Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжский государственный технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник задач по высшей математике

.pdf

Скачиваний:

7448

Добавлен:

03.05.2015

Размер:

5.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 5840 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

y = f(x)

О a

b x

Рис. 89

Если f(x) ^ 0 при x G [a; fc], то

5	=	- J	f(x) dx.	(3.2)
Формулы (3.1) и (3.2) можно объединить в одну:
		ь
S	=	J	\f(x)\dx.	(3.3)

Площадь фигуры, ограниченной кривыми у = fi(x) и у = /2(2), причем fi(x) ^ /2(^0? прямыми х = а и х = Ь вычисляется по формуле

j{h{x)-h{x))dx.

(3-4)

Пусть криволинейная трапеция ограничена кривой х = <р(у), прямыми у = с, у = d и отрезком [c;d\ оси Оу. Тогда площадь этой трапеции вычисляется по формуле

a
S = J f(y) dy •	(3.5)

Если криволинейная трапеция ограничена сверху кривой, заданной

jX = x(t),	„«) > о,« е	„ря-
= » ,( *,) ,

мыми х = а, х = b и отрезком [a; Ь] оси Ох, то ее площадь вычисляется

по формуле

(3.6)

где и определяются из равенств а = x(£i), 6 =

390

Рис. 90

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением г = г(<р) и двумя лучами <р = а, tp = /3 (а < /3), вычисляется по формуле (см. рис. 90):

1 ?

S=-jr2{<p)dV. (3.7)

Отметим, что площадь всякой плоской фигуры, отнесенной к прямоугольной (полярной) системе координат может быть составлена из площадей криволинейных трапеций (секторов).

9.3.1.	Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = sin ж, пря-
	мыми X = —	х =	у = 0.

Рис. 91

О Фигура имеет вид, изображенный на рисунке 91. Площадь фигуры находим по формуле (3.3):

тг	—7Г		Л			тг
4	—7Г		0			4
5= J \|sinx\| dx =	J sin xdx—		J	sin xdx 4- J sin xdx —
						о
= — cos ж л, 4-cos ж	т	i	-	л/з	i	+ i -	л/2	i =
= — cos ж л, 4-cos ж	— C O S ж o =	i	-	T +	i	+ i -	T +	i =

391

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

9.3.2.	у = -х3, у = - 9 х .
9.3.3.	у = arccosx, х = —1, х = 0, у = 0.
9.3.4.	2/ = tg2 x, х = 7Г 2/ = 0.
	4'
9.3.5.	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 — 6
	у = —х2 4- 5х — 6.

2/ = —х +5х—6

Рис. 92

О Найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого решаем систему уравнений

(= х2 - 6,

у = —х2 4- 5х — 6.

Отсюда находим х\ = 0, Х2 = 2,5. Искомую площадь (см. рис. 92) находим по формуле (3.4):

	2,5	2,5
	5= J ( - x 2 4 - 5 x - 6 - x 2 4 - 6 ) d x = J ( - 2 x 2 4 - 5 x ) d x = 5 — .		•
	о	о
Найти	площади фигур, ограниченных	линиями:
9.3.6.	?/ = sinx, ?/ = 2 sin ж, ж = 0, х =
9.3.7.	у = х2 , у = Л, 2/ = 0, х = 0, х = 3.
	х
9.3.8.	?/2 = 2х 4-1,2/ = х — 1.
9.3.9.	2/ = - ^ я 2 + Зх 4- 6, у = ^х2 - х 4-1.
392

9.3.10.	у = ж2, у = 2х, у = х.
9.3.11.	у = X3 - Зж, у = X.
9.3.12.	у = X2 - 2х 4- 3, у = Зх - 1.
9.3.13.	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у2 = ж3, у = 8,
	х = 0.
	О Д л я вычисления искомой площади воспользуемся форму-
	лой (3.5):
	8	8	96
	S = f	Wdy = fydy = ^y5	96
	S = f	Wdy = fydy = ^y5	5	'
	о	о	5	'
	о	о
	Заметим, что искомую площадь можно найти, используя фор-
	мулу (3.1) как разность площадей прямоугольника О ABC и
	трапеции ОВС (см. рис. 93):
	4
	S = 4 • 8 - у	dx = 32 - \|в* 4 =	3 2 - ^	= ? .
		о	5	5

	Рис. 93		Рис. 94
Найти	площади фигур, ограниченных линиями:
9.3.14.	у — arcsin ж, 7гж = 2?/.	9.3.15.	ж?/ = 8, у = 8ж3, у = 27.
9.3.16.	у2 = (4 - ж)3, ж = 0.	9.3.17.	(у - ж)2 = ж3, ж = 1.
9.3.18.	Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой ж = acos3 t,
	у = a sin31.

О Воспользуемся симметрией фигуры (она изображена на рисунке 94) и найдем сначала четвертую часть искомой площади.

393

Воспользуемся формулой (3.6). Находим, что t\ = ^ (из равен-

ства 0 = a cos31) и = 0 (из равенства а = a cos31). Имеем

1	0			о
-5 =	J а sin3	£(а c o s 3 d t =	-а2	J sin3 * • 3 cos21 sin tdt =
	ТГ			W
	2			2
	7Г			7Г
	2			2
=	За2 J	sin4 t cos2 tdt =	За2	J (sin t cos t)2 sin2 tdt =
	о		7Г	0
	7Г		7Г

= За2

^sm22tsin2 tdt = ^а2 J

- cos 4t)

^(l-cos2t) dt =

7Г

^ a 2 / ( l - c o s 2£ - cos 4£ 4- ^ cos6£ 4- ^ cos

dt =

7Г

= ^ a 2

^ cos2£ - cos4£ 4- ^ cos6^ dt =

^sin2£ — ^sin4^4-^sin

_ _3_

2 7Г _ 3Q27T

" 16a

' 2

Значит,

5 =

Найти

площади

фигур,

ограниченных линиями:

9.3.19.

{ж = 2 4-3 cos f,

Л Л

[ ж = a cost,

у = 3 4- 2 sin

9.3.20.

Эллипсом <I у = bsin£.

9.3.21.

{ж = 3£2

f x = 8 c o s 3 L

у = 3t

' q

9.3.22.

{

® = 1 (* £ !)•

=— t3.3

\2/=8sin3 f,

cos

{

= sin

ге[0;2тг].

{ x = t — sin

(0 < x < 2тг).

у = 1 — cos f,

и прямой у — %

9.3.25. Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепестковой розой» т — a sin Sip.

О На рисунке 95 изображен график функции. Найдем сна-

чала шестую часть искомой площади (выделена на рисунке).

394

Рис. 95

Используем формулу (3.7):

			тг		!	тг
1	г		ж		!	6
-5 =	-	2	[ (a sin 3ip)2	dip =	-а2	[	sin23if dip	=
6		2	J		2	J
			о			о
			t j				^		f
	= T / о					=	6 s i n 6 v 0			=
							а2	/7г	\	7ra2
Значит, 5 =										•

9.3.26. Найти площадь, ограниченную кардиоидой г = а( 1 — cos^?) и окружностью г = а.

r = a( 1—cos <р)

Рис. 96

О На рисунке 96 показана фигура, площадь которой требуется найти. Найдем точки пересечения кардиоиды с окруж-

395

ностью. Решив систему уравнений

г= а( 1 — cos<^),

г= а,

находим, что таких точек — две: А\ ^а; и ^а; — Половина искомой площади равна сумме площадей криволинейных секторов OmAiO и ОА\пО. В первом секторе полярный угол изменяется от 0 до а во втором — от ^ до 7г. Итак,

1			i	f			I		J
-S =	Si	4- S2	= -	J	(a( 1	- cos^))2	dip+-	J	a2	dip =
		7Г		0				f		^
		7Г								^
=	- a 2	J	- 2 cosy + - + - cos2y) dy + - a 2 J d<p =
		0								f
		1 2 / З			„ .	1 . n	\\|f	1	2	Г
	=	2 a 4 2 V			8 m v + 4		Vlo	+	2°	4 . =

	следовательно, 5 = 2a2^g7r —			•
Найти	площадь фигур, ограниченных линиями:
9.3.27.	г = 5 cos		9.3.28.	г = уД sin
9.3.29.	г = 3(1 + sin		9.3.30.	г = 2y/sin2 ip.
9.3.31.	Одним лепестком «розы» г = acos2<^, а > 0.
9.3.32.	Кардиоидой г = 2а(1 - cos ip), а > 0.
9.3.33.	Улиткой Паскаля г — 2 4- cos ip.
Дополнительные задачи
Вычислить площадь		фигуры, ограниченной линиями:
9.3.34.	у = 2- \х\, у = х2.
9.3.35.	у = > 1	, ж =	ж = 0, у = 1.
	л/я 4-1		4
9.3.36.	у = sin \|ж\|, у = \|ж\| — 7г.
9.3.37.	ж2 4- у2 = 16, у = 2, у = 2л/2.
9.3.38.	у = х2 4- 8ж - 12,		г/ = 18ж - х2.
396

9.3.39.	Одной аркой циклоиды <I хJb= a(tU/ll/——sinOil!t),V J, и осью Ох.
					{	у = a(l — cos t) и
9.3.40.	Г " *	0 0 8 ' '		у = 3 ( ^ 3 ) .
	I у = 6 sin
9.3.41.	\х =	i cos£,
9.3.41.	=	2 sin f.
	=	2 sin f.
9.3.42.	I ж = 3,5 cos J,
9.3.42.	I у = 3,5 sin t.
	I у = 3,5 sin t.
9.3.43.	r = l , r = 3,y>			=
9.3.44.	r = 2sin<^, r = 2\/3cos<^.
9.3.45.	Лемнискатой Бернулли г2 = a2						cos2(^.
9.3.46.	у = cos2 ж, у = sin2 ж, — ^ ^ ж ^
9.3.47.	у = In (ж + 2), у = 2 In ж, 2/ = 0.
9.3.48.	Параболой у = ж2 — 4ж 4- 5, касательной к ней в точке А(3; 2),
	прямой ж = 1.
9.3.49.	Параболой у2 = ж, касательными к ней в точках с абциссой 16.
9.3.50.	2 / = ^ L 7 , 2 / = 0.
9.3.51.
9.3.52.	Цепной линией у —					4-	), прямыми ж = 0, ж — а.
9.3.53.	у = sinx, у = -jp.
9.3.54.	ж2 4- у2 = 13, ж у = 6.
9.3.55.	у = соэж, у = х 4-1, у = 0.
9.3.56.	Петлей г/2 = ж(ж - I)2 .
9.3.57.	Замкнутой линией ж2 4- 2/4 = У2-
9.3.58.	ж2 4- у2 = 9, ж2 - 4?/2 = 4.
9.3.59.	у = arcsin ж, у = агссоэж, у = 0.
9.3.60. у = 36ж(ж — I)2 , 2/ = 0.
9.3.61.		I;	= г3		- з*.
9.3.61.	Петлей 4 "		=	**	+
9.3.62.					прямой 2/= 4 (2/^ 4), (0 < ж < 8тт).

12/ = 4(1 - c o s *),

397

9.3.63.	I х = 6cos£,
9.3.63.	\у = 4 sin*,
	\у = 4 sin*,
9.3.64.	г	= 2sin5(^.
9.3.65.
9.3.66.	г	= cos3
9.3.67.	г = 4(1 — cos
9.3.68.	г = a(cos<^ 4-

Контрольные вопросы и более сложные задачи

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

9.3.69. у = sinx, у = ^х, у — 0 (х ^ 0).

9.3.70. у = l+cos7rx, у = 2х2 —2 (абсциссы точек пересечения — целые числа).

9.3.71. Петлей декартова листа х3 4- у3—Заху = 0 (перейти к полярным координатам).

9.3.72. Зх2 4- у2 = 3, х2 + 3у2 = 3 (общая часть). 9.3.73. у = х2е~х , ее асимптотой.

9.3.74.	Двумя первыми арками циклоиды		х = t - sin	(t ^ 0), пря^
	мой у = 2.	!	у — 1 — cos t,
	мой у = 2.
	0+
	x = a sin 2£,
9.3.75.	{2/ = b sin £	(а > 0, Ь > 0).
9.3.76.	x = acosf, у = bsinf cos2f (a > 0, b > 0).
9.3.77. r = a(l 4- sin2 <£?), r — a.
9.3.78. r — 2 c o s 3 r = 1 (r ^ 1).
9.3.79.	Используя геометрический смысл
	интеграла, вычислить:
	1

а) J у/1 — х2 dx;

7Г

б) J х2 sin xdx;

— 7Г

j) J |x-2|dx.

9.3.80. По данным, указанным на рисунке 97, найти площадь заштрихованной фигуры.

398	Рис. 97

9.3.81. При каком значении а прямая х — а делит площадь фигуры, ограниченной линиями у = |ж|, ж = 1, ж = л/3 пополам?

9.3.82. Записать площадь заштрихованных фигур (см. рис. 98) как сумму или разность площадей криволинейных трапеций.

у=ах2+Ь

		J.
9.3.83.	При каких значениях А,	В и С площадь S = j (Ax2+Bx+C)dx
	равна нулю? Сколько таких значений А, В, С?
		1
9.3.84.	Сравнить, не вычисляя, какая из площадей j( у/х — у/х) dx или
	1	о
	J (ж2 — ж4) dx больше.

Вычисление длины дуги кривой

Пусть кривая на плоскости задана уравнением у = /(ж) или х = ip(y). На кривой выбраны точки А и В с координатами: А(а;с), B(b;d). Длина I дуги кривой от точки А до точки В вычисляется по формуле

		И
I	=	I	а/1	+	(y')2dx-,	(3.8)
	а
		d
1	=	j	у/1	+	{x')2dy.	(3.9)

399

<<< < Предыдущая 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 5840 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.08.20191.21 Mб8самост.docx
#
08.08.201953.3 Mб46Самостоятельная работа рабочая тетрадь по арх.doc
#
11.03.2016203.78 Кб16СартрЖ.-П.Экзистенциализм-этогуманизм.doc
#
01.03.2025326.14 Кб2Сб.тестов по фил.2012.doc
#
19.11.2019148.99 Кб6сборка по предметам..doc
#
03.05.20155.01 Mб7448Сборник задач по высшей математике.pdf
#
03.05.2015143.36 Кб26Сбытовая политика.doc
#
01.03.202594.49 Кб0сгму кур исправлен..docx
#
03.05.2015220.67 Кб22СДЕЛКИ ВЫСОКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ.doc
#
16.08.2019585.22 Кб2сегнетоэл-ки Методичка.doc
#
03.05.20154.91 Mб38Селекция Виолы Виттрока (Антропова А.В.).docx