Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3318 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

3. Найти общее решение дифференциального уравнения

	S¢¢ - 2aS¢ + a2S = et , (a ¹ 1) .
		Ответ: S = C eat + C teat																												+			et					.
		Ответ: S = C eat + C teat																												+	(a		-1)2					.
													1								2										(a		-1)2
													1								2
4.	Найти решение уравнения y¢¢ + n2 y = hsin px													( p ¹ n), удовлетворяю-
щее условиям у = а, y′ = C при х = 0.
		C (n2 - p2 ) - hp																										h
	Ответ: y = a cos nx +	n(n2 - p2 )														sin nx +																sin px .
	Ответ: y = a cos nx +	n(n2 - p2 )														sin nx +							n2 - p2									sin px .
		dx1		= -x + x + x ,
				= -x + x + x ,
	dt						1					2						3
							1					2						3

5.	Найти общее решение системы:	dx2		= x - x						2		+ x ,
5.	Найти общее решение системы:			= x - x								+ x ,
	dt						1						3
	dt
		dx3	= x + x									+ x .
			= x + x									+ x .
						1			2				3
	dt
									x = C e−t												+ C			e2t						+ C e−2t ,
											1							1			2										3
		Ответ: x											= C e−t									+ C			e2t					- 3C e−2t								,
											2							1			2												3
									x = -C e−t + 2C e2t .
																			1								2
									3										1								2
	Вариант 4
1.	Решить дифференциальное уравнение xy′′′ + y′′ − x −1 = 0 .
	Ответ: y =				1		(x3 + 6x2 ) + C1x ln																		x				+ C2 x + C3 .
					1

		12																		y¢¢ - 2 y¢ - 3y = e4 x ,
2. Найти частное решение дифференциального уравнения																				y¢¢ - 2 y¢ - 3y = e4 x ,
удовлетворяющее краевым условиям		y (ln 2) =1,										y (2ln 2) =1.
		Ответ:							y =				1					4 x		+	652						− x			-	491						3x	.
															e									e											e
													5		e						75			e							600				e
													5								75										600
3. Найти общее решение дифференциального уравнения																						y¢¢¢ + y¢ = ex .
	Ответ: y = C + C																		cos x + C sin x +															1		ex .
	Ответ: y = C + C																2		cos x + C sin x +																	ex .
										1							2								3								2
4. Найти общее решение дифференциального уравнения																																	2
4. Найти общее решение дифференциального уравнения
	y¢¢¢ + y¢ = ex + 6cos 2x .
	Ответ: y = C + C								cos x + C sin x +																	1			ex - sin 2x .
	Ответ: y = C + C							2	cos x + C sin x +																				ex - sin 2x .
		1						2											3						2
																									2

171

			x ′ = x − x				+ x ,
			1	1	2				3
5.	Найти общее решение системы:		x ′ = x + x					+ x ,
			2	1	2				3
			x ′ = 2x − x .
			3	1			2
								x = C et + C					e2t			+ C e−t ,
									1		1	2						3
			Ответ: x								= C et − 3C e−t ,
									2		1			3
								x = C et + C e2t − 5C e−t .
											1	2						3
								3			1	2						3
		Вариант 5
1.	Решить дифференциальное уравнение			y′ × y′′′ - 3( y′′)2 = 0 .
					Ответ: x = C y2 + C												2	y + C .
											1						2	3
2.	Найти частное решение дифференциального уравнения yy¢ + ( y¢)2 + yy¢¢ = 0 ,
удовлетворяющее краевым условиям				y (0) = 1,						y (−1) = 0 .

												y =					e − e− x
											Ответ:								.
											Ответ:								.
																		e −1
3. Найти общее решение дифференциального уравнения
	y′′′ + y′′ = 6x + e− x .
		Ответ: y = C + C				2		x + C e− x + x3				− 3x2 + xe− x .
				1		2					3
4. Найти общее решение дифференциального уравнения
	yIY	− y = 3xex + sin 2x .
	Ответ: y = C1e− x + C2ex + C3 cos x + C4 sin x +									3	(x2 − 3x)ex +					1		sin 2x .
	Ответ: y = C1e− x + C2ex + C3 cos x + C4 sin x +										(x2 − 3x)ex +							sin 2x .
									8						15
	x ′ = −15x − 6x + 16x ,
	1	1	2	3
5.	Решить систему: x ′ = −15x − 7x + 18x ,
	2	1	2	3
	x ′ = −19x − 8x + 21x .
	3	1	2	3

x = 2C e−t				+ 2(4C			+ C		2		)cost − 2(4C		2	− C		)sin t,
	1	1				3								3
Ответ: x		= −2C e−t + 3(5C					2	+ 3C				)cos t + 3(5C − 3C					)sin t,
	2	1									3			3		2
		= C e−t	+ (7C			+ 11C				)cost + (7C −				11C		)sin t.
x					2										2
	3	1						3				3

172

Вариант 6

1. Найти общее решение дифференциального уравнения y(n) = xm .

Ответ:

y =

xm+n + C xn−1 + ... + C

x + C .

(m + n)!

n−1

2. Найти решение дифференциального уравнения

yy¢¢ + ( y¢)2 +1 = 0 , удов-

летворяющее краевым условиям:

y (0) =1,

y (1) = 2 .

Ответ: ( x - 2)2 + y2 = 5 .

Найти общее решение дифференциального уравнения

yIY

+ y¢¢ = x2 + 2 .

Ответ: y = C + C

x + C cos x + C

sin x +

x4 .

4. Найти общее решение дифференциального уравнения

yIY

- y = cos x .

Ответ: y = C ex + C

e− x

+ C sin x + C

cos x -

x (sin x + cos x).

5. Решить систему дифференциальных уравнений:

= y + t,

x (0) =1, y (0) = 0 .

= x + e

(3et + 5e−t ) +

x =

tet -1,

Ответ:

−t

) +

- e

- t.

Вариант 7

Решить уравнение 2xy¢¢¢ × y¢¢ = ( y¢¢)2 - a2 .

(C1x + a2 )

+ C2 x + C3

Ответ: y = ±4

15C

Найти решение дифференциального уравнения y′′ + y = 0 , удовлетво-

ряющее краевым условиям: y′(0) = 0 ,

y′(p) =1.

Ответ: нет решений.

173

3. Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′′ + y′ = xe− x .

Ответ: y = C + C

cos x + C sin x −

x + 1 e− x .

4. Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′′ + y′ = −2sin x .

Ответ: y = C1 + C2 cos x + C3 sin x + x sin x .

= 2x + y + cost,

Решить систему дифференциальных уравнений:

= −x + sin t.

x = (C + C t )et ,

Ответ:

= (C

(1 − t ) − C

)et − cost.

Вариант 8

Решить уравнение y′′′ − y′ + 2x = 0 , y (0) = 0 ,

y′(0) = y′′(0) = 2 .

Ответ:

y = ex − e− x + x2 .

Найти решение дифференциального уравнения y′′ − y = 0 , удовлетво-

ряющее краевым условиям: y (0) = 0 , y (2π) = 1.

Ответ: y =

sh x

sh 2π

Найти частное решение дифференциального уравнения yIY

− y = 8ex ,

y (0) = −1, y′(0) = 0 , y′′(0) = 1, y′′′(0) = 0 .

Ответ: y = 2xex − 3ex + e− x + cos x + 2sin x .

4. Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′′ − 8 y = 8sin 2x − 8cos 2x .

Ответ: y = C1e2 x + e− x (C2 cos

x + C3 sin

x) + cos 2x .

= 2( x + y ),

Решить систему:

= 3x + y.

= C1e

+ C2e

−2t

Ответ:

= 3C e2t − C

e−2t .

174

Вариант 9

1. Решить уравнение yIY + 2a2 y′′ + a4 y = 8sin ax .

Ответ: y = (C1 + C2 x)cos ax + (C3 + C4 x)sin ax − x2 sin ax . a

Найти решение дифференциального уравнения

y′′ − y = 0 ,

удовлетво-

ряющее краевым условиям: y (0) = 0 , y (1) = 1.

Ответ: y =

sh x

sh1

Найти общее решение дифференциального уравнения

S′′ − a2S = t + 1.

Ответ: y = C eat

+ C

e−at −

t + 1

Найти интегральную кривую уравнения y′′ + k 2 y = 0 ,

проходящую че-

рез точку M ( x0 , y0 ) и касающуюся в точке М прямой у = ах.

Ответ: y = y cos k ( x − x ) +

sin k ( x − x ).

= e

− z,

Решить систему дифференциальных уравнений:

y′

= e− x + y.

z′

y = C1 cos x + C2 sin x + sh x,

Ответ: z = C sin x − C

cos x + sh x.

Вариант 10

Решить уравнение y′′′ = ( y′′)2 .

Ответ: y = (C1 − x)(ln (C1 − x) −1) + C2 x + C3 .

Найти решение дифференциального уравнения

y′′ + y = 0 ,

удовлетво-

ряющее краевым условиям: y′(0) = 0 , y′(1) = 1.

Ответ: y = −

cos x

sin1

Решить уравнение y′′′ − y′′ = 12x2 + 6x .

Ответ: y = C + C

x + C ex

− x4 − 5x3 −15x2 .

175

4. Указать вид частного решения дифференциального уравнения

yY + 4 yIY + 24 y¢¢¢ + 40 y¢¢ +100 y¢ = e− x ×(( x + 3)cos3x + (2x2 -1)sin 3x).

Ответ: yч = x2e− x (( Ax2 + Bx + C )cos3x + ( A1x2 + B1x + C1 )sin 3x).dx

5.Решить систему дифференциальных уравнений dt

dy = 2x + 3y + t.dt 4x 6 y,+=

x = C + C e7t						-	3		t (7t + 2),
x = C + C e7t						-			t (7t + 2),
	1			2		49
Ответ:		2			1						1	(14t		- 3t -1).
		2			1			7t			1		2
y = -			C1	+		C2e				+
y = -		3	C1	+	2	C2e				+	49
		3			2						49

Уровень I I I

Показать,

что

общее

решение

дифференциального

уравнения

y¢¢ - m2 y = 0

можно представить в виде

y = C sh mx + C

ch mx .

Показать,

что

общее

решение

дифференциального

уравнения

y¢¢ - 2ay¢ + (a2 - b2 ) y = 0

можно

представить

виде

y = eαx (C ch bx + C

sh bx).

Доказать теорему:

если

y1 ( x) есть частное решение линейного одно-

родного

уравнения

y′′ + p ( x) y′ + q ( x) y = 0 ,

то

функция

∫

e−∫ p( x)dx

( x) = y ( x)

тоже является решением этого уравнения.

( x)

Используя

результат

задачи 3, найти общее

решение

уравнения

xy′′ + 2 y′ + xy = 0 , если

sin x

есть его частное решение.

Ответ: y = C

cos x

+ C

sin x

Используя

результат

задачи 3, найти общее

решение

уравнения

(1 - x2 ) y¢¢ - 2xy¢ + 2 y = 0 ,

если функция

y1 = x есть его частное решение.

Ответ: y = C x

1 + x

-1

+ C

x .

1 - x

176

6. Известно частное решение y = ekx	линейного однородного диффе-
1

ренциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициента- ми. Дискриминант соответствующего характеристического уравнения ра- вен нулю. Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее на-

чальным условиям:					y (0) = y′(0) = 1.
							Ответ: yч = ekx (1 + (1 − k ) x) .
7.		Показать,		что	общее	решение	дифференциального уравнения
	d 2 x		+ α2 x = 0	может быть		представлено в виде x = Asin (αt + ϕ) или

	dt 2
	x = Acos(αt + ϕ) , где А и j – произвольные постоянные.
8.		Показать, что функции				1, x, x2 ,..., xn−1	линейно независимые на любом
интервале (a,b) .

9. Доказать, что линейное дифференциальное уравнение остается линей- ным при преобразовании искомой функции y = a( x) z + b( x) , где z – но-

вая функция; a(х) и b(х) – произвольные, достаточное число раз диффе- ренцируемые, функции.

10. Дана система функций: y1 ( x), y2 ( x),…, yn ( x) , причем на некотором интервале вронскиан W ( x) ¹ 0 . Составить линейное однородное диффе-

ренциальное уравнение, для которого эта система является фундаменталь- ной системой решений.

	y	y1 ( x)
	y	y1 ( x)
	y¢	y ¢	( x)
Ответ:		1
Ответ:	…		…
	…		…
	y(n)	y(n)	( x)
		1

y2 ( x) … y2¢ ( x) …

… …

y2(n) ( x) …

yn ( x)

yn¢ ( x) = 0 .

…

yn(n) ( x)

11. Радиус кривизны в произвольной точке кривой равен кубу длины нор- мали в этой точке. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0,1) и в этой точке параллельной оси абсцисс.

Ответ: y2 - x2 =1.

12. Кривая, проходящая через точки А(5, 7) и В(6, 6), имеет радиус кри- визны R = 5. Найти уравнение этой кривой.

Ответ: ( x - 2)2 + ( y - 3)2 = 25 .

177

13. В точке (1, – 2) кривая параллельна оси абсцисс. В любой точке радиус кривизны R равен квадрату абсцисс этой точки. Найти уравнение этой кривой.

Ответ: 6 y = (2x −1)2 −13 .

14. Электровоз движется по горизонтальному железнодорожному пути со скоростью 72 км/ч. Машинист включает тормоз, и сопротивление движе- нию после начала торможения равно 0,2 веса электровоза. Найти время от момента включения тормоза до полной остановки электровоза и расстоя- ние, пройденное за это время.

Ответ: электровоз остановится через 10,2 с, пройдя после начала торможения расстояние 102 м.

15. Балка на двух опорах длиной l прогибается под действием равномер- но распределенной нагрузки, общий вес которой Р. Определить уравнение упругой линии и прогиб в середине пролета.


Ответ: y =	P	3lx2 −			2	x4		,

	48EJ				l
где Е – модуль упругости; J – момент инерции;		h =	5		Pl3		.

		8		48EJ

16. К вертикальной пружине, силой тяжести которой пренебрегаем, под- вешен груз Р, удлиняющий ее на величину l. Оттянув груз на длину а вниз, его оставляют свободно колебаться. Найти закон этого движения, пренебрегая побочными сопротивлениями.

Ответ: x = a cos	g	t – закон гармонического

	l

колебания с периодом T = 2π			l	.

			g

17. На левом конце стержня (при х = 0) постоянная температура τ0. В точ- ках стержня, лежащих на разных расстояниях х от левого конца, устанав-

ливается температура τ = τ(х). Найти температуру в точке с абсциссой х.

Ответ: τ = τ0e− px ; p2 = λΦkC , где Φ – поперечное сечение стержня;

С – длина окружности поперечного сечения; λ – коэффициент теплопроводности; k – коэффициент пропорциональности.

178

18. Определить закон и период колебаний маятника в среде с сопротивле- нием, пропорциональным скорости качания.

Ответ: S =

e−ht sin ( pt

+ ϕ) , T = 4mπ

, где b −

p cos ϕ

4m2 g − lb2

коэффициент силы сопротивления

f = −bv ;

h =

−

коэффициент сопротивления;

k 2 =

− коэффициент упругости;

= 0 ;

tg ϕ =

P = k 2 − h2 ;

при t = 0 S = a,

19. Моторная лодка движется по озеру со скоростью v0 = 20 км/ч. Через 40 с после включения ее мотора скорость лодки уменьшается до v1 = 8 км/ч. Определить скорость лодки через 2 мин после выключения мотора. (Сила сопротивления воды движению лодки пропорциональна ее скорости).

Ответ: 1,28 км/ч. 20. С высоты 18 м над уровнем земли брошено вертикально вверх тело со скоростью 30 м/с. Найти высоту, на которой тело находится в момент времени t, как функцию времени. Определить наибольшую высоту подъе- ма тела.

Ответ: S = h = − 1 gt2 + 30t + 18 , hнаиб = 3,9 м. 2

179

ГЛОССАРИЙ

	Новые понятия			Содержание

	1					2

1.	Дифференциальное	уравнение относительно неизвестной функции и
уравнение (ДУ)		ее производных различных порядков. Общий
			′	′′	(n)	) = 0
		вид F (x, y, y , y ,..., y
2.	Порядок ДУ	порядок старшей производной, входящей в это
		уравнение

3.	Обыкновенное ДУ	если неизвестная функция зависит от одной пе-
		ременной	y = y ( x)

4.	ДУ с частными	если искомая функция зависит от нескольких
производными		переменных

5.	Решение ДУ	функция	y = y ( x) , определенная и непрерывно
		дифференцируемая			n раз в (a,b) , называется
		решением ДУ в этом интервале, если она обра-
		щает данное уравнение в тождество

6.	Интегральная ли-	график решения ДУ
ния (кривая) ДУ

7.	ДУ первого порядка	называется уравнение, связывающее независимую
		переменную, искомую функцию этой переменной
		и ее производную. Общий вид F ( x, y, y′) = 0 либо
		y′ = f ( x, y ) , откуда dy − f ( x, y ) dx = 0 или в бо-
		лее общем виде		P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy = 0

8.	Общее решение ДУ	называется функция			y = ϕ( x,C ) , где С – произ-
первого порядка		вольная постоянная, обращающая данное урав-
		нение в тождество

9.	Общий интеграл	общее решение Φ ( x, y,C ) = 0 , заданное в неяв-
ДУ		ном виде


10. Частное решение		решение, полученное из общего решения при
ДУ		фиксированном значении С:
			y = ϕ( x,C0 ) , где С0 – число

11. Частный инте-		Φ ( x, y,C0 ) = 0		– частное решение, заданное в
грал ДУ		неявном виде

180

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3318 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20155.38 Mб48умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб49умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб57умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб37умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб47умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб95умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf