умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

f(х), заданную на отрезке

f ( x) = 0,

π + 4 − 2 ∑ cos((2k −1) x) +

.pdf

Скачиваний:

100

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.54 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3329 30 31 32 33 > Следующая >>>

2.Исследовать на сходимость:

а) ∑ (n +1)

∞

в) ∑

∞

n=1

(3 + 2n)ln

(3 + 2n)

Ответ: расходится;

Ответ: сходится;

∞

г) ∑

б) ∑

arcsin

n=1

n=1 n ×3

Ответ: сходится;

Ответ: сходится.

3. Исследовать на абсолютную или условную сходимость

∞ (-1)n

∑

n=1 n

Ответ: абсолютно сходится.

4.Найти область сходимости рядов:

∞ xn		∞
а) ∑	.	б) ∑

n=1 5n		n=0
		Ответ: (-5, 5);

(-1)n 3n + 2 ( x - 2)n .

n +1

Ответ: 1 < x ≤ 3 .

Вариант 20

	∞	5n - 4n
1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму	∑		.
1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму	∑	20n	.
	n=1	20n

Ответ: S = 1 .

2.Исследовать на сходимость:

∞	2 × 5 ×8 ×...× (3n -1)
а) ∑		.
а) ∑	3 × 7 ×11×... ×(4n -1)	.
n=1	3 × 7 ×11×... ×(4n -1)

Ответ: сходится;

∞ n +1 n2

б) ∑ . n=1 2n

Ответ: сходится;

∞	1
в) ∑		.


n=1 8	(4 + 9n)5

Ответ: расходится;

∞	1
г) ∑	1	.

	(2n +1) ×3n
n=1	(2n +1) ×3n

Ответ: сходится.

∞	(-1)n−1		;
3. Исследовать на абсолютную или условную сходимость ∑	n ×	5n
n=1

Ответ: абсолютно сходится.

281

4.Найти область сходимости рядов:

∞

5n xn

∞

( x + 5)

2n−1

а) ∑

б) ∑

(2n +1)2

2n × 4n

n=1

Ответ: −7 < x < −3 .

Ответ: -

;

Вариант 21

∞

1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму

n∑=0

(2n +1)(2n + 3)

Ответ: S = 1 .

2.Исследовать на сходимость:

∞

(

3n −1)sin

∞

а) ∑

в) ∑

(9n − 4)ln2 (9n − 4)

n=1

Ответ: сходится;

∞

Ответ: сходится;

∞

- n -1

n + 2

б) ∑

г) ∑

+ 3n + 4

n=1 n n

n=1

Ответ: сходится;	Ответ: расходится.

∞ (-1)n−1

3. Исследовать на абсолютную или условную сходимость ∑ .

n=1 n!

Ответ: абсолютно сходится.

4.Найти область сходимости рядов:

∞

∑∞ (2n -1)

( x

+1)

а) ∑

б)

n=1

Ответ: [-1,1) ;

n=1

2n−1nn

Ответ: −2 < x < 0 .

Вариант 22

∞

7n + 3n

1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму

∑

21n

n=1

Ответ: S = 2 . 3

282

2.Исследовать на сходимость:

∞

n + 2

∞

3 + n

а)

∑

в)

∑

n=1

n=1 9

+ n2 - 2n

Ответ: сходится;

∞

Ответ: расходится;

∞

n n

б)

∑

г)

∑sin

2n -

n=1

3n +1

n=1

Ответ: сходится;

Ответ: расходится.

3.Исследовать на абсолютную или условную сходимость

∞	(−1)n	3
∑			.
		ln (n + 1)
n=1

Ответ: условно сходится.

4.Найти область сходимости рядов:

∞

б) ∑∞ ( x + 3)

а) ∑

n=1

Ответ: −4 ≤ x ≤ −2 .

Ответ: −

;

Вариант 23

∞

1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму

n∑=0

(2n + 3)(2n + 5)

Ответ: S = 1 . 6

2.Исследовать на сходимость:

∞

3n -1

∞

а)

∑

в)

∑

(5n + 8)ln3 (5n + 8)

n × 7n

n=1

Ответ: сходится;

∞

1 2n

∞

б)

∑

arcsin

г)

∑

+ 2

n=1

n=1 n

Ответ: сходится;

Ответ: расходится.

3.Исследовать на абсолютную или условную сходимость

∞	(−1)n+1	2n + 1
∑			.
		5n(n + 1)
n=1

Ответ: условно сходится.

283

4.Найти область сходимости рядов:

∞	(-x)n+1		∞	( x + 2)n2	.
а) ∑	n	3 .	б) ∑	nn
n=1		Ответ: [-1,1] ;	n=1
				Ответ: −3 ≤ x ≤ −1.

Вариант 24

∞ 7n - 3n

1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму ∑ .

n=1 21n

Ответ: S = 1 . 3

2.Исследовать на сходимость:

∞

1× 5 ×9 ×...× (4n - 3)

∞

а)

∑

в)

∑

×...× (3n - 2)

n=11× 4 × 7

n=1 8

(

7n - 5)3

Ответ: расходится;

∞

n + 1

∞

б)

∑

г)

∑sin

n=1 2n

n=1

Ответ: сходится;

Ответ: расходится.

∞

(-1)n+1

3. Исследовать на абсолютную или условную сходимость ∑

n=1

2n +1

Ответ: условно сходится.

4.Найти область сходимости рядов:

∞

(-1)n−1 ( x - 2)

а) ∑

б) ∑

n=1

Ответ: 1 ≤ x ≤ 3 .

Ответ:

;

Вариант 25

∞

1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму

n∑=1

(3n -1)(3n + 2)

Ответ: S = 1 . 6

284

2.Исследовать на сходимость:

	∞	5n
а)	∑		.

	n=1	4n!
			Ответ: сходится;
		n +1		n2
	∞

б)	∑	n			.
			5n
	n=1

Ответ: сходится;

в)

г)

∞	1
n∑=1			.
	(n + 4)ln (n + 4)ln (ln (n + 4))
		Ответ: расходится;
∞	n
∑		.

n=1 n3 + 1

Ответ: сходится.

∞	(-1)n+1 × 3n	;
3. Исследовать на абсолютную или условную сходимость ∑	(2n +1)n	;
n=1	(2n +1)n

Ответ: абсолютно сходится.

4.Найти область сходимости рядов:

∞	xn			∞	( x -1)	2n
а) ∑			.	б) ∑			.
					n × 9n

n=1 2n		3n -1		n=1
		Ответ: [-2, 2) ;			Ответ: 2 < x < 4 .

Уровень I I

Вариант 1

1.Разложить в ряд Маклорена функцию f(x), указать область сходимо-

сти f ( x) = cos5x .

∞	(-1)n × 52n x2n	x	< ¥ .
Ответ: ∑	,
n=0	(2n)!

2.Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью

d, используя разложение в степенной ряд соответствующим образом по-

добранной функции. е, d = 0,0001.

Ответ: 2,7183. 3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.

0,25∫ ln (1 + x )dx .

Ответ: 0,070.

285

4.Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения диффе-

ренциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена

этого разложения).	y′ = xy + e y , y (0) = 0 .
	Ответ: y = x +	1	x2 +	2	x3 + ...

	2		3

5.Методом последовательного дифференцирования найти первые k

членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравне-

ния при указанных начальных условиях.

y′ = arcsin y + x ,							y (0) =			1		,	k = 4.
y′ = arcsin y + x ,							y (0) =					,	k = 4.
									2
Ответ: y =	1	+	πx	+	1	1	+	π			2	+	1	2	+	2π	+	π2		3	+ ...
									x										x
									x										x
	2												6	3		9		27 3
	2		6 2					3 3					6	3		9		27 3

6.Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ω = 2π ) функцию

f(х), заданную на отрезке [−π; π] .

( ) 0,

f x = −x 1,

−π ≤ x < 0, 0 ≤ x ≤ π.

Ответ:

f ( x) =	π − 2 − 2 ∑ cos((2k −1) x)				+	π − 2 ∑ sin ((2k − 1) x)		− ∑ sin (2kx) .
			∞			∞		∞
			k =1			π k =1
	4	π	k =1	(2k −1)2		π k =1	2k − 1	k =1 2k

Вариант 2

1. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x), указать область сходимо-

сти f ( x) = x3 arctg x .

∞	(−1)n−1 x2n+2	x	≤ 1.
Ответ: ∑	,
n=1	2n − 1

2.Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью

δ, используя разложение в степенной ряд соответствующим образом по-

добранной функции. 5250 , δ = 0,001.

Ответ: 3,017.

286

3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.

1	x2
∫
	arctg	2	dx .
0		2

Ответ: 0,162. 4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения диффе- ренциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена

этого разложения).

y′ = x2 y2 +1, y (0) = 1.

Ответ: y = 1 + x + 1 x3 + ...

5. Методом последовательного дифференцирования найти первые k членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравне- ния при указанных начальных условиях.

′	= xy + ln ( y + x),	y (1) = 0 , k = 5.
y

Ответ: y = ( x − 1)2 + ( x −1)3 + ( x −1)4 + ...

6.Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ω = 2π ) функцию

f(х), заданную на отрезке [−π; π] .

f ( x) = 2x − 1, −π ≤ x ≤ 0,

0 < x ≤ π.

cos((2k −1) x)

2(π + 1)

Ответ:

∞

f ( x) = − π + 1

∑

sin ((2k −1) x)

− ∑

sin (2kx)

(2k −1)2

π k =1

k =1

2k −1

k =1

Вариант 3

1. Разложить в ряд Маклорена функцию

f(x), указать область сходимо-

сти f ( x) = sin x2 .

Ответ:

∞

(−1)n−1 x4n−2

< ∞ .

∑

n=1

(2n − 1)!

2. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью δ, используя разложение в степенной ряд соответствующим образом по- добранной функции. sin 1, δ = 0,00001.

Ответ: 0,84147.

287

0,2

∫ xe− xdx .

Ответ: 0,054. 4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения диффе- ренциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена

этого разложения). y′ = x2 − y2 , y (0) = 1 . 2

Ответ: y = 1 − 1 x + 1 x2 + ...

2 4 8

′	= x + y	2	,	y (0) = 1, k = 3.
y

Ответ: y = 1 + x + 3 x2 + ...

6.Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ω = 2π ) функцию

−π ≤ x < 0, 0 ≤ x ≤ π.

π + 4 ∑ sin ((2k −1) x)			Ответ:
		+ ∑ sin (2kx) .
∞		∞
π k =1
	2k −1	k =1 2k

Вариант 4

1.Разложить в ряд Маклорена функцию f(x), указать область сходимо-

сти f ( x) =	x2	.

1	+ x

∞	(−1)n xn+2 ,		< 1.
Ответ: ∑	(−1)n xn+2 ,	x	< 1.
n=0

288

2.Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью

δ, используя разложение в степенной ряд соответствующим образом по-

добранной функции.

1,3

, δ = 0,001.

Ответ: 1,140.

0,5∫ arctg x dx .

0 x

Ответ: 0,487. 4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения диффе- ренциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

y′ = x3 + y3 , y (0) = 1 . 2

Ответ: y = 1 + 1 x + 3 x2 + ...

2 8 64

′	= x +	1	, y (0) = 1 , k = 5.
′
y
		y
			Ответ: y = 1 + x +	x3	−	x4	+ ...
			Ответ: y = 1 + x +		−		+ ...
		3			3

6.Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ω = 2π ) функцию

f(х), заданную на отрезке

[−π; π] .

f ( x) = −x

−π ≤ x ≤ 0,

0 < x ≤ π.

Ответ:

∞

π + 1

∞

sin (2kx)

f ( x) = π + 1

−

∑

cos((2k −1) x)

−

∑

sin ((2k −1) x)

+ ∑

π k =1

(2k −1)2

k =1

2k −1

k =1

289

Вариант 5

1.Разложить в ряд Маклорена функцию f(x), указать область сходимо-

сти f ( x) = cos 2x3 . 3

∞	(-1)n × 22n x6n	x	< ¥ .
Ответ: ∑	,
n=0	32n (2n)!

2. Вычислить указанную величину приближенно с заданной точностью d, используя разложение в степенной ряд соответствующим образом по-

добранной функции. arctg π , d = 0,001. 10

Ответ: 0,304. 3. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001.

0,2

∫ x cos xdx .

Ответ: 0,059. 4. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения диффе- ренциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения). y′ = x + y2 , y (0) = -1.

Ответ: y = -1 + x - 1 x2 + ...

′

′′

′′′

(0) =1, k = 7.

= xy + y x

y(0) = y

(0) = y

Ответ:

y = 1 + x +

4x6

+ ...

6.Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ω = 2π ) функцию

f(х), заданную на отрезке [-p; p] .
		0,
f ( x) = x		-1,

	2
	2

-p £ x < 0, 0 £ x £ p.

π − 4 ∑ sin ((2k −1) x)			Ответ:
		− ∑ sin (2kx) .
∞		∞
2π k =1
	2k −1	k =1 4k

290

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3329 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20155.38 Mб53умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб54умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб62умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб42умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб52умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб100умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf