Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Пальчик_Теория вероятностей

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2410 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

12.3. Определение. Медианой выборки {x1, …, x n}, в которой значе-

ния СВ X расположены в порядке возрастания, называют значение X, на-

ходящееся в середине выборки. Если n = 2m + 1, то xm+1 = Me , если

n = 2m, то xm + xm+1 = Me . 2

Значение выборки, имеющее наибольшую частоту, называется мо-

дой выборки и обозначается Mo .

Если рассматривается интервальный статистический ряд, то среди

частичных интервалов одинаковой длины тот интервал считается модаль-

ным, который имеет наибольшую частоту значений СВ X.

12.4.

Лемма.

s2B = xB2 - (

)2 ,

(12.7)

s2 = x2

- (

)2 ,

(12.7¢)

где

x2 =

∑x2

∑x2.

n i=1

N i=1

2 ) =

О. s2 =

∑(x -

)2 =

∑(x2

- 2x ×

n i=1

∑x2 -

× 2 ×

× ∑x

∑

= x2

× n ×

- 2

= x

- (

)2.

n i=1

i =1

Аналогично доказывается и (12.7¢).

Ä.

12.5. Лемма. Для ВС (12.2) имеет место соотношение

∑(xi

) = 0 .

(12.8)

i=1

О. ∑(x -

) = ∑x

- n ×

∑x - n ×

∑x

= 0. Ä.

i =1

i=1

i =1

n i=1

12.6. Теорема. Пусть X1,..., Xn - независимые в совокупности и оди-

наково распределенные СВ, причем M(Xi) = m и D( Xi ) = s2 "i =1, n . Пусть

X= 1 ( X1 +K + X n ) . Тогда n

M (

) = m, D(

) = s2 / n .

(12.9)

О. Из свойства МО 6.13.2, 6.13.3, 6.13.4, 6.13.5 и свойств дисперсии

6.14.3 и 6.14.6 получаем:

M (

) =

M ( X1

+K + X n ) =

(M ( X1) +K + M ( X n )) =

× n × m = m .

) =

D( X1

+ K + X n ) =

(D( X1) +K + D( X n )) =

× n × s2 = s2

/ n .Ä.

В соглашении 11.1 мы отметили, что выборка

x1,..., xn

(12.10)

является реализацией n-мерной СВ (X1,..., Xn). Но тогда из определений 12.2 и 12.3 следует, что и каждая числовая характеристика выборки будет являться реализацией этой СВ.

12.7.Замечание. Ясно, что от выборки к выборке (см. (11.2) число- вая характеристика выборки может менять свои значения. То есть, число-

вые характеристики выборки сами являются случайными величинами, за- висящими от выборки, в то время как числовые характеристики ГС явля-

ются константами (так как ГС единственна).

12.8.Определение. СВ U, зависящую от выборки, называют выбо-

рочной функцией (или статистикой) и обозначают

U = U(x1,..., xn)	(12.11)
или иногда
U = U(X1,..., Xn).	(12.12)

12.9. Замечание. Примерами выборочных функций являются число-

вые характеристики выборки ( xB , s2B , Me, Mo и другие), так как для раз-

личных выборок объема n они могут принимать различные значения, вы- числяемые по формулам (12.5), (12.6) или по правилам, указанным в п. 12.3.

Влекции 11 отмечено, что главной задачей анализа эксперимента E является подбор подходящего закона распределения F(x) для изучаемого признака X.

Внашем распоряжении имеется только n измеренных значений X,

которые были получены во время n-кратного повторения E в одинаковых условиях.

По виду полигона частостей или гистограммы можно сделать пред- положение о виде функций f(x) и F(x). Например, если гистограмма, по- строенная на основании выборки (12.10), «вписывается» в кривую Гаусса, то в качестве F(x) для E можно взять функцию

		1		x
F (x) = F (x, m, σ) =		1		∫ e−(t −m)2 / 2σ2 dt .
F (x) = F (x, m, σ) =				∫ e−(t −m)2 / 2σ2 dt .
	σ		2π −∞

После выбора подходящей функции в качестве F(x) требуется на ос- новании выборки (12.10) оценить хотя бы приближенно значения входя-

щих в выбранную функцию параметров. Например, в случае X N(m, σ)

надо приближенно указать значения параметров m и σ.

12.10.Замечание. Из соглашения 11.1 и теоремы 8.11. следует

(и в том их значение!), что функцию F(x, m, σ) чаще других можно прини- мать за приближенную модель E, описываемого СВ X.

Итак, пусть вид функции распределения для СВ X из E указан. Пусть

Θ − один из неизвестных параметров, фигурирующих в этой функции. Следующий шаг состоит в том, чтобы подобрать подходящую выбороч- ную функцию (12.11) таким образом, чтобы выполнялось равенство

Θ ≈ U(x1, …, x n).

(12.13)

Тогда число Θ = U (x1,K, xn ) , где x1,..., xn есть выборка (12.10), назы-

вается точечной оценкой параметра Θ.

Интервальной оценкой параметра Θ называется пара чисел Θ1 и Θ2 ,

таких, что Θ Θ1, Θ2 .

Теория оценок исходит из того, что нужна наилучшая оценка пара-

метра Θ. Поэтому выработаны определенные требования к оценкам.

12.11. Определение. Оценка Θ = U (x1,K, xn ) называется несмещен-

ной (т.е. без систематических ошибок одного знака) для Θ, если M (Θ) = Θ .

Величину B = M (Θ) − Θ называют смещением оценки.

Несмещенность оценки означает, что при ее использовании в одних случаях будет Q < Q , в других - Q > Q , но в среднем Q » Q .

12.12. Пример. xB является несмещенной оценкой для M(X). То есть

M (

) = M ( X ) =

(12.14)

О. В силу соглашения 11.1 выборка x1,..., xn рассматривается как реа-

лизация СВ (X1,... Xn), в которой компоненты Xi , i =1, n , независимы и оди-

наково распределены (как и СВ X).

Поэтому

M ( Xi ) = M ( X ) = m =

, и

ввиду 12.9

M (x

) = M (

∑x ) = M (

∑ X

) = M ( X )

= m = x

n i=1

n i =1

по теореме 12.6. Ä.

12.13. Определение.

эффективной,

Оценка

называется

если

) принимает минимальное значение по сравнению со всеми другими

оценками

12.14. Пример.

является эффективной оценкой для M(X).

О. Рассуждаем как в предыдущем

примере. Тогда

при

D( Xi ) = D( X ) = s02 , i =

, по теореме 12.6 ввиду 12.7 имеем:

1, n

) = D(

) = s02 / n = D( X ) / n .

(12.15)

Все другие оценки будут иметь большие дисперсии. Например,

) = D(( X k + X k +1) / 2) = (1/ 4) × 2D( X ) , если n = 2k.

Если n = 2k+1, то D(

) = D( X k ) = D( X ) = s02 .

Ä.

12.15. Определение.

Оценка

= U (x1,K, xn )

называется состоя-

тельной для параметра Q, если при увеличении числа испытаний она схо-

дится по вероятности к оцениваемому параметру Q, то есть

< e) =1.

lim P(

Q -

(12.16)

n→∞

12.16. Пример. xB является состоятельной оценкой для M(X).

О. По соглашению 11.1 выборка (12.10) рассматривается как одна из реализаций СВ (X1,..., Xn), в которой компоненты Xi , i =1, n , независимы и

распределены одинаково (так же,

как и X). Поэтому M ( Xi ) = M ( X ) =

для любого i =

. Поэтому по (8.8) имеем lim P(

X1 +K + X n

< e) =1.

1, n

n→∞

X1 + K + X n

Но

на выборке (12.10) принимает значение

. Поэтому

< e) =1 и выполняется условие (12.16) для

= M ( X ) .

Ä.

lim (

n→∞

12.17. Определение. Исправленной выборочной дисперсией называ-

ют величину

2 =

)2 .

∑

(x -

(12.17)

n -

1 B

n -1i=1

12.18. Теорема. S 2 является несмещенной оценкой для дисперсии

D(X) СВ X в ГС, а s2B является состоятельной оценкой для дисперсии D(X)

СВ X в ГС.

О. По соглашению 11.1 выборка (12.10) рассматривается как одна из реализаций СВ (X1,..., Xn), в которой Xi , i =1, n независимы и распределены одинаково (как X). В частности, M ( Xi ) = M ( X ) = x0 и M ( Xi2 ) = M ( X 2 ) (ввиду определения 6.1).

M(X) легко вычислить, используя сгруппированный ряд для ГС СВ X

(12.1).

X	x1	...	xk
Частости	M1/N	...	Mk/N			(12.18)
			k		Mi
Из (12.18) вычисляем, что M ( X ) = ∑x				×	Mi	=	x	.
Из (12.18) вычисляем, что M ( X ) = ∑x				×		=	x	.
			i		N	0
			i=1		N
По определению 6.1 из (12.18) получаем закон распределения для X2:
X2	x12		xk2
X2	x12	...	xk2
Частости	M1/N	...	Mk/N			(12.19)

Откуда M ( X 2 ) = ∑x2

∑M

= x2

. Тогда и

i=1

N i =1

i i

M ( X 2 ) = M ( X

2 ) = x2 .

(12.20)

Далее, ввиду 12.7, можно вычислить M (

= M (

) +

M (x

= M

(

+ 2(

)

= (6.25) =

= M (

)2 + 2M (

)

+ M (

2 ) =

(12.21)

=12.7, (6.16), 6.13.2 = M (xB - x0 )2 + 2x0M (xB - x0 ) + x0 2 =

=D(xB ) + 2x0 (M (xB ) - x0 ) + x0 2 = D(xB ) + x0 2.

Здесь мы учли, что по (12.14) M (

) =

и поэтому M (

) =

= M (

) - M (

) =

= 0 и что ввиду 12.7 и определения (6.18)

= D(

M (

) .

(12.22)

Теперь из (12.7) получаем

- (xB )

M (sB )

= M xB

= M (xB )

- M (xB )

= (12.21)

= M (

X12 +K + X n2

) - D(

) -

= (12.20) =

(12.23)

/n =

n-1

s2 .

× n × x2

- D(

) = (12.7¢), (12.15) = s2

- s2

Из (12.23) легко видеть, что

M (

× s2B ) =

n −1

s02 = s02 .

(12.24)

n -1

Равенство (12.24) показывает, что исправленная выборочная диспер-

× s2B =

2 является несмещенной оценкой для s02 = D( X ) .

сия

n -1

Из (12.6) и (12.4)

видно, что при n ® N s2B ® s02 . Но тогда при

n ® ¥ тем более будет иметь место

lim P(

s02 - s2B

< e) =1.

(12.25)

n→∞

(12.25) означает, что s2B есть состоятельная оценка для s02 ввиду оп-

ределения 12.15. Ä.

13.Методы нахождения точечных оценок: метод наибольшего правдоподобия,

метод моментов, метод наименьших квадратов

Метод максимального правдоподобия (МП-метод) предложен в 1912 году английским статистиком Р. Фишером.

Пусть ГС имеет плотность распределения f(x, Q), зависящую от не- известного параметра Q. Например, пусть СВ Х, изучаемая в ГС, имеет распределение Пуассона P(X = k) = lke−λ / k !. Здесь в качестве Q фигури- рует параметр l.

Пусть из ГС произведена выборка объема n и в результате n измере- ний Х получены результаты

x1, ..., xn .

(13.1)

По соглашению 11.1 выборка (13.1) есть одна из реализаций СВ (X1,..., Xn ), компоненты которой независимы и имеют один и тот же закон распределения (такой, как Х, т.е. f(x, Q)).

Рассмотрим вероятность того, что составляющие СВ (X1 ,..., Xn ) при- мут значения, равные наблюдаемым (13.1).

L = P(X1 = x1, …, X n = xn) = P(X1 = x1, Θ)… P (Xn = xn, Θ) =

n	= xi ,Θ).
= ∏ P( Xi	= xi ,Θ).	(13.2)

i=1

Для НСВ (X1 ,..., Xn ) эта вероятность выразится с помощью плотно- сти распределения:

n
L = f (x1,K, xn ) = f (x1,Θ)K f (xn ,Θ) = ∏ f (xi ,Θ).	(13.3)

i=1

Правая часть (13.2) или (13.3) отражает независимость компонент у

СВ (X1 ,..., Xn ).

L называют функцией правдоподобия.

Идея МП-метода состоит в том, чтобы в качестве оценки параметра

Θ в (13.3) или (13.2) подобрать такое число Θ = f (x1,K, xn ) , при котором наблюдаемые значения СВ Х (13.1) были бы наиболее вероятны или, дру-

гими словами, функция L достигла бы максимума в точке Θ (≈ Θ).

Из дифференциального исчисления известно, что функция (13.3) может достигать экстремума только в точке, которую можно найти из ус- ловия

f	'	(x ,K, x ) = 0.		(13.4)
	Θ	1	n

13.1. Замечание. Если требуется по МП-методу определить оценки r параметров, то в (13.2), (13.3) вместо Θ пишут (Θ1, …, Θr).

(13.4) превратится в систему из r уравнений:

f		'		(x ,¼, x ,Q ,¼,Q				) = 0
		Θ		1	n 1	r
			1
									(13.5)
LLLLLLLLLLLL									(13.5)
f		'		(x ,¼, x ,Q ,¼,Q			) = 0 .
	Θ		r	1	r 1	r
			r

Среди решений системы (13.5) выбирается то, которое дает макси- мальное значение функции правдоподобия L.

13.2. Замечание. Поскольку экстремум функций L и ln L достигает-

ся при одних и тех же значениях аргументов (Q1, …, Qr), то иногда для уп- рощения расчетов пользуются функцией ln L . Тогда система (13.5) будет иметь вид:

∂ ln L = 0, i =		.	(13.6)
	1, r
¶Qi

МП-метод дает состоятельные и эффективные оценки, если послед- ние существуют.

Недостатком МП-метода является то, что оценки иногда являются смещенными и их приходится исправлять введением поправок. Кроме то- го, система (13.6) может оказаться сложной для решения.

13.3. Примеры функций правдоподобия.

13.3.1. X Î N(m, s) (см. 7.6).

В этом случае для точечных оценок параметров m и s используется функция правдоподобия

					n	( x −m)2
					∑	( x −m)2
				−	i=1	i
		n	1		i=1
		n
		L = ∏ f (xi , m, s) =		× e		2σ2	,	(13.7)

			(s 2p)n
		i=1	(s 2p)n
где xi , i =		– наблюдавшиеся значения СВ X из (13.1), n –						объем выбор-
где xi , i =	1, n	– наблюдавшиеся значения СВ X из (13.1), n –						объем выбор-
ки (13.1).

13.3.2. Если Х имеет показательное распределение (5.22), то для оценки параметра λ функцию правдоподобия определяют по формуле

			n
		n	−λ ∑ xi
		L = ∏ f (xi ,λ) = λne i=1 ,		(13.8)
		i=1
где xi , i =		– значения Х из (13.1), n –	объем выборки.
где xi , i =	1, n	– значения Х из (13.1), n –	объем выборки.

13.3.3. Если ДСВ Х распределена по закону Пуассона (5.7), то для оценки параметра λ по результатам выборки (13.1), которая после группи- ровки принимает вид

Xi	x1	x2	...	xk
mi	m1	m2	...	mk	k	(13.9)
					∑mi	= n ,
					i =1
				99

используется функция правдоподобия

	k
	∑ mi xi
n	li=1	× e−nλ .
L = ∏ f (xi ,l) =	(x1!)m1 (x2 !)m2 K(xk !)mk	× e−nλ .	(13.10)
i=1	(x1!)m1 (x2 !)m2 K(xk !)mk

13.3.4. Если ДСВ Х имеет биномиальное распределение (5.2) и (5.1), то для оценки параметра р по результатам наблюдавшихся значений Х, указанных в таблице (13.9), используют функцию правдоподобия

	k
n	∑ mi xi
L = ∏ f (xi , p) = (Cnx1 )m1	× (Cnx2 )m2 K(Cnxk )mk × pi=1
i=1

n2	k
	− ∑ m x
× (1 - p)	i	i
	i=1	. (13.11)

Можно видеть, что функции (13.7), (13.8), (13.10), (13.11) сконструи-

рованы из соответствующих законов (7.6), (5.22), (5.7), (5.2) с помощью

(13.3) и (13.1).

13.4. Пример. Пусть СВ Х имеет распределение Пуассона

P(X = x) = lxe-λ/x!, x = 0, 1, …, n.

По результатам наблюдавшихся значений (13.1) требуется оценить параметр l этого распределения.

О. Запишем функцию правдоподобия для нашего случая (см. (13.10):

lx1

−λ lx2

lxn

∑ xi

L =

× e

−λ

× e

−λ

li=1

× e

−λn

x1!

x2 !

xn !

x1!x2 !Kxn !

Найдем такое значение l = l(x1, …, x n), при котором L достигает мак- симума или, что равносильно, когда lnL достигает максимума.

n	n
ln L = -n l + ∑xi ln l - ∑ln xi ! .
i=1	i=1

Экстремум достигается в критической точке, которую находим из условия

(ln L)'

1 n

= 0, т.е. -n + ∑x

- 0 = 0 или ∑x

= n,

l =

∑x

= x

i=1

i l

i =1 i l

n i =1

Ответ: за оценку

параметра l принимаем

Ä.

xB.

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2410 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб48умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб39умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб37умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб43умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб44умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб50умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб32умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб42умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб90умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf