14-es_1 / Высшая математика (РТФ) / умк_Пальчик_Теория вероятностей

Задачи для самостоятельного решения

1.Сколько четырехзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, содержат цифру «4» (цифры в числе не повторяются)?

Ответ: 360.

2.Двадцать человек разбиты на четыре группы по пять человек в ка-

ждой. Сколько может быть различных составов групп?

Ответ: 20!/(5!)4.

3.Сколько существует вариантов выбора трех дежурных из группы,

всоставе которой тридцать студентов?

Ответ: 4060.

4.Сколько существует вариантов составления расписания занятий на один день (три пары) при выборе из 10-ти дисциплин?

Ответ: 720.

5.Сколькими способами можно расставить 8 книг на полке?

Ответ: 40320.

6.Из группы, в составе которой 12 девушек и 18 юношей, надо вы- брать делегацию таким образом, чтобы среди делегированных оказалось 4 девушки и 5 юношей. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 4241160.

7.Сколькими способами можно составить букет из трех цветков раз- ного цвета при наличии 5-ти цветков красного цвета, 4-х – розового и 6-ти – белого цвета?

Ответ: 120.

2. Элементарные события. Операции над событиями. Частота и относительная частота

При решении задач будем использовать такие понятия, как незави- симость, совместность событий, сумма, произведение, разность элемен- тарных событий (см. лекцию 1). Рассмотрим примеры решения задач.

2.1. Пример. Пусть A, B, C – три произвольных события. Найти вы- ражения для следующих событий:

1.D1 – «произошли все три события».

2.D2 – «произошло хотя бы одно событие (не менее одного события)».

3.D3 – «произошло только одно из трех событий».

4.D4 – «произошло два и только два события».

141

5.D5 – «произошло хотя бы два события (не менее двух событий)».

6.D6 – «ни одно событие не произошло».

7.D7 – «произошло не более двух событий».

O.

1. Т.к. событие D1 состоит в том, что произошли все три события од- новременно, то по определению произведения (пересечения) событий по- лучим:

D1 = ABC.

2. По определению суммы (объединения) событий получим:

D2 = A + B + C.

3. Событие состоит в том, что какое-то одно из трех событий про- изошло (наступило), но при этом оставшиеся два не произошли; перебирая все возможные варианты, получим:

D3 = ABC + ABC + ABC .

Здесь событие ABC состоит в том, что событие A наступило, а собы-

тия B и C не наступили. События B,C означают, что события B и C не на- ступили (события, противоположные событиям B и C). Второе слагаемое – наступление события B и не наступление событий A и C. Аналогично, третье слагаемое – наступление события C и не наступление событий A и B. Поскольку мы говорим, что возможен один из трех рассматриваемых вариантов, то событие D3 равно сумме трех слагаемых.

4. Событие D4 состоит в том, что какие-то два события наступили, при этом третье событие не наступило. Как и для события D3, перебирая различные варианты, получим:

D4 = ABC + ABC + ABC .

5. Событие D5 – « произошло хотя бы два события», т.е. либо два со- бытия наступили, либо все три (не менее двух). Другими словами, насту- пило событие D4 или событие D1:

D5 = D4+D1.

Событие D5 можно записать иначе:

D5 = AB+AC+BC.

142

6. D6 – « ни событие А не наступило, ни B не наступило, ни C не на- ступило, т.е. все три события не наступили»:

D6 = ABC .

7. Событие D7 – « произошло не более двух событий», т.е. либо ни одно не произошло (событие D6), либо одно событие произошло (событие D3), либо два события произошли (событие D4), т.е.:

D7 = D6 + D3 + D4.

Очень часто бывает удобно сначала найти выражение для события,

противоположного искомому. Например, событие D7 состоит в том, что наступило более двух событий, т.е. наступили все три события (событие D1). Тогда:

D7 = D1, D7 = D1 .

Аналогично, для события D2 противоположным будет событие D6 – «наступило менее одного события», т.е. ни одно не наступило:

D2 = D6 , D2 = D6 .

2.2.Пример. Опыт состоит в том, что бросают две монеты – медную

исеребряную. Рассматриваются следующие события:

D1 – « герб выпал на медной монете»;

D2 – « цифра выпала на медной монете»;

D3 – « герб выпал на серебряной монете»;

D4 – « цифра выпала на серебряной монете»;

D5 – « выпал хотя бы один герб»;

D6 – « выпала хотя бы одна цифра»;

D7 – « выпал один герб и одна цифра»;

D8 – « не выпало ни одного герба»;

D9 – « выпали два герба».

Какие из этих событий равны следующим событиям:

143

O. Построим пространство элементарных событий:

Ω = {Г1Г2, Г1Ц2, Ц1Г2, Ц1Ц2} = {w1, w2, w3, w4}.

Здесь Г1 – « выпадение герба на медной монете», Ц1 – « выпадение цифры на медной монете», Г2 – « выпадение герба на серебряной монете», Ц2 – « выпадение цифры на серебряной монете».

Тогда:

D1 = { Г1Г2 , Г1Ц2} = { w1, w2} ; D2 = { Ц1Г2 , Ц1Ц2} = { w3, w4} ; D3 = { Ц1Г2 , Г1Г2} = { w3w1} ; D4 = { Г1Ц2 , Ц1Ц2} = { w2 , w4} ;

D5 = { Г1Г2 , Г1Ц2 , Ц1Г2} = { w1, w2 , w3} ; D6 = { Ц1Ц2 , Г1Ц2 , Ц1Г2} = { w4 , w2 , w3} ;

D7 = { Г1Ц2 , Ц1Г2} = { w2 , w3} ; D8 = { Ц1Ц2} = { w4} ;

D9 = { Г1Г2} = { w1} .

1) т.к. сумма (объединение) событий – это множество элементарных исходов, благоприятствующих появлению хотя бы одного из событий, то:

D1 + D3 = { w1, w2} U { w3, w1} = { w1, w2 , w3} = D5 ;

2) т.к. произведение (пересечение) событий – это множество элемен- тарных исходов, благоприятствующих одновременному появлению собы-

тий, то: D1 × D3 = { w1, w2} I { w3, w1} = { w1} = D9 ;

Аналогично:

3)D5 × D6 = { w1, w2 , w3} I { w4 , w2 , w3} = { w2 , w3} = D7 .

4)D7 + D5 = { w2 , w3} U { w1, w2 , w3} = { w1, w2 , w3} = D5 .

5)D1 × D5 = { w1, w2} I { w1, w2 , w3} = { w1, w2} = D1 .

6)D2 × D4 = { w3, w4} I { w2 , w4} = { w4} = D8 .

7)D5 × D9 = { w1, w2 , w3} I { w1} = { w1} = D9 .

8)D2 + D4 = { w3, w4} U { w2 , w4} = { w2 , w3, w4} = D6 .

2.3. Пример. В книге 100 страниц. Найти частоту и относительную частоту появления страниц с номерами, оканчивающимися на цифру 5.

O. Для решения задачи используем понятие частоты и относи-

тельной частоты (лекция 1, (1.4).

144

Выпишем номера страниц, которые оканчиваются на цифру 5: 5, 15, 25,…, 95. Очевидно, что количество таких страниц будет равно десяти. Т.о., частота появления события А – « появилась страница с номером, окан- чивающимся цифрой 5» будет равна m = 10.

Тогда относительная частота события W(A) = 10/100 = 0,1.

Задачи для самостоятельного решения

1.По мишени производится три выстрела. Рассматриваются собы- тия: Ai – « попадание при i-м выстреле», i = 1, 2, 3. Выразить через Ai сле- дующие события:

D1 – « все три попадания»; D2 – « все три промаха»;

D3 – « хотя бы одно попадание»; D4 – « хотя бы один промах»; D5 – « не менее двух попаданий»;

D6 – « не более одного попадания»;

D7 – « попадание в мишень не раньше третьего выстрела»; D8 – « только одно попадание».

2.Прибор состоит из двух блоков. Первый блок состоит из трех од- нотипных деталей и работает при исправности хотя бы двух из них. Вто- рой блок состоит из четырех однотипных деталей и работает при исправ- ности не менее трех деталей. Весь прибор работает, если работают оба

блока. Выразить через события Ai – « исправна i-я деталь первого блока» (i = 1, 2, 3), Bj – « исправна j-я деталь второго блока» следующие события:

A – « первый блок работает»;

B – « первый блок не работает»;

C – « второй блок работает»;

D – « второй блок не работает», H – « прибор работает»;

F – « прибор не работает».

3. Назовите события, противоположные следующим событиям: A – « выпадение двух гербов при бросании двух монет»;

B – « появление белого шара (опыт состоит в вынимании одного шара из урны, в которой лежат белые, красные и черные шары)»;

C – « три попадания при трех выстрелах»;

D – « не более двух попаданий при пяти выстрелах»;

F – « хотя бы два попадания при пяти выстрелах».

145

3. Классическая и геометрическая вероятности

При решении задач будем пользоваться классическим определением вероятности события A (лекция 2, (2.4):

геометрическим определением вероятности (лекция 2, (2.5):

= m( A) P( A) m(W) .

3.1. Пример. В партии из 20 изделий три изделия являются брако- ванными. Для контроля выбираются 15 изделий. Найти вероятность того, что из 15 изделий два окажутся бракованными.

O. Обозначим событие A – « среди 15-ти выбранных изделий два из- делия окажутся браком, а 13 изделий – годными. Выбор 13-ти изделий из 20-ти можно осуществить n способами, где

Число исходов, благоприятствующих появлению события A:

Вероятность появления события A равна:

= m = 7140 »

P( A) 0,46. n 15504

Ответ: 0,46.

3.2. Пример. На отдельных карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Все карточки тщательно перемешаны, после чего наудачу выни- мают четыре из них и раскладывают в ряд друг за другом. Какова вероят- ность получить при этом: а) число 1234?; б) нечетное число?

146

O.

а) здесь элементарное событие – появление четырехзначного числа с различными цифрами. Т.к. расположение цифр в числе – существенно, т.е. даже при одинаковом наборе цифр, но разном их расположении будем по- лучать разные числа, то число элементарных исходов будет равно:

n = A94 = 9 ×8 × 7 × 6 = 3024 .

Число благоприятных исходов, а именно: появлений цифр 1,2,3,4, расположенных в виде 1234, будет равно m = 1.

б) число будет нечетным, если последняя цифра в нем нечетная, не- зависимо от того, какие первые три цифры. В этом случае элементарное событие – появление последней цифры.

Последней может оказаться любая из 9-ти цифр, поэтому число всех исходов n = 9.

Благоприятствующие исходы появления цифр 1, 3, 5, 7, 9 m = 5 .

P ( B) = m = 5 . n 9

Ответ: а) 1/3024; б) 5/9.

3.3. Пример. В ящике лежат 12 белых и 8 красных шаров.

а) вынули два шара. Какова вероятность того, что они разного цвета? б) вынули восемь шаров. Какова вероятность того, что три из них –

красные?

O.

а) число элементарных событий – количество вариантов выбора двух элементов из множества, содержащего 12 + 8 = 20 элементов. Т.к. в данном случае не существенно, в каком порядке расположены элементы в каждом наборе, то для подсчета элементарных исходов используем сочетания:

147

Благоприятствующие события – вынули один шар красного цвета, другой – белого. Один шар красного цвета можно выбрать 8-ю способами (из 8-ми красных), один белый – 12- ю способами (из 12-ти белых). По ос-

новному принципу перечисления

m = 12 × 8 = 96.

Тогда: P( A) = m = 96 »0,51; n 190

б) число элементарных исходов:

n = C8 = 20! =125970 . 20 8!×12!

Благоприятствующие исходы – среди 8-ми взятых шаров три шара

Ответ: а) 0,51; б) 0,35.

3.4. Пример. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает в среднем 1,5 % брака, второй – 1 %, третий – 0,9 %. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого ав- томата поступило 2000 деталей, со второго – 1500, с третьего – 1000.

O. Число всех возможных исходов – общее количество деталей, по- ступивших на сборку, т.е.

n = 2000 + 1500 + 1000 = 4500.

Число благоприятствующих исходов – общее количество бракован- ных деталей:

m = 2000·0,01·1,5 + 1500·0,01·1 + 1000·0,01·0,9 = 30 + 15 + 9 = 54.

Тогда P( A) = 54 = 0,012. 4500

Ответ: 0,012.

148

3.5. Пример. В окружность вписан квадрат. В круг наудачу бросает- ся точка. Какова вероятность того, что эта точка попадет в квадрат?

O. Из определения геометрической вероятности (лекция 2, (2.5)

элементарные события трактуем как точки, лежащие внутри окружности; благоприятствующие события – точки, лежащие внутри квадрата. Вероят- ность искомого события – отношение площади квадрата к площади ок- ружности:

P( A) = Sкв .

Sокр

Пусть радиус окружности равен R. Тогда диаметр окружности равен диагонали квадрата d = 2R.

Ответ: 0,64.

3.6. Пример. На отрезок АВ длиною 20 см наугад бросают точку М. Какова вероятность того, что площадь квадрата, построенного на АМ, бу- дет больше 16 см2 и меньше 36 см2?

O. Чтобы данное событие наступило, сторона квадрата должна быть больше 4-х и меньше 6-ти см, т.е. точка М должна быть удалена от точки А на расстояние от 4-х до 6-ти см. Здесь элементарные события – все точки отрезка АВ (отрезка [0; 20]), благоприятствующие – точки отрезка [4; 6]. Вероятность события – отношение длин отрезков, т.е.:

P( A) = 6 − 4 = 2 = 0,1. 20 20

Ответ: 0,1.

Задачи для самостоятельного решения

1. На 6-ти карточках написаны буквы Е, О, С, Н, Ц, Л. После перета- совки вынимают одну карточку за другой и располагают их в том порядке, в котором они были вынуты. Найти вероятность того, что при этом полу- чится слово «СОЛНЦЕ».

Ответ: 1/120.

149

2.30 экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Студент может ответить только на 40 вопросов. Какова веро- ятность того, что вынутый студентом билет содержит вопросы, на которые он может ответить?

Ответ: 0,44.

3.У сборщика 12 деталей, из них пять – первого вида, четыре – вто- рого и три – третьего. Какова вероятность того, что среди шести взятых одновременно деталей три окажутся первого вида, две – второго, и одна – третьего?

Ответ: 0,195.

4.Из колоды в 36 карт наугад берут 5 карт. Какова вероятность того, что среди них окажется один туз?

Ответ: 0,095.

5.Из 100 билетов, пронумерованных от 1 до 100, наугад берут два билета. Какова вероятность того, что их номера – числа, кратные пяти?

Ответ: 0,11.

6.Из 36 карточек с буквами алфавита наугад выбирают 3 карточки и раскладывают их в порядке их появления. Найти вероятность того, что эти карточки образуют слово «МИР».

Ответ: 0,0000305.

7.В окружность вписан правильный треугольник. В круг наудачу бросается точка. Найти вероятность того, что эта точка попадет в тре- угольник.

3 3

Ответ: 4π .

8. На окружности радиуса R зафиксирована точка A. Какова вероят- ность того, что случайно выбранная точка на окружности отстоит от точки A меньше, чем на R (вдоль линии окружности)?

1

Ответ: 2π .

9. У квадратного трехчлена x2 + ax + b коэффициенты a и b выбраны наудачу из отрезка [– 1; 1]. Какова вероятность того, что квадратный трех- член имеет действительные корни?

Ответ: 13/24 ≈ 0,542.

150