его общего ре-

шения;

4)определение частного решения задачи на основании данных на- чальных условий;

5)определение по мере необходимости вспомогательных парамет- ров (например, коэффициента пропорциональности и т.д.) с использовани- ем для этой цели дополнительных условий задачи;

6)вывод общего закона рассматриваемого процесса и числовое определение искомых величин;

7)анализ ответа и проверка исходного положения задачи.

В качестве примера рассмотрим задачу о радиоактивном распаде.

Задача 9 . 1 0 . 1 . Скорость распада радия прямо пропорцио- нальна наличной его массе. Определить, какой процент массы m0 радия распадется через 200 лет, если известно, что период полураспада радия (период времени, по истечении которого распадается половина наличной массы радия) равен 1590 лет.

Решение. Скорость распада радия измеряется его количеством, распавшимся в единицу времени. За малый промежуток времени t , ис- текший с некоторого момента времени t, количество распавшегося радия равно km t , где m – количество радия в данный момент времени, k – ко- эффициент пропорциональности. Это же количество, взятое с отрицатель- ным знаком (масса убывает), равно приращению массы за время t :

		m = −km t .					(9.10.1)
Обе части равенства (9.10.1) делим на t							и переходим к пределу при
t → 0 . Тогда lim	m = −km			dm		= −km .
t → 0 . Тогда lim	m = −km					= −km .
Dt ®	t			dt
Разделяем переменные:
			dm		= −kdt .		(9.10.2)
					= −kdt .		(9.10.2)
			m
Интегрируя уравнение (9.10.2), находим							ln m = −kt + ln C или после
потенцирования
		m = Ce-kt .					(9.10.3)
Начальное условие:		m = m0 при t = 0.
	m = Ce-k ×0 C = m .
	0						0

Таким образом,

m = m0e-kt .

Коэффициент k определяем из дополнительного условия:

при t = 1590	m =		m0		.
при t = 1590	m =				.
	2
		m0		= m e-1590k					− 1590k = − ln 2 ,
				= m e-1590k					− 1590k = − ln 2 ,
	2					0
	2
							k =	ln 2	= 0,00044 .
							k =		= 0,00044 .
							1590
Искомая функция							m(t ) = m e-0,00044t .
									0
Количество		радия,					не		распавшегося	через 200	лет,
m(200) = m e-0,00044×200 = m e-0,088 = 0,915m (что составляет 91,5 %).
0						0			0

Следовательно, через 200 лет распадется лишь 8,5 % радия.

Для интересующихся моделями прикладных задач, решаемых с помо- щью дифференциальных уравнений, рекомендуем учебное пособие [14].

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 334 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20155.38 Mб118умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб119умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб127умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб107умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб117умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб165умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf