Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Пальчик_Теория вероятностей

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

3.75 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2421 22 23 24 > Следующая >>>

ln L достигает максимума, значит эти оценки являются МП-оценками па- раметров a и σ.

Первая оценка является несмещенной, вторая − смещенной. Ä.

13.5. Пример. Пусть x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4, x5 = 5 − выборка объ-

ема n = 5 из биномиально распределенной случайной величины. Найти МП-оценку параметра p. Показать, что она будет несмещенной.

О.Для биномиального распределения P(x, θ) ≡ P(x, p) =

=Сnx p x (1 − p)n − x , поэтому L(x1, x2, x3, x4, x5, p) =

=P(x1, p ) P(x2, p ) P(x3, p ) P(x4, p ) P(x5, p ) = Сnx1 p x1 (1 − p)n − x1 *

* Сnx2 p x2 (1 − p)n − x2 Сnx3 p x3 (1 − p)n − x3 Сnx4 p x4 (1 − p)n − x4 Сnx5 p x5 (1 − p)n − x5 =

= C51 C52 C53 C54 C55 p1 +2 +3 +4 +5(1 − p)4 +3 +2 +1+ 0 = C51 C52 C53 C54 C55 p15(1 −																											p)10.
				Отсюда ln L = ln(C51 C52 C53 C54 C55) + 15·ln p + 10·ln(1 − p).
				Находим производную по параметру p и приравниваем ее к нулю:
	d ln L			= 0 +				15	+	10	= 0; 15(1 − p) − 10 p = 0;					25p = 15;						p =	15			=		3			.
		dp						p 1		− p											25						5
				Таким образом, МП-оценка неизвестного параметра биномиального
распределения p −										вероятности «успеха» в одном испытании равна																			3			, но

																											5
	3	=	1		·	1	(1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) =					1	·		, а так как M(		1	·		) =	1	·M(			) =					1		·		,
														x					x					x									x
5
		5				5					5					5					5						5

данная оценка является несмещенной. Ä.

Задачи для самостоятельного решения

1. Даны результаты 8-ми независимых измерений одной и той же ве- личины (длины протяжки) прибором, не имеющим систематических оши-

бок (в мм): 363, 378, 315, 420, 385, 401, 372, 383.

Определить несмещенную оценку дисперсии ошибок измерений, если: а) номинальная длина протяжки M(x) = 375 см; б) номинальная длина неизвестна. (Ответ: а) S2 = 814,87; б) S2 ≈ 922).

201

2.Пусть x1 = 240, x2 = 258, x3 = 282 − число самолетов, прибывших в аэропорт с 12-ти до 14-ти часов дня соответственно в 1-й, 2-й и 3-й дни. Предположим, что число самолетов, прибывающих в аэропорт, есть слу- чайная величина X, имеющая распределение Пуассона с параметром 2λ, где λ − ожидаемое число самолетов, прибывающих в аэропорт в течение одного часа. Найти МП-оценку параметра λ. Показать, что полученная оценка является несмещенной, состоятельной и эффективной.

3.По выборке x1 = 19,1; x2 = 19,3; x3 = 19,2; x4 = 19,3; x5 = 19,4; x6 = 19,5 объема n = 6 найти МП-оценку неизвестного параметра θ нор- мального распределения N(a, 1) ( θ = a; σ = 1). Показать, что полученная

оценка является несмещенной и состоятельной.

4.Из продукции шариков для шарикоподшипников, произведенной на некотором заводе за час, выбрали 20 шариков. Измерение их диаметров дало следующие результаты: 5,05; 5,01; 5,25; 4,97; 4,99; 5,03; 4,97; 5,13;

5,02; 4,90; 5,01; 4,75; 4,95; 4,98; 5,05; 5,02; 4,88; 5,00; 5,04; 4,96 мм.

При предположении, что диаметр имеет нормальное распределение с неизвестными средним и дисперсией, построить МП-оценку для этих па- раметров.

5. Пусть x1 = 3, x2 = 4, x3 = 5, x4 = 6, x5 = 7, x6 = 8, x7 = 9 – выборка объема n = 7 из биномиально распределенной случайной величины. Найти МП-оценку параметра p. Показать, что она будет несмещенной.

14.Контрольная работа

1.В результате n испытаний величина X приняла значения, указан- ные в таблице.

x	7 + k	7,3 + k	7,9 + k	8,2 + k	8,6 + k	9,1 + k	9,5 + k

m	5 + b	9 + b	11 + b	15 + b	10 + b	6 + b	4 + b	n = 60 + 7b

Предполагается, что CВ X распределена по нормальному закону

				−	( x−a)2
	1
			× e		2σ	2
					2σ	2
f(x, a, σ) =						.
	s
	s	2p

202

Методом максимального правдоподобия найти оценки a и σ.

k –	номер варианта;
b −	1 для вариантов 1 – 6,	2 для вариантов 7 – 12,	3 для вариантов 13 – 18,
	4 для вариантов 19 – 24,	5 для вариантов 25 – 30.

2. В результате n испытаний величина X приняла значения, указан- ные в таблице.

1 + k

2 + k

3 + k

4 + k

5 + k

6 + k

7 + k

8 + k

12 + b

20 + b

13 + b

10 + b

6 + b

3 + b

2 + b

1 + b

n = 65 + 8b

Предполагается, что CВ X распределена по закону Пуассона

a x

−a

P(x, a) =

·e

Методом максимального правдоподобия найти оценку параметра a .

k –

номер варианта;

b −

0 для вариантов 1 – 9, 1 для вариантов 10 – 20,

2 для вариантов 21 – 30.

3. В результате n испытаний величина X приняла значения, указан-

ные в таблице.

1 + k

2 + k

3 + k

4 + k

5 + k

6 + k

13 + b

19 + b

23 + b

27 + b

18 + b

15 + b

n = 115 + 6b

Предполагается, что CВ X распределена по биномиальному закону.

P(x, p ) = Сnx p x (1 − p)n − x .

Методом максимального правдоподобия найти оценку неизвестного параметра p.

k −	номер варианта;
b −	1 для вариантов 1 – 5,	2 для вариантов 6 – 10,	3 для вариантов 11 – 15,
	4 для вариантов 16 – 20,	5 для вариантов 21 – 25,	6 для вариантов 26 – 30.

203

15. Интервальные оценки параметров распределения. Доверительные интервалы параметров нормального распределения

Доверительным интервалом для оцениваемого параметра θ является интервал ( θ *− ε, θ *+ ε ), который покрывает этот параметр с надежностью γ.

Интервальной оценкой M(x) нормально распределенной СВ Х при известном σ служит доверительный интервал

− t

< M(x) <

+ t

(15.1)

где t

= ε − точность оценки, n −

объем выборки, γ = 2Φ(t).

Если σ неизвестно и выборка малая, то интервал имеет вид:

− tγ

< a <

+ tγ

, a = M(x),

(15.2)

S = S 2 ; tγ находят из прил. 3 по заданным n и γ.

Интервальной оценкой σ нормально распределенной СВ Х служит интервал

S·(1 − q) < σ < S·(1 + q), q =	ε	;	(15.3)

	S

q находят из прил. 4 по заданным n и γ.

Методы нахождения интервальных оценок рассмотрены в лек- ции 15.

15.1. Пример. СВ Х распределена нормально со средним квадратич- ным отклонением σ = 2. Найти доверительный интервал для M(x) по дан-

ным выборки: n = 40,

= 1,6 с надежностью 0,95.

О. Так как σ известно, то доверительный интервал равен

− t

< M(x) <

+ t

, γ = 2Φ(t), t

= ε.

Имеем γ = 0,95,

n = 40, σ = 2, отсюда 0,95

= 2Φ

, т.е.

Φ( 10ε ). = 0,475. Из прил. 2 находим Φ(x) = 0,475 при x = 1,96.

204

Следовательно, 10e = 1,96, откуда точность оценки ε = 0,6. Таким образом, с надежностью 95 % имеем

1,6 – 0,6 < M(x) < 1,6 + 0,6 ,

т.е. неизвестное математическое ожидание заключено в интервале

1,0 < M(x) < 2,2. Ä

15.2. Пример. Из генеральной совокупности извлечена выборка объ- емом n = 15 (табл. 2):

						Таблица 2
x	–1	1	2	3	4	5

m	2	4	2	2	2	3

Найти доверительный интервал для M(x) с надежностью γ = 0,95.

О.Вычисляем выборочное среднее:

x= (−1 ·2 + 1·4 + 2·2 + 3·2 + 4·2 + 5·3)/15 = 35/15 = 2,33

иисправленное среднее квадратичное отклонение по формуле

S = S 2 , где S2 = n ·D*(x), т. е. n -1

S = ((2 × (-1)2 + 4 ×1 + 2 × 22 + 2 × 32 + 2 × 42 + 3 × 52 ) - (2,33)2 ) /14 = 3,09.

Из прил. 3 при γ = 0,95 и n = 15 (k = 14) находим tγ = 2,14.

Доверительный интервал вычисляем по формуле

− tγ

< M(x) <

+ tγ

, 2,33 − 2,14 ·

3,09

< M(x) < 2,33 + 2,14·

3,09

0,62 < M(x) < 4,04

с надежностью γ = 0,95.

15.3. Пример. Произведено 17 измерений некоторой величины од- ним прибором без систематической ошибки, причем исправленное среднее квадратичное отклонение S случайных ошибок измерений оказалось рав- ным 0,7. Найти точность прибора (среднее квадратичное ошибок измере- ний σ) с надежностью γ = 0,99, если результаты ошибок распределены нормально.

205

О. Воспользуемся формулой S(1 − q) < σ < S(1 + q).

При n = 17, γ = 0,99 из прил. 4 находим q = 0,66, значит

0,7·(1 − 0,66) < σ < 0,7·(1 + 0,66).

Таким образом, 0,238 < σ < 1,162 с надежностью γ = 0,99. Ä.

Задачи для самостоятельного решения

1. Определение скорости автомобиля с прицепом было проведено на мерном участке в 5-ти испытаниях, в результате которых вычислена оцен-

ка V = 52,22 км/ч. Найти доверительный интервал с надежностью 95 %, ес-

ли известно, что рассеивание скорости подчинено нормальному закону со

среднеквадратичным отклонением σ = 0,126 км/ч.

Ответ: (52,05 км/ч; 52,38 км/ч).

2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 12:

X	– 0,5	– 0,4	– 0,2	0	0,2	0,6	0,8	1	1,2	1,5

m	1	2	1	1	1	1	1	1	2	1

Найти доверительный интервал для математического ожидания нор-

мально распределенной генеральной совокупности, если доверительная вероятность γ = 0,95.

Ответ: (– 0,04; 0,88).

3. По данным выборки объемом n, извлеченной из нормально рас-

пределенной генеральной совокупности, найдено исправленное среднее квадратичное отклонение S. Определить доверительный интервал, покры-

вающий генеральное среднее квадратичное отклонение σ с надежностью γ = 0,999, если: а) n = 10, S = 5,1; б) n = 50, S = 14.

Ответ: а) (0; 14,28); б) (7,98; 20,02).

206

16. Критерий проверки нулевой гипотезы. Область принятия гипотезы. Критерий согласия. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона с помощью критерия Пирсона χ2 (хи-квадрат)

Статистической гипотезой называется всякое утверждение о пред- полагаемом законе неизвестного распределения или о параметрах извест- ного распределения.

Нулевой называется выдвинутая гипотеза, конкурирующей − гипоте- за, которая противоречит нулевой. В статистической оценке могут быть допущены ошибки.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правиль- ная гипотеза.

Ошибка второго рода − в том, что будет принята неправильная ги- потеза. Вероятность совершить ошибку первого рода обозначается буквой α и называется уровнем значимости. Чаще всего уровень значимости при- нимают равным 0,05 или 0,01.

Статистическим критерием или просто критерием называют слу-

чайную величину К, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Эмпирическим значением критерия К называется значение критерия

Кв , вычисленное по выборке.

Критической областью называется совокупность значений крите- рия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) на-

зывается совокупность значений критерия, при которых гипотезу прини- мают.

Критерием согласия называется критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Имеется несколько критериев согласия: χ2 Пирсона, Колмогорова, Смирнова и другие.

Подробнее о применении распределения χ2 говорится в лекции 14.

Для проверки нулевой гипотезы по критерию Пирсона:

а) находятся эмпирические частоты mi ; б) вычисляются теоретические частоты

m′i = n·Pi ,

(16.1)

где n = Σmi , Pi = P(x = i) – для дискретного распределения; Pi = P(xi ≤ x < xi+1) – для непрерывного распределения;

207

в) вычисляется статистика χ2эмп = Σ	(mi - mi¢)2	;	(16.2)

	mi¢
г) по таблице критических точек распределения χ2 при уровне значи-
мости α и числе степеней свободы s = k – p – 1, где k –			число различных

групп выборки, p − число неизвестных параметров распределения, нахо- дится χ2теор (или χ2кр );

д) сравниваются χ2эмп и χ2кр ; если χ2эмп < χ2кр , нулевая гипотеза при- нимается, в противном случае − отвергается.

Для проверки гипотезы о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона при уровне значимости α по критерию χ2 необходимо:

1.Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю x и выборочную дисперсию σв2.

2.Сравнить x и σв2.

3.Принять в качестве оценки параметра λ распределения Пуассона

P (x = i) = li × e−λ

(16.3)

выборочную среднюю λ = x .

4.Найти по формуле Пуассона (или по таблице прил. 6) вероятности Pi появления ровно i событий в n испытаниях (i = 0, 1, 2, ..., r, где r − мак- симальное число наблюдавшихся событий; n − объем выборки).

5.Найти теоретические частоты по формуле (12.1) и объединить ин- тервалы с частотами, меньшими пяти.

6.Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью кри- терия Пирсона, приняв число степеней свободы s = k – p – 1, где k – число различных групп выборки, p = 1.

7.Сделать вывод о принятии или не принятии гипотезы о распреде- лении генеральной совокупности по закону Пуассона.

16.1.Пример. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости

α= 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона с эмпирическим распределением выбор- ки объема n = 200 (табл. 1):

Таблица 1

X	0	1	2	3	4

m	120	52	22	4	2

208

О. 1. Найдем выборочную среднюю и выборочную дисперсию по

формулам (12.1) и (12.2):

				=	1	(52 + 44 + 12 + 8) = 0,58;
		x

	200
σв2 =	1		(52 + 4·22 + 9·4 + 16·2) – (0,58) 2 = 0,70.
	200

2.Выполнение с достаточно высокой степенью точности равенства

x≈ σв2 подтверждает правильность выбора нулевой гипотезы о распреде-

лении генеральной совокупности по закону Пуассонa.

3.Примем в качестве оценки параметра λ выборочную среднюю:

λ= 0,58. Следовательно, аналитическое выражение предполагаемого зако-

на Пуассона по формуле (16.3) имеет вид:

			(x = i) =				(0,58)i × e−0,58
	P										.
	P										.
	200						i!
							i!
4. Положив i = 0,	1,	2, 3,		4, найдем вероятности Pi появления ровно
i событий в 200 испытаниях:
P = P		(x = 0) =				(0,58)0 × e		−0,58
										=0,5599;
										=0,5599;
0	200						0!
							0!
P = P		(x =1) =			(0,58)1 × e−0,58				= 0,3247.
P = P		(x =1) =							= 0,3247.
1	200						1!
							1!
Аналогично, Р2 = 0,0942;				Р3 = 0,0182;				Р4 = 0,0026.
5. Найдем теоретические				частоты по формуле (16.1) m′i = n·Pi ;

m′0 = 111,98; m′1 = 64,94; m′2 = 18,84; m′3 = 3,64; m′4 = 0,52.

6. Для сравнения эмпирических и теоретических частот по критерию Пирсона составим расчетную таблицу (табл. 2), предварительно объединив малочисленные частоты (4 + 2 = 6; i = 4, соответствующее частоте m = 2,

считается случайным и исключается из рассмотрения) и соответствующие им теоретические частоты (3,64 + 0,52 = 4,16).

209

							Таблица 2
			′	′	′	2	(m - m¢)2
			′	′	′	2	i	i
	i	mi	m i	mi − m i	(mi − m i)
	i	mi	m i	mi − m i	(mi − m i)		mi¢
							mi¢
	0	120	111,98	8,02	64,3204		0,5744

	1	52	64,94	−12,94	167,4436		2,5784

	2	22	18,84	3,16	9,9856		0,5300

	3	6	4,16	1,84	3,3856		0,8138

	Σ	200					χ2эмп=4,50

	7. По таблице критических точек распределения χ2 при уровне зна-
чимости α = 0,05 и числе степеней свободы s = k – p – 1 = 4 − 2 = 2								нахо-

дим χ2кр(0,05; 2) = 6,0. Так как χ2эмп < χ2кр , нет оснований отвергнуть гипо- тезу о распределении генеральной совокупности по закону Пуассона. Ä.

16.2. Пример. В результате натурного обследования автостоянки од- ного из супермаркетов в г. Минске получены данные о прибытии легковых машин к месту парковки в интервале 15 мин. Определить основные харак- теристики эмпирического распределения и установить теоретический за- кон, который характеризует число прибывающих автомашин за период ∆t = 15 мин. Результаты обследования представлены в табл. 3.

Таблица 3

xi	0	1	2	3

mi	26	14	4	6

Здесь xi − число автомашин, mi − число интервалов ∆t = 15 мин, в ко- торые наблюдалось xi машин, объем выборки n = 50.

О. Средняя выборочная и выборочная дисперсия равны:

		=	1	(14 + 8 + 18) = 0,80;	σв2 =	1	(14 + 4·4+ 9·6) − (0,80) 2 = 1,04.
	x

50					50

Равенство x ≈ σв2 является первым признаком того, что анализируе- мая случайная величина может быть подчинена закону Пуассона.

Параметр λ = x = 0,8 и аналитическое выражение закона Пуассона имеет вид:

P (x = i) =	(0,8)i × e	−0,8
			.
			.
50	i!
	i!

210

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2421 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб49умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб40умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб38умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб44умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб45умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб51умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб33умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб43умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб91умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf