14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Пальчик_Теория вероятностей

На практике правило «трех сигм» применяют следующим образом: предположим, что неизвестно распределение СВ X, но все наблюдаемые значения СВ X лежат в интервале ]m - 3σ; m + 3σ[, тогда есть основание полагать, что X распределена нормально.

График плотности распределения вероятностей, задаваемой форму-

лой (7.6), называют нормальной кривой, или кривой Гаусса.

Функция (7.6) может быть исследована с помощью дифференциаль- ного исчисления. При этом легко установить следующие ее свойства.

7.10. Свойства f(x).

7.10.1. Функция (7.6) имеет область определения (– ∞; + ∞). 7.10.2. f(x) > 0.

7.10.3. lim f (x) = 0 , т.е. асимптотой кривой Гаусса является ось Ox.

x→±∞

Если σ увеличивается, то максимальная ордината уменьшается.

7.10.5.Кривая Гаусса симметрична относительно прямой x = m.

7.10.6.Кривая Гаусса имеет две точки перегиба с координатами

7.10.7. Площадь фигуры, ограниченной кривой Гаусса, равна 1 (свойство любой плотности распределения f(x)) (рис. 7.1 и 7.2).

61

7.10.8. Если изменять m = M(X), то при σ = const кривая будет сме- щаться вдоль оси Ox (рис. 7.3.).

f (x)

x

Рис. 7.3

График функции Ф*(x) имеет вид, представленный на рис. 7.4.

Ф*(x)

1

0,75

0,5

0,25

x

0

Рис. 7.4

7.11. Замечание. Если X и Y – независимые СВ, распределенные нормально, то СВ X ± Y также распределена нормально.

В самом деле, из решения примера 6.2 следует, что СВ (Y) распреде- лена нормально (a = – 1 , b = 0). А из 4.2 в [3, с. 122 – 123] следует, что то- гда СВ X ± Y распределена нормально, причем МО

М(X ± Y) = M(X) ± M(Y), D(X ± Y) =D(X) + D(Y).

62

8. Понятие о законе больших чисел.

Понятие о центральной предельной теореме ТВ (ЦПТТВ)

Пусть E – опыт, в котором нас интересует признак X, или СВ X. При однократном проведении Е нельзя заранее сказать, какое значение примет X. Но при n-кратном повторении E «среднее» значение величины X (сред- нее арифметическое) теряет случайный характер и становится близким к некоторой константе.

Точно так же суммарное поведение значений n СВ X1, X2, ..., Xn ста- новится закономерным при соблюдении некоторых условий.

Знание этих условий позволяет поэтому прогнозировать «среднее» значение этих СВ X1, ..., Xn.

Изучение таких условий производится в ряде теорем ТВ, носящих

63

8.3. Следствие

8.4. Следствие (правило 3-х сигм для произвольного распреде- ления)

O. Полагаем в (8.3) ε = 3σX и учитываем, что e2 = 9, s2X = 9D( X ). Ä. 8.5. Пример. Диаметр изготавливаемых деталей 10 мм. Разрешается допуск Dl = ± 0,1 мм. Какова вероятность, что взятая изготовленная деталь

бракована, если s2X = 0,0025 ?

О. Пусть Х – размеры детали. По условию М(Х) = 10 мм, e = 0,1,

D(X)= 0,0025. По (8.2) P(| X -10 |> 0,1) £ 0,0025 = 0,25. Ä. 0,01

8.6. Теорема Чебышева (закон больших чисел). Пусть

{X n}, n =1, ¥ - последовательность попарно независимых СВ, дисперсии которых ограничены одним и тем же числом C = const. Пусть каждая СВ Xi имеет МО M ( Xi ) = ai , i =1, n.Тогда для любого e > 0 имеет место

64

Теперь из следствия 8.3 получаем, что

Но вероятность не может быть больше 1. Поэтому в (8.7) знак нера- венства исключается. Поэтому (8.7) на самом деле есть (8.5). Ä.

8.7. Замечание. Обычно пользуются частным случаем теоремы

8.8. Замечание. Теорему Чебышева 8.7 можно понимать и так: можно считать, что дана одна СВ X, которая измеряется (испытывается) n раз; случайное значение i-го испытания определяет СВ Xi. Тогда разность

между X1 + K+ X n и a (истинным значением X) мала при n ® ¥, то есть n

1 n

a » n i∑=1 Xi .

8.9. Теорема Бернулли. Пусть k – количество появлений события A в n испытаниях схемы Бернулли, причем вероятность наступления A в каждом испытании p = const. Тогда

65

т.е.

Но в ТВ существует ряд теорем, в которых указываются условия, при которых закон распределения суммы большого числа СВ X1 + K+ X n близок к нормальному. Впервые одна из таких теорем была сформулирова- на и доказана русским математиком А.М. Ляпуновым (1857 – 1918). Эти теоремы называют центральными предельными теоремами ТВ.

8.10. (ЦПТТВ). Теорема. Пусть

{Xn} = {X1,…, X n, … }–

последовательность независимых и одинаково распределенных СВ с оди- наковыми математическими ожиданиями m = M(Xn ) и одинаковыми дисперсиями s2 = D(Xn ) "n. Тогда закон распределения СВ

Æ

8.10. ЦПТТВ (упрощенный вариант). Если СВ X есть сумма боль-

шого числа независимых СВ, влияние каждой из которых на всю сумму мало, то X имеет закон распределения, близкий к нормальному.

66

9. Понятие многомерной СВ. Распределение вероятностей многомерных дискретных СВ. Функция распределения непрерывной многомерной СВ. Плотность распределения непрерывной многомерной СВ

Пусть эксперимент Е имеет вероятностную модель (W, F, P). Если каждому элементарному событию w Î W ставится в соответствие n дейст- вительных чисел X1(w), ..., Xn(w), то говорят, что Е описывается n-мерной СВ (X1, ..., Xn).

9.1. Пример. Пусть Е состоит в изготовлении детали в форме па- раллелепипеда на станке. Тогда каждой изготовленной детали (w) можно поставить в соответствие следующие четыре признака: X1(w) – длина дета- ли, X2(w) – ширина детали, X3(w) – высота детали, X4(w) – вес детали. Та- ким образом, Е описывается 4-мерной СВ (X1, ..., X4 ), принимающей раз- личные возможные значения.

Составляющие (компоненты) X1,K, X n n-мерной СВ ( X1,K, X n ) яв- ляются одномерными СВ, рассматриваемыми совместно в некотором экс- перименте.

Пусть сначала n = 2.

По аналогии с функцией распределения одномерной СВ (F(x)=P(X<x)) можно определить функцию F(x, y), равную вероятности то- го, что в результате опыта компонента Х приняла значения, меньшие дей- ствительного числа х, и в то же время компонента Y приняла значения, меньшие y Î R:

Из рис. 9.1. видно, что функция F(x, y) выражает вероятность попа- дания точки (х, у) в заштрихованную область (квадрант с вершиной (х, у)).

В частности, с помощью F(x, y) можно вычислить вероятность попа-

67

Аналогично

i=1

Если в (9.5) i пробегает значения от 1 до n, то получаем распределе-

ние компоненты Х. Его называют маргинальным распределением компо-

ненты Х. Аналогично получается и маргинальное распределение компо- ненты Y.

9.2. Определение. Функцией распределения непрерывной k-мерной СВ (Х1, ..., Хk ) называется вероятность появления события {X1 < x1 Ç X2 < x2 Ç … Ç Xk < xk }, рассматриваемая как функция переменных x1, ..., xk

9.3. Свойства F(x, y).

9.3.1. 0 £ F(x, y) £ 1 "(x, y) Î WXY. 9.3.2. x2 > x1 F(x2, y) ³ F(x1, y);

y2 > y1 F(x, y2 ) ³ F(x, y1 ),

т.е. F(x, y) является неубывающей по каждому аргументу (доказательство на основании рис. 9.1.).

Доказательство. Докажем последнее равенство. В самом деле,

lim F (x, y) = P(x < ∞, y < ∞) = 100 % = 1.

x→∞ y→∞

9.3.5.При y = ¥ F(x, y) = F1(x) = FX(x). При x = ¥ F(x, y) = F2(y) = FY(y).

О. F(x, ¥)= P(X < x, Y < ¥)= P(X < x) = F1(x). Ä.

Любая функция со свойствами 9.3.1 – 9.3.5 является функцией рас- пределения некоторой СВ (X, Y).

69

Для дискретной СВ (X, Y) имеем

xi < x y j < y

где суммирование производится по всем тем точкам (xi, yj ), для которых одновременно xi, < x и yj <y.

9.4. Определение. СВ (X, Y) называется абсолютно непрерывной, ес- ли ее функция распределения F(x, y) абсолютно непрерывна, т.е. сущест- вует некоторая функция f(x, y), называемая плотностью распределения вероятностей (X, Y) такая, что

Вероятностный смысл f(x, y)

Рассмотрим вероятность попадания значений СВ (X,Y) в прямо- угольник со сторонами x, y. По аксиоме ЗК

P(x £ X < x + D x Ç y £ Y < y + D y) = F (x + D x, y + D y) -

(9.10)

-F (x + D x, y) - F (x, y + D y) + F (x, y) (рис. 9.3.).

y

y+ y

x

Рис. 9.3

70