14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды

нию функции в этих точках. Если х = х0

– точка разрыва I рода, то

S ( x0 ) =

f ( x0

− 0)

+ f ( x0 + 0)

.

2

Если функция

f(х) –

четная,

то она раскладывается в ряд Фурье

только по косинусам, тогда

a

=

2

π

f ( x)dx

, a

=

2

π f ( x)cos nx dx , bn = 0.

∫

n

0

π

π

∫

0

0

Если функция

f(х) –

нечетная, то она раскладывается в ряд Фурье

только по синусам, тогда

a0 = 0,

an = 0,

b

=

2

π f ( x)sin nx dx .

n

π

∫

0

1. Обучающий пример 1

(решает преподаватель у доски).

−3π

−2π

−π

0

π

2π

3π

х

1

π

1

π

1

2

π

1

(π2 + π2 ) = 2π ;

a0 =

∫ f ( x)dx =

∫

( x + π)dx =

x

+ πx

=

π

π

π

−π

−π

π

2

−π

1

π

1

π

u = x + π,

dv = cos nx dx

an

=

∫

f ( x)cos nx dx =

sin nx

=

π

π

du = dx,

v =

−π

−π

n

=

1

( x + π)sin nx

π

−

1

π

= (так как sin nπ = 0 n ) =

∫ sin nxdx

π

n

n

−π

−π

1

π

1

(cos nπ − cos nπ) = 0 .

=

=

πn2

πn2

−π

u = x + π,

dv = sin nx dx

b

=

1

π

f ( x)sin nx dx =

1

π

( x + π)sin nx dx =

=

π

∫

π

∫

v = −

cos nx

n

du = dx,

−π

−π

n

Ответ: π −

2

∞

cos(2n −1) x

∞

(−1)n−1

sin nx

∑

+ 3∑

;

4

π n=1

(2n −1)2

n=1

n

2) Разложить в ряд Фурье функцию f ( x) = −x

при − π < x ≤ 0,

0

при

0 < x ≤ π.

Построить графики данной функции и суммы ряда.

π

∞

(−1)n −1

(−1)n

Ответ:

+ ∑

cos nx +

sin nx .

πn

4

2

n

n=1

∞

(−1)n+1

sin nx

Ответ: 2 ∑

.

n=1

n

образом

f ( x) = −1

при − π < x < 0,

Разложить ее в ряд Фурье.

1

при

0 ≤ x ≤ π.

Ответ: f ( x) =

4

sin 3x

sin 5x

sin x +

+

+ ... +

+ ... ;

(2n −1)

π

3

5

2)

f ( x) =

x

на [– π, π], 2π-периодическая. Разложить ее в ряд Фурье.

π

cos

(

2n −1 x

4

cos x

cos3x

Ответ: f ( x) =

−

+

+ ... +

)

+ ...

;

2

π

2

1

3

3) Найти

разложение

в

ряд

Фурье

функции

f ( x) = −2

при − π < x ≤ 0,

Построить графики данной функции и сум-

1

при

0 < x ≤ π.

мы ряда.

6 ∞

Ответ: f ( x) = −

1

+

1

sin (2n −1) x .

n∑=1

2

π

2n −1

а)

разложить

в ряд Фурье

2π-периодическую

функцию

f ( x) = π + 2x

при − π < x ≤ 0,

−π

при

0 < x ≤ π.

Ответ: − π +

∞

2

cos(2n −1) x −

1

2 ∑

sin nx

;

π(2n −

1)

2

2

n

n=1

б)

разложить функцию y = x2

на (0, π) в ряд только по синусам.

∞

(

)

2

3

((

)

2

∑

π +

)

Ответ:

−1 n+1

2

−1

n −1

sin nx ;

π n=1

π

n

в)

разложить функцию y = x3

на [–

π, π] в ряд Фурье.

∞

)

3

− π

2

∑(

Ответ: 2

−1

n

6

sin nx .

n=1

n

n

образом

∞

f ( x) =

a

nπ

nπ

0

+ ∑

an cos

x + bn sin

x

,

2

n=1

ℓ

ℓ

an

=

1

∫ℓ

f ( x)cos

nπ

x dx ,

ℓ

−ℓ

ℓ

b

=

1

ℓ

f ( x)sin

nπ

x dx .

∫

n

ℓ

ℓ

−ℓ

Если в ряд Фурье раскладывается четная функция, то

a =

2

ℓ f ( x)dx

,

a

=

2

ℓ f

( x)cos

nπ

x dx ,

bn = 0,

n

0

ℓ

∫

ℓ

∫

ℓ

0

0

а если нечетная функция, то

а0 = 0,

аn

= 0,

b

=

2

ℓ

f ( x)sin

nπ

x dx .

∫

n

ℓ

ℓ

0

2.

Обучающий пример 1

(решает преподаватель у доски).

Найти разложение в ряд Фурье функции

y = x2 на

[−ℓ,ℓ] .

Решение. Функция y = x2

–

четная, поэтому bn = 0.

a =

2

ℓ

f ( x)dx =

2

ℓ x2 dx =

2

x3