Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Пальчик_Теория вероятностей

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2422 23 24 > Следующая >>>

По таблице значений функции распределения Пуассона находим значения вероятностей Pi (по параметрам λ и i).

Вычисляем аналитические частоты по формуле (16.1) m′i = 50·Pi . Составляем расчетную таблицу (табл. 4):

							Таблица 4
xi	mi	Pi	m′i	mi − m′i	(mi − m′i)2		(mi − mi′)2
xi	mi	Pi	m′i	mi − m′i	(mi − m′i)2		mi′
							mi′
0	26	0,4493	22,465	3,535	12,4962	0,5562

1	14	0,3595	17,975	– 3,975	15,8006	0,8790

2	4	0,1438	7,19	– 3,19	10,1761	1,4153

3	6	0,0383	1,915	4,025	16,2006	8,4598

Σ	50		49,545			Χ2эмп = 11,31

По таблице критических точек распределения χ2 при уровне значи- мости α = 0,05 и числе степеней свободы s = l – p – 1 = 4 − 2 = 2 находим χ2кр(0,05; 2) = 6,0. Так как χ2эмп > χ2кр , гипотеза о распределении генераль- ной совокупности по закону Пуассона отвергается.

Для наглядности построим гистограмму. Гистограмма дискретного распределения строится следующим образом: на оси Ox откладываются отрезки длины (xi – 0,5; xi + 0,5), на них строятся прямоугольники с высо- той, равной mi. На гистограмме для сравнения построен график теоретиче- ского распределения, т.е. точки с координатами (xi; mi’ ), соединенные от- резками прямых (рис. 1).

Рис.1.

На рисунке хорошо видно расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами, подтверждающее вывод задачи. Ä.

211

Задачи для самостоятельного решения

1. Отдел технического контроля проверил n = 200 партий одинако- вых изделий и получил следующее эмпирическое распределение (в первой строке указано количество xi нестандартных изделий в одной партии; во второй строке − частота mi , т.е. количество партий, содержащих xi нестан- дартных изделий):

xi	0	1	2	3	4

mi	132	43	20	3	2

Требуется, при уровне значимости α = 0,05, проверить гипотезу о том, что случайная величина X − число нестандартных изделий – распре- делена по закону Пуассона.

Ответ: χ2эмп = 9,27; гипотезу отвергаем.

2. Для определения засоренности партии семян клевера семенами сорняков было проверено 1000 случайно отобранных проб и получено сле- дующее эмпирическое распределение (в первой строке указано количество xi семян сорняков в одной пробе; во второй строке − частота mi , т.е. число проб, содержащих xi семян сорняков):

xi	0	1	2	3	4		5	6
mi	405	366	175	40	8		4	2

Требуется, при уровне значимости α =					0,01,	проверить гипотезу о

распределении генеральной совокупности (числа семян сорняков) по зако- ну Пуассона.

Указание. Объединить малочисленные частоты двух последних групп.

Ответ: χ2эмп = 9,27; гипотезу принимаем.

3. В результате проверки 500 контейнеров со стеклянными изделия- ми установлено, что число поврежденных изделий X имеет следующее эм- пирическое распределение (в первой строке указано количество xi повреж-

денных изделий в одном контейнере; во второй строке −								частота mi , т.е.
число контейнеров, содержащих xi поврежденных изделий):

	xi	0	1	2	3	4	5	6	7

	mi	199	169	87	31	9	3	1	1

					212

Требуется, при уровне значимости α = 0,01, проверить гипотезу о распределении генеральной совокупности (числа поврежденных изделий) по закону Пуассона.

Ответ: χ2эмп = 8,38; гипотезу принимаем.

4. В результате эксперимента, состоящего из n = 1000 испытаний, в каждом из которых регистрировалось число xi появлений некоторого со- бытия, получено следующее эмпирическое распределение:

xi	0	1	2	3	4	5
mi	505	336	125	24	8	2

Требуется, при уровне значимости α = 0,05, проверить гипотезу о том, что случайная величина X − число появлений события − распределена по закону Пуассона.

Ответ: χ2эмп = 10,29; гипотезу отвергаем.

17. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию χ2 Пирсона

Пусть имеется эмпирическое распределение из равноотстоящих ва-

риант и соответствующих им частот (табл. 1).

Таблица 1

X	x1	x2	…	xk

m	m1	m2	…	mk

Проверку гипотезы о нормальном распределении проводят следую-

щим образом:

1) вычисляются теоретические частоты по формуле

mi′ =	n × h	× j(zi ) ,	(17.1)

	sв

где n – объем выборки; h – шаг, равный разности между двумя соседними вариантами; σв – выборочное среднее квадратичное отклонение;

213

x −

zi =

;

(17.2)

σв

× e−

z 2

− среднее выборочное; φ(z) =

находится по табл. 1;

2) по формуле (16.2) вычисляется величина χ2эмп = Σ(mi - mi¢)2 ; mi¢

3) вычисляется число степеней свободы s = k – p – 1, где k – число различных значений xi; p = 2 – число неизвестных параметров нормального закона распределения

				−	( x−a)2
f(x) =	1		× e		2σ	2

						;	(17.3)
	s
		2p
4) выбирается уровень значимости					α (чаще всего		α = 0,05 или

α= 0,01);

5)по таблице критических точек распределения χ2 (прил. 5) находит- ся χ2кр(s, α).

Если χ2эмп < χ2кр, гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается, в противном случае − отвергается.

Если вариационный ряд − непрерывный, то проверку гипотезы о нормальном распределении проводят по следующей схеме:

1) вычисляются x и σв , причем вместо вариант xi берутся середины интервалов, т.е.

ˆ	= (xi + xi+1)/2;	(17.4)
xi

2)нормируется случайная величина X по формуле (17.2), при этом наименьшее значение Z приравнивается к − ∞, а наибольшее − к ∞;

3)вычисляются теоретические вероятности попадания случайной ве- личины Z в интервал (zi; zi+1)

P(zi < Z < zi+1) = Φ(zi+1) − Φ(zi),

(17.5)

где Φ(z) = 1 ∫e− z 2 / 2dz − функция Лапласа, которая находится по табли-

2p 0

це значений функции Φ(x) (прил. 2);

214

4)вычисляется χ2эмп ;

5)по таблице критических точек распределения χ2 (прил. 5) находит-

ся χ2кр(s, α) и сравнивается с χ2эмп .

Замечание. Если в первых или последних интервалах разбиения час-

тоты окажутся меньше 5, то такие интервалы следует объединить с сосед-

ним и сложить частоты в объединяемых интервалах.

17.1. Пример. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимо-

сти α = 0,05 установить, согласуется ли гипотеза о нормальном распреде-

лении генеральной совокупности с данными выборки объемом n = 200 из

текущей продукции автомата, обрабатывающего валики (табл. 1).

Таблица 1

xi	0,3	0,5	0,7	0,9	1,1	1,3	1,5	1,7	1,9	2,1	2,3

mi	6	9	26	25	30	25	22	24	20	8	5

О. При решении используется формула (13.12) из лекции 13 для вычисления эмпирического начального момента k-го порядка:

νk* = xk =

× ∑xk .

(17.6)

i =1

Находим

и σв2 по методу произведений:

= ν1*h + C;

(17.7)

σв2 = (ν2* − (ν1*)2)·h2,

(17.8)

где C − условный нуль; h −

шаг, т.е. разность между двумя соседними ва-

− C

× ∑miui

риантами; ui =

, ui −

условные варианты; ν1

= u – ус-

n i =1

ловный начальный момент первого порядка, среднее из условных вариант;

ν2* =	1	n	2
		× ∑m u		− условный начальный момент второго порядка; C = 1,1,
			i
	n	i
		i =1

так как наибольшую частоту mi = 30 имеет варианта xi = 1,1; h = 0,2.

Для удобства вычислений составим табл. 2.

215

Таблица 2

xi	mi	ui	miui	miui2

0,3	6	– 4	– 24	96

0,5	9	– 3	– 27	81
0,7	26	– 2	– 52	104
0,9	25	– 1	– 25	25
1,1	30	0	0	0
1,3	25	1	25	25
1,5	22	2	44	88
1,7	24	3	72	216

1,9	20	4	80	320
2,1	8	5	40	200
2,3	5	6	30	180
Σ	200		163	1335

Отсюда ν1* = 163/200 = 0,815; ν2* = 1335/200 = 6,675; x = 0,815·0,2 + 1,1 = 1,263;

σв2 = (6,675 − (0,815) 2)·(0,2)2 = (6,675 − 0,664) ·0,04 = 0,240;

σв = 0,240 = 0,490; nh/σв = 200·0,2/0,49 = 81,6.

Составляем таблицу для вычисления теоретических частот mi′ и χ2эмп

(табл. 3).

								Таблица 3
				x −			mi′ =	(mi − mi′ )2
			zi =		x
xi	mi	xi – x			x	φ(zi)
				σ в
							= 81,6·φ(zi)	mi′
							= 81,6·φ(zi)	mi′
0,3	6	– 0,963	– 1,965			0,0578	4,72	0,347

0,5	9	– 0,763	– 1,557			0,1182	9,64	0,042

0,7	26	– 0,563	– 1,149			0,2089	17,05	4,70

0,9	25	– 0,363	– 0,741			0,3031	24,73	0,0055

1,1	30	– 0,163	– 0,333			0,3778	30,83	0,0223

1,3	25	0,037	0,075			0,3977	32,45	1,71

1,5	22	0,237	0,484			0,3555	29,01	1,70

1,7	24	0,437	0,892			0,2685	21,91	0,199

1,9	20	0,637	1,300			0,1714	13,97	2,60

2,1	8	0,837	1,708			0,0925	7,55	0,027

2,3	5	1,037	2,116			0,0422	3,44	0,71

Следовательно, χ2эмп = 12,06.

216

Вычисляем число степеней свободы s = 11 − 3 = 8, так как k = 11, p – 1 = 3. Находим χ2кр(s, α) при α = 0,05. χ2кр = 15,5.

Так как χ2эмп < χ2кр, то гипотеза о нормальном распределении гене- ральной совокупности согласуется с данными выборки. Ä.

Замечание. Интервалы не объединялись, т.к. эмпирические частоты первого и последнего интервалов не меньше 5.

17.2 Пример. Используя критерий хи-квадрат, при уровне значимо- сти α = 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности Х с эмпирическим распределением выборки объема п = 50, приведенной в табл. 4.

										Таблица 4
3,6		3,8	5,1	5,4	5,9	6,3	6,3	6,6	6,7	6,8

7,0		7,0	7,1	7,2	7,3	7,3	7,4	7,4	7,8	7,8

7,8		7,8	7,9	8,0	8,1	8,2	8,3	8,3	8,4	8,4

8,4		8,5	8,5	8,5	8,5	8,7	8,7	8,8	8,9	9,4

9,5		9,6	9,7	9,8	10,3	10,6	10,6	10,9	11,1	11,3

	О. Вычислим число интервалов разбиения выборки по формуле
					k ≈ 1 + 3,32·lg n.					(13.7)

k ≈ 1 + 3,32·lg 50 = 1 + 3,32·1,7 = 6,64. Следовательно, выборку можно раз- бить на 6 или 7 интервалов. Пусть, к примеру, k = 7, тогда длина интервала

h =	xmax − xmin	=	11,3 − 3,6	= 1,1.
	k
		7

Составим расчетную таблицу для вычисления x и σв (табл. 5).

Таблица 5

i	xi	xi+1	xˆ i	mi
1	3,6	4,7	4,15	2

2	4,7	5,8	5,25	2

3	5,8	6,9	6,35	6

4	6,9	8,0	7,45	13

5	8,0	9,1	8,55	16

6	9,1	10,2	9,65	5

7	10,2	11,3	10,75	6

Σ				50

217

		=	1	7 ˆ			1
			1				1
Найдем x по формуле x								(4,15·2 + 5,25·2 + 6,35·6 +
Найдем x по формуле x		50		∑xi mi =				(4,15·2 + 5,25·2 + 6,35·6 +
		50		1		50
+ 7,45·13 + 8,55·16 + 9,65·5 + 10,75·6) = 403,3/50 = 8,066.
2				2		1		7	ˆ	2		2		1		2
2				2		1			ˆ	2	mi − (x)	2		1		2
Найдем σв	по формуле σв				=			∑(xi )					=		[(4,15)	·2 +
Найдем σв	по формуле σв				=	50		∑(xi )					=	50	[(4,15)	·2 +
						50		1						50

+(5,25)2·2 + (6,35)2·6 + (7,45)2·13 + (8,55)2·16 + (9,65)2·5 + (10,75)2·6] – − (8,066) 2 = 67,633 − 65,060 = 2,573. σв = σв2 = 1,60.

Построим полигон частот (рис. 1).

3,6 4,7 5,8 6,9 8,0 9,1 10,2 xi

Рис. 1

Вид полигона частот не про- тиворечит гипотезе о нормальном распределении. Не противоречат данной гипотезе и значения число- вых характеристик, так как они

удовлетворяют							правилу «трёх
сигм»,			по			которому интервал
(		−3 σв;			+	3σв)	покрывает всю
	x			x
выборку				(доказать самостоятель-

но).

Для нахождения χ2эмп и окон- чательной проверки гипотезы соста- вим расчетную таблицу (табл. 6).

Таблица 6

									(m	i	− m′ )2
mi	zi	zi+1		Φ(zi)		Φ(zi+1)	Pi	mi′= 50·Pi		i	i
mi	zi	zi+1		Φ(zi)		Φ(zi+1)	Pi	mi′= 50·Pi			m′
											i

2	– ∞	– 2,10		– 0,5	– 0,4821		0,0179	0,895

2	– 2,10	– 1,42	– 0,4821			– 0,4222	0,0599	2,995

6	– 1,42	– 0,73	– 0,4222			– 0,2673	0,1549	7,745	0,2298

13	– 0,73	– 0,04	– 0,2673			– 0,0160	0,2513	12,565	0,0151

16	– 0,04	0,65		– 0,0160	0,2422		0,2582	12,910	0,7396

5	0,65	1,33	0,2422		0,4082		0,1660	8,30	1,3120

6	1,33	+ ∞	0,4082		0,5		0,0918	4,59	0,4331

							Σ = 1	Σ = 50	Σ = 2,73

Следовательно, χ2эмп = 2,73.

218

При расчете χ2эмп были объединены первые два интервала с третьим и сложены эмпирические частоты m1 и m2 c частотой m3, а также теорети-

ческие частоты m'	и m'	c	m' , так как частоты m1, m2	и m'	, m'	меньше 5.
1	2		3	1	2
Получилось m1 = 10, m'		= 11,635; число интервалов равно 5. Число степе-
	1
ней свободы s = 5 – 2 – 1 = 2;			χ2кр(2, 0,05) = 5,99.

Так как χ2эмп < χ2кр, то гипотеза о нормальном распределении гене- ральной совокупности согласуется с эмпирическим распределением вы- борки. Ä

Задачи для самостоятельного решения

1. Пользуясь критерием Пирсона, при уровне значимости α = 0,05 ус- тановить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генераль- ной совокупности с данными выборки объемом n = 200.

xi	5	7	9	11	13	15	17	19	21
mi	15	26	25	30	26	21	24	20	13

Ответ: распределение является нормальным.

2. Используя критерий хи-квадрат, при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупно- сти Х с эмпирическим распределением выборки объема п = 100, приведен- ной в таблице.

1,034	1,022	1,042	1,031	1,049	1,033	1,056	1,037	1,050	1,025

1,053	1,026	1,037	1,056	1,041	1,035	1,031	1,046	1,021	1,054

1,029	1,038	1,027	1,043	1,035	1,030	1,049	1,055	1,039	1,034

1,026	1,039	1,033	1,020	1,042	1,050	1,025	1,037	1,041	1,029

1,035	1,039	1,043	1,031	1,038	1,023	1,045	1,026	1,037	1,042

1,030	1,041	1,021	1,047	1,026	1,046	1,033	1,038	1,053	1,035

1,022	1,045	1,034	1,055	1,037	1,025	1,033	1,051	1,027	1,045

1,025	1,047	1,030	1,050	1,023	1,039	1,035	1,049	1,030	1,047

1,041	1,051	1,027	1,046	1,029	1,038	1,042	1,020	1,039	1,031

1,049	1,054	1,039	1,034	1,051	1,029	1,046	1,023	1,038	1,043

Ответ: распределение является нормальным.

219

18. Корреляционная зависимость. Уравнение линейной регрессии.

Выборочный коэффициент корреляции

Статистическая зависимость (лекция 16, определение 16.2), при ко- торой изменение одной величины влечет изменение среднего значения другой, называется корреляционной зависимостью.

Условным средним yx называется среднее арифметическое значе-

ние Y при X = x. Если каждому значению x соответствует одно значение условной средней, то зависимость условной средней yx от x является функцией от x.

Корреляционной зависимостью Y от X называется функциональная зависимость условной средней yx от x: yx = f(x) (лекция 16, формула

(16.7).

Уравнение (16.7) называется уравнением регрессии Y на X. Функция f(x) называется регрессией Y на X, а ее график − линией регрессии Y на X.

Уравнение прямой линии регрессии Y на X имеет вид

S y

(формула (16.24).

yx −

y = rxy

(x −

x )

Аналогично, уравнение прямой линии регрессии X на Y

y −

= rxy

(y −

)

(формула (16.25),

S y

где

x ,

y −

условные средние;

− выборочные средние признаков

X и Y ; Sx, Sy −

исправленные выборочные средние квадратичные отклоне-

ния признаков X и Y; rxy − выборочный коэффициент корреляции.

Величины rxy

S y

и rxy

называются линейными коэффициентами

S y

регрессии и обозначаются ρy/x и ρx/y .

Если значения X и Y заданы в виде корреляционной таблицы с равно-

отстоящими вариантами (табл. 1), то выборочный коэффициент корреля-

ции определяется по формуле

∑n

x y

rxy =

n ij

rxy

≤ 1.

(18.1)

S x S y

220

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2422 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб49умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб40умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб38умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб44умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб45умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб51умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб33умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб43умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб91умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf