Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1308 вузов, 5224 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Поволжский государственный технологический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Сборник задач по высшей математике

.pdf
Скачиваний:
7463
Добавлен:
03.05.2015
Размер:
5.01 Mб
Скачать
☆

y = f(x)

О a

b x

Рис. 89

Если f(x) ^ 0 при x G [a; fc], то

5

=

- J

f(x) dx.

(3.2)

Формулы (3.1) и (3.2) можно объединить в одну:

 

 

 

ь

 

 

S

=

J

\f(x)\dx.

(3.3)

Площадь фигуры, ограниченной кривыми у = fi(x) и у = /2(2), причем fi(x) ^ /2(^0? прямыми х = а и х = Ь вычисляется по формуле

s

=

j{h{x)-h{x))dx.

(3-4)

Пусть криволинейная трапеция ограничена кривой х = <р(у), прямыми у = с, у = d и отрезком [c;d\ оси Оу. Тогда площадь этой трапеции вычисляется по формуле

a

 

S = J f(y) dy •

(3.5)

Если криволинейная трапеция ограничена сверху кривой, заданной

jX = x(t),

„«) > о,« е

„ря-

= » ,( *,) ,

мыми х = а, х = b и отрезком [a; Ь] оси Ох, то ее площадь вычисляется

по формуле

*2

(3.6)

*i

где и определяются из равенств а = x(£i), 6 =

390

о

р

Рис. 90

Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением г = г(<р) и двумя лучами <р = а, tp = /3 (а < /3), вычисляется по формуле (см. рис. 90):

1 ?

S=-jr2{<p)dV. (3.7)

а

Отметим, что площадь всякой плоской фигуры, отнесенной к прямоугольной (полярной) системе координат может быть составлена из площадей криволинейных трапеций (секторов).

9.3.1.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой у = sin ж, пря-

 

мыми X = —

х =

у = 0.

Рис. 91

О Фигура имеет вид, изображенный на рисунке 91. Площадь фигуры находим по формуле (3.3):

тг

—7Г

 

Л

 

 

тг

 

 

4

 

0

 

 

4

 

 

5= J |sinx| dx =

J sin xdx—

 

J

sin xdx 4- J sin xdx —

 

 

 

 

 

 

о

 

 

= — cos ж л, 4-cos ж

т

i

-

л/з

i

+ i -

л/2

i =

— C O S ж o =

T +

T +

391

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

9.3.2.

у = -х3, у = - 9 х .

9.3.3.

у = arccosx, х = —1, х = 0, у = 0.

9.3.4.

2/ = tg2 x, х = 7Г 2/ = 0.

 

4'

9.3.5.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 — 6

 

у = —х2 4- 5х — 6.

2/ = —х +5х—6

Рис. 92

О Найдем абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого решаем систему уравнений

(= х2 - 6,

у = —х2 4- 5х — 6.

Отсюда находим х\ = 0, Х2 = 2,5. Искомую площадь (см. рис. 92) находим по формуле (3.4):

 

2,5

2,5

 

 

5= J ( - x 2 4 - 5 x - 6 - x 2 4 - 6 ) d x = J ( - 2 x 2 4 - 5 x ) d x = 5 — .

•

 

о

о

 

Найти

площади фигур, ограниченных

линиями:

 

9.3.6.

?/ = sinx, ?/ = 2 sin ж, ж = 0, х =

 

9.3.7.

у = х2 , у = Л, 2/ = 0, х = 0, х = 3.

 

 

х

 

 

9.3.8.

?/2 = 2х 4-1,2/ = х — 1.

 

 

9.3.9.

2/ = - ^ я 2 + Зх 4- 6, у = ^х2 - х 4-1.

 

392

 

 

 

9.3.10.

у = ж2, у = 2х, у = х.

 

 

9.3.11.

у = X3 - Зж, у = X.

 

 

 

9.3.12.

у = X2 - 2х 4- 3, у = Зх - 1.

 

 

9.3.13.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у2 = ж3, у = 8,

 

х = 0.

 

 

 

 

О Д л я вычисления искомой площади воспользуемся форму-

 

лой (3.5):

 

 

 

 

8

8

96

 

 

S = f

Wdy = fy*dy = ^y5*

 

 

5

'

 

о

о

 

 

 

 

Заметим, что искомую площадь можно найти, используя фор-

 

мулу (3.1) как разность площадей прямоугольника О ABC и

 

трапеции ОВС (см. рис. 93):

 

 

 

4

 

 

 

 

S = 4 • 8 - у

dx = 32 - |в* 4 =

3 2 - ^

= ? .

 

 

о

5

5

 

Рис. 93

 

Рис. 94

Найти

площади фигур, ограниченных линиями:

9.3.14.

у — arcsin ж, 7гж = 2?/.

9.3.15.

ж?/ = 8, у = 8ж3, у = 27.

9.3.16.

у2 = (4 - ж)3, ж = 0.

9.3.17.

(у - ж)2 = ж3, ж = 1.

9.3.18.

Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой ж = acos3 t,

 

у = a sin31.

 

 

О Воспользуемся симметрией фигуры (она изображена на рисунке 94) и найдем сначала четвертую часть искомой площади.

393

Воспользуемся формулой (3.6). Находим, что t\ = ^ (из равен-

ства 0 = a cos31) и = 0 (из равенства а = a cos31). Имеем

1

0

 

 

о

-5 =

J а sin3

£(а c o s 3 d t =

-а2

J sin3 * • 3 cos21 sin tdt =

 

ТГ

 

 

W

 

2

 

 

2

 

7Г

 

 

7Г

 

2

 

 

2

=

За2 J

sin4 t cos2 tdt =

За2

J (sin t cos t)2 sin2 tdt =

 

о

 

7Г

0

 

7Г

 

 

 

= За2

J

^sm22tsin2 tdt = ^а2 J

- cos 4t)

^(l-cos2t) dt =

 

 

о

7Г

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

^ a 2 / ( l - c o s 2£ - cos 4£ 4- ^ cos6£ 4- ^ cos

dt =

 

 

 

о

7Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ^ a 2

J

 

-

^ cos2£ - cos4£ 4- ^ cos6^ dt =

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

^sin2£ — ^sin4^4-^sin

2

_ _3_

2 7Г _ 3Q27T

 

 

0

" 16a

' 2

~~

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значит,

5 =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти

площади

фигур,

ограниченных линиями:

 

 

 

 

 

 

 

9.3.19.

{ж = 2 4-3 cos f,

 

 

Л Л

^

 

 

[ ж = a cost,

 

у = 3 4- 2 sin

 

 

 

9.3.20.

Эллипсом <I у = bsin£.

9.3.21.

 

 

{ж = 3£2

 

 

 

f x = 8 c o s 3 L

 

 

 

 

 

 

 

у = 3t

' q

 

 

9.3.22.

{

 

ч

 

® = 1 (* £ !)•

 

 

 

=— t3.3

1

 

\2/=8sin3 f,

 

v

7

 

 

 

ж

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{

= sin

ч

'

ге[0;2тг].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2/

 

 

{ x = t — sin

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(0 < x < 2тг).

 

 

 

у = 1 — cos f,

и прямой у — %

 

 

 

 

 

 

 

 

*

9.3.25. Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепестковой розой» т — a sin Sip.

О На рисунке 95 изображен график функции. Найдем сна-

чала шестую часть искомой площади (выделена на рисунке).

394

Рис. 95

Используем формулу (3.7):

 

 

 

тг

 

!

тг

 

 

 

 

1

г

ж

 

6

 

 

 

 

-5 =

-

2

[ (a sin 3ip)2

dip =

-а2

[

sin23if dip

=

 

 

6

 

J

 

2

J

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

t j

 

 

 

^

 

f

 

 

= T / о

 

 

=

6 s i n 6 v 0

=

 

 

 

 

 

 

 

а2

/7г

\

7ra2

Значит, 5 =

 

 

 

 

 

 

•

9.3.26. Найти площадь, ограниченную кардиоидой г = а( 1 — cos^?) и окружностью г = а.

r = a( 1—cos <р)

Рис. 96

О На рисунке 96 показана фигура, площадь которой требуется найти. Найдем точки пересечения кардиоиды с окруж-

395

ностью. Решив систему уравнений

г= а( 1 — cos<^),

г= а,

находим, что таких точек — две: А\ ^а; и ^а; — Половина искомой площади равна сумме площадей криволинейных секторов OmAiO и ОА\пО. В первом секторе полярный угол изменяется от 0 до а во втором — от ^ до 7г. Итак,

1

 

 

i

f

 

 

I

 

J

 

-S =

Si

4- S2

= -

J

(a( 1

- cos^))2

dip+-

J

a2

dip =

 

 

7Г

 

0

 

 

 

f

^

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

- a 2

J

- 2 cosy + - + - cos2y) dy + - a 2 J d<p =

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

1 2 / З

 

„ .

1 . n

\|f

1

2

Г

 

=

2 a 4 2 V

 

8 m v + 4

Vlo

+

2°

4 . =

 

следовательно, 5 = 2a2^g7r —

•

Найти

площадь фигур, ограниченных линиями:

9.3.27.

г = 5 cos

 

9.3.28.

г = уД sin

9.3.29.

г = 3(1 + sin

9.3.30.

г = 2y/sin2 ip.

9.3.31.

Одним лепестком «розы» г = acos2<^, а > 0.

9.3.32.

Кардиоидой г = 2а(1 - cos ip), а > 0.

 

9.3.33.

Улиткой Паскаля г — 2 4- cos ip.

 

Дополнительные задачи

 

 

Вычислить площадь

фигуры, ограниченной линиями:

9.3.34.

у = 2- \х\, у = х2.

 

9.3.35.

у = > 1

, ж =

ж = 0, у = 1.

 

 

л/я 4-1

 

4

 

9.3.36.

у = sin |ж|, у = |ж| — 7г.

 

9.3.37.

ж2 4- у2 = 16, у = 2, у = 2л/2.

 

9.3.38.

у = х2 4- 8ж - 12,

г/ = 18ж - х2.

 

396

 

 

 

 

9.3.39.

Одной аркой циклоиды <I хJb= a(tU/ll/——sinOil!t),V J, и осью Ох.

 

 

 

 

 

{

у = a(l — cos t) и

9.3.40.

Г " *

0 0 8 ' '

у = 3 ( ^ 3 ) .

 

 

I у = 6 sin

 

 

 

 

 

9.3.41.

\х =

i cos£,

 

 

 

 

=

2 sin f.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.3.42.

I ж = 3,5 cos J,

 

 

 

 

I у = 3,5 sin t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.3.43.

r = l , r = 3,y>

=

 

 

 

9.3.44.

r = 2sin<^, r = 2\/3cos<^.

 

 

9.3.45.

Лемнискатой Бернулли г2 = a2

cos2(^.

9.3.46.

у = cos2 ж, у = sin2 ж, — ^ ^ ж ^

 

9.3.47.

у = In (ж + 2), у = 2 In ж, 2/ = 0.

 

9.3.48.

Параболой у = ж2 — 4ж 4- 5, касательной к ней в точке А(3; 2),

 

прямой ж = 1.

 

 

 

 

9.3.49.

Параболой у2 = ж, касательными к ней в точках с абциссой 16.

9.3.50.

2 / = ^ L 7 , 2 / = 0.

 

 

9.3.51.

 

 

 

 

 

 

 

9.3.52.

Цепной линией у —

4-

), прямыми ж = 0, ж — а.

9.3.53.

у = sinx, у = -jp.

 

 

9.3.54.

ж2 4- у2 = 13, ж у = 6.

 

 

9.3.55.

у = соэж, у = х 4-1, у = 0.

 

9.3.56.

Петлей г/2 = ж(ж - I)2 .

 

 

9.3.57.

Замкнутой линией ж2 4- 2/4 = У2-

9.3.58.

ж2 4- у2 = 9, ж2 - 4?/2 = 4.

 

 

9.3.59.

у = arcsin ж, у = агссоэж, у = 0.

 

9.3.60. у = 36ж(ж — I)2 , 2/ = 0.

 

 

9.3.61.

 

I;

= г3

- з*.

 

 

Петлей 4 "

=

**

+

 

 

9.3.62.

 

 

 

 

прямой 2/= 4 (2/^ 4), (0 < ж < 8тт).

12/ = 4(1 - c o s *),

397

9.3.63.

I х = 6cos£,

\у = 4 sin*,

 

9.3.64.

г

= 2sin5(^.

9.3.65.

 

 

9.3.66.

г

= cos3

9.3.67.

г = 4(1 — cos

9.3.68.

г = a(cos<^ 4-

Контрольные вопросы и более сложные задачи

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

9.3.69. у = sinx, у = ^х, у — 0 (х ^ 0).

9.3.70. у = l+cos7rx, у = 2х2 —2 (абсциссы точек пересечения — целые числа).

9.3.71. Петлей декартова листа х3 4- у3—Заху = 0 (перейти к полярным координатам).

9.3.72. Зх2 4- у2 = 3, х2 + 3у2 = 3 (общая часть). 9.3.73. у = х2е~х , ее асимптотой.

9.3.74.

Двумя первыми арками циклоиды

х = t - sin

(t ^ 0), пря^

 

мой у = 2.

!

у — 1 — cos t,

 

 

 

 

 

 

0+

 

 

 

 

x = a sin 2£,

 

 

 

9.3.75.

{2/ = b sin £

(а > 0, Ь > 0).

 

 

9.3.76.

x = acosf, у = bsinf cos2f (a > 0, b > 0).

 

9.3.77. r = a(l 4- sin2 <£?), r — a.

 

 

9.3.78. r — 2 c o s 3 r = 1 (r ^ 1).

 

 

9.3.79.

Используя геометрический смысл

 

 

 

интеграла, вычислить:

 

 

 

1

 

 

 

а) J у/1 — х2 dx;

о

7Г

б) J х2 sin xdx;

— 7Г

6

j) J |x-2|dx.

9.3.80. По данным, указанным на рисунке 97, найти площадь заштрихованной фигуры.

398

Рис. 97

 

9.3.81. При каком значении а прямая х — а делит площадь фигуры, ограниченной линиями у = |ж|, ж = 1, ж = л/3 пополам?

9.3.82. Записать площадь заштрихованных фигур (см. рис. 98) как сумму или разность площадей криволинейных трапеций.

у=ах2+Ь

О

 

 

J.

9.3.83.

При каких значениях А,

В и С площадь S = j (Ax2+Bx+C)dx

 

равна нулю? Сколько таких значений А, В, С?

 

 

1

9.3.84.

Сравнить, не вычисляя, какая из площадей j( у/х — у/х) dx или

 

1

о

 

J (ж2 — ж4) dx больше.

 

Вычисление длины дуги кривой

Пусть кривая на плоскости задана уравнением у = /(ж) или х = ip(y). На кривой выбраны точки А и В с координатами: А(а;с), B(b;d). Длина I дуги кривой от точки А до точки В вычисляется по формуле

 

 

И

 

 

 

 

I

=

I

а/1

+

(y')2dx-,

(3.8)

 

а

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

1

=

j

у/1

+

{x')2dy.

(3.9)

399

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности