ДПА-11-2014-1
.pdf
4.За правильное нахождение решений системы неравенств учащийся получает еще 1 балл.
Заметим, что учащийся может без пояснений записывать решения системы линейных неравенств, корни квадратного уравнения, решения неравенства второй степени, а также не пояснять переход от логарифмического или показательного неравенства к алгебраическому неравенству.
Пример 5. Найдите область определения функции f (x) = 6x − x2 + lg(41− x) .
Решение.
Областью определения данной функции является множество решений системы неравенств
|
|
|
6x − x2 |
≥ 0, |
|
|
|
|
0, |
|
|
|
4− x > |
|
|
|
|
4− x ≠1. |
|
|
|
|
|
|
Имеем: |
|
|
|
|
x2 −6x ≤ 0, |
0 |
≤ x ≤ 6, |
|
|
|
|
|
0≤ x < 3 или 3< x < 4. |
|
x < 4, |
x < 4, |
|||
x ≠ 3; |
x |
≠ 3; |
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, искомая область определения — это множество
D( f ) =[0;3) (3; 4). Ответ: [0;3) (3;4).
Схема оценивания примера 5.
1.Если учащийся правильно составил систему неравенств, задающую область определения функции, то он получает 1 балл.
2.За правильное решение неравенства второй степени учащийся получает еще 1 балл.
3.Правильное решение линейных неравенств, входящих в систему, оценивается 1 баллом.
4.Если учащийся правильно записал решения системы в виде двух двойных неравенств или в виде объединения числовых промежутков, то он получает еще 1 балл.
Решение задания на построение графика функции без применения производной предусматривает установление области определения функции, преобразование формулы, которой задана функция, непосредственно построение графика.
Пример 6. Постройте график функции |
f (x) = |
|log0,3 |
x | |
. |
|
log0,3 |
x |
||||
|
|
|
11
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Область |
определения |
|
данной |
|
функции |
— |
множество |
||||||||||||
D(f ) = (0;1) (1; +∞) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если log0,3 x > 0 , то есть 0< x <1, то |
f (x) = |
log0,3 x |
=1. |
|
|||||||||||||||
log0,3 x |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если log0,3 x < 0, то есть x >1, то |
f (x) = |
−log0,3 x |
= −1. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log0,3 x |
|
|
|||
|
1 |
при 0< x <1, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Следовательно, f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1при x >1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
График функции имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Схема оценивания примера 6.
1.Если учащийся правильно нашел область определения функции, то он получает 1 балл.
2.Если учащийся правильно нашел множество значений аргумента x, при которых выражение, стоящее под знаком модуля, принимает положительные значения, и правильно раскрыл знак модуля, то он получает 1 балл.
3.Если учащийся правильно нашел множество значений аргумента x, при которых выражение, стоящее под знаком модуля, принимает отрицательные значения, и правильно раскрыл знак модуля, то он получает 1 балл.
4.За правильно построенный график учащийся получает еще 1 балл.
Решение задания на исследование свойств функции с помощью производной предусматривает четыре шага: нахождение области определения функции и нахождение производной функции, исследование знака производной, установление промежутков монотонности и установление точек экстремума функции. Каждый из этих шагов оценивается одним баллом.
Пример 7. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экс-
тремума функции |
f (x) = |
x |
2 +4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
|
|
|
2x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Область определения функции D(f ) = (−∞;1,5) (1,5; +∞). |
|
|
|
|||||||||||||
′ |
(x |
2 |
+ |
′ |
|
′ |
(x |
2 |
+4) |
|
2x(2x −3) |
−2(x |
2 |
+4) |
|
|
|
4) (2x − |
3)−(2x −3) |
|
|
|
|
||||||||||
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
(2x −3)2 |
|
|
|
(2x |
−3)2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12
= |
4x2 |
−6x −2x2 −8 |
= |
2x2 −6x −8 |
= |
2(x +1)(x −4) |
. |
|
||||||||
|
(2x −3)2 |
|
(2x −3)2 |
|
|
(2x −3)2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решив уравнение f '(x) = 0, устанавливаем, что функция имеет две кри- |
||||||||||||||||
тические точки: x = −1 и x = 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Исследуем знак производной методом интервалов: |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, |
функция |
возрастает |
на |
|
каждом из |
|
промежутков |
|||||||||
(−∞;−1] и [4; +∞) , убывает на каждом из промежутков [−1;1,5) |
и (1,5;4]. |
|||||||||||||||
Функция имеет точку максимума xmax = −1 и точку минимума xmin = 4. |
||||||||||||||||
Ответ: функция возрастает на промежутках |
(−∞;−1] и [4; +∞) , убы- |
|||||||||||||||
вает на промежутках [−1;1,5) и (1,5;4], xmax = −1, |
xmin = 4. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Схема оценивания примера 7. |
|
|
|||||||||||
1. Если учащийся правильно указал |
область определения функции |
|||||||||||||||
и правильно нашел производную функции, то он получает 1 балл.
2.Если учащийся правильно нашел критические точки функции и правильно исследовал знак производной, то он получает еще 1 балл.
3.За правильно указанные промежутки монотонности функции учащийся получает еще 1 балл.
4.За правильно указанные точки минимума и максимума учащийся получает еще 1 балл.
Заметим, что учащийся может не приводить решение квадратного урав- |
|||||||||
нения для нахождения критических точек, а также способ, которым он опре- |
|||||||||
делял знаки производной на ее промежутках знакопостоянства. |
|
||||||||
Пример 8. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функ- |
|||||||||
ции y = 5x и прямыми y = 5 и x = 5. |
|
y |
|
y = 5 |
|
||||
Решение. |
|
|
|
|
|
5 |
B |
C |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдем абсциссу |
точки пересечения |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||
графика функции |
y = 5x |
и |
прямой |
y = 5: |
|
|
|
=5 |
|
5 =5; x = 1. На рисунке изображена фигу- |
|
|
5 |
x |
|||||
|
|
|
|||||||
x |
|
|
|
|
|
1 |
A |
y =x |
E |
ра, площадь которой требуется найти. Иско- |
|
D |
|
||||||
мая площадь S |
равна разности площадей |
0 |
1 |
5 |
x |
||||
прямоугольника |
|
ABCD |
и |
криволинейной |
|||||
|
|
|
|
|
|||||
трапеции ABED. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = ∫5 (5− 5x )dx = (5x −5lnx)15 = 25−5ln5−5+5ln1=20−5ln5.
1
Ответ: 20−5ln5.
13
Схема оценивания примера 8.
1.Если учащийся правильно нашел абсциссу точки пересечения гиперболы y = 5x и прямой y = 5 и правильно изобразил фигуру, площадь
которой требуется найти, то он получает 1 балл.
2.Если учащийся правильно записал интеграл, значение которого равно искомой площади, то он получает 1 балл.
3.Если учащийся правильно нашел первообразную подинтегральной функции, то он получает еще 1 балл.
4.Если учащийся правильно подставил границы интегрирования и правильно вычислил приращение первообразной, то он получает еще 1 балл.
Заметим, что учащийся может записать выражение для вычисления пло-
5 5
щади в виде разности интегралов ∫5dx −∫5x dx или в виде разности площади
1 1
5
прямоугольника ABCD и интеграла ∫5x dx .
1
Решение задач по геометрии предусматривает выполнение рисунка, обоснование равенства отрезков, углов, треугольников и других фигур, подобия треугольников, параллельности или перпендикулярности прямых, положения центров описанной и вписанной окружностей, перпендикулярности прямой и плоскости, двух плоскостей, угла между прямой и плоскостью, угла между плоскостями, линейного угла двугранного угла. Каждый из таких шагов оценивается определенным образом.
Пример 9. Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой ее острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции, если ее меньшее основание равно a.
Решение. |
B |
C |
|
В трапеции ABCD BC || AD, BC = a , |
|||
|
|
AB = CD , AC CD , BAC = CAD .
CAD и BCA равны как внутренние накрест лежащие при BC || AD и секущей AC.
Следовательно, BAC = BCA . Тогда A M D ∆ABC — равнобедренный. Отсюда CD = AB = BC = a .
Пусть CAD = α . Тогда CDA = BAD = 2α .
Из ∆ACD ( ACD = 90° ):
CAD + CDA = 90°;
α+2α = 90°;
α= 30°.
14
Следовательно, ∆ACD — прямоугольный с острым углом 30°. Тогда
AD = 2CD = 2a .
Отрезок CM — высота трапеции.
Из ∆CMD ( CMD = 90°):
CM = CDsin CDM = asin60° = a2
3 .
Площадь трапеции S = AD +2 BC CM = 2a2+a a23 = 3a24 3 .
Ответ: 3a24 3 .
Схема оценивания примера 9.
1.Если учащийся установил и обосновал равенство отрезков AB и BC, то он получает 1 балл.
2.Если учащийся нашел углы треугольника ACD и большее основание трапеции, то он получает еще 1 балл.
3.За нахождение высоты трапеции учащийся получает еще 1 балл.
4.Если учащийся правильно нашел площадь трапеции, то он получает еще 1 балл.
Заметим, что высоту трапеции можно найти и другим способом, в частности, рассмотрев CM как высоту прямоугольного треугольника и воспользовавшись пропорциональностью отрезков в прямоугольном треугольнике.
Пример 10. Высота равнобедренного треугольника равна 18 см, а радиус вписанной в него окружности — 8 см. Найдите периметр данного треугольника.
Решение. B
В треугольнике ABC AB = BC , отрезок BD — вы-
сота, BD =18см, точка O — центр вписанной окруж- |
|
|
|
|
|
ности. |
|
|
|
O |
|
Поскольку ∆ABC — равнобедренный, то точка O |
|
|
|
||
принадлежит его высоте и биссектрисе BD, а отрезок |
A |
|
|
|
C |
D |
|
||||
OD — радиус вписанной окружности, OD = 8 см. Тогда |
|
||||
BO = BD −OD =10 см.
Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения биссектрис треугольника. Тогда отрезок AO — биссектриса треугольника ADB.
По свойству биссектрисы треугольника ADAB = ODBO = 108 = 54 .
Пусть AB = 5x см, x > 0, тогда AD = 4x см.
Из ∆ADB ( ADB = 90°):
AB2 − AD2 = BD2 ; 25x2 −16x2 =182 ;
15
9x2 = 324;
x= 6.
Следовательно, AB = 30см, AD = 24 см, AC = 2AD = 48см.
Тогда P∆ABC = 2AB + AC =108 см.
Ответ: 108 см.
Схема оценивания примера 10.
1.Если учащийся обосновал положение точки O и установил, что отрезок AO — биссектриса треугольника ABD, то он получает 1 балл.
2.Если учащийся нашел отношение отрезков AB и AD, то он получает еще 1 балл.
3.Правильное нахождение коэффициента пропорциональности отрезков AB и AD оценивается еще 1 баллом.
4.За правильное вычисление длин сторон и периметра треугольника учащийся получает еще 1 балл.
Пример 11. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см и 15 см, а две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота
равна 8 см. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
M |
|
|
|
|||
В пирамиде MABCD основание ABCD — прямо- |
|
|
|
|
|
||||||
угольник, |
боковые грани ABM |
и |
CBM перпен- |
|
|
|
C |
|
|||
дикулярны плоскости прямоугольника ABCD. Тогда |
|
B |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
их общее боковое ребро MB является высотой пира- |
|
|
|
|
|
||||||
миды, MB=8 см, AB=6 см, BC=15 см. |
|
|
|
A |
D |
|
|
||||
Отрезок AB — проекция отрезка AM на плос- |
|
|
|
|
|
||||||
кость основания, AB AD. Тогда |
MA AD. |
Аналогично |
доказываем, |
что |
|||||||
MС СD. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из ∆ ABM( ABM = 90°): AM = |
AB2 + MB2 = |
62 +82 |
=10 (см). |
|
|
|
|||||
Из ∆CBM ( CBM = 90°): CM = |
BC2 + MB2 = |
152 +82 =17 (см). |
|
|
|||||||
S |
∆ABM |
= 1 AB MB = 24см2, |
S |
∆CBM |
= |
1 BC MB = 60см2, S |
∆MAD |
= |
|||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||
= 12 AD MA = 75см2, S∆MCD = 12 CD MC = 51см2, площадь боковой поверх-
ности пирамиды S = S∆ABM + S∆CBM + S∆MAD + S∆MCD =210 см2.
Ответ: 210 см2.
Схема оценивания примера 11.
1.Если учащийся указал, что общее боковое ребро боковых граней, перпендикулярных плоскости основания пирамиды, является высотой
пирамиды и обосновал, что MA AD и MC CD, то он получает 1 балл.
16
2.Если учащийся нашел длины боковых ребер MA и MC, то он получает еще 1 балл.
3.Если учащийся нашел площади боковых граней пирамиды, то он получает еще 1 балл.
4.За правильное вычисление площади боковой поверхности пирамиды учащемуся начисляется еще 1 балл.
Заметим, что учащийся без обоснования может пользоваться такими фактами:
•если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плоскостей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпендикулярна и другой плоскости;
•если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения перпендикулярна этой плоскости;
•если боковые ребра пирамиды равны или образуют равные углы с плоскостью основания, то основанием высоты пирамиды является центр окружности, описанной около основания пирамиды;
•если все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны α, то основанием высоты пирамиды является центр окружности, вписанной в основание пирамиды, а площадь боковой поверхности пирамиды Sб = cosSоснα , где Sосн — площадь осно-
вания пирамиды.
Пример 12. Основание пирамиды — ромб с острым углом α и большей диагональю d. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды рав-
ны γ. Найдите объем пирамиды. |
|
|
|
Решение. |
|
M |
|
MABCD – данная пирамида, ее основание |
|
|
|
ABCD — ромб, BCD = α, 0°<α<90°, AC = d. |
|
|
|
Отрезок MO — высота пирамиды |
|
|
|
Поскольку все двугранные углы при реб- |
|
B |
|
рах основания пирамиды равны, то точка O — |
|
C |
|
центр окружности, вписанной в основание пи- |
|
O |
K |
рамиды, то есть точка пересечения диагоналей |
A |
||
ромба. Из точки O опустим перпендикуляр OK |
|
D |
|
на ребро CD. |
|
|
|
Имеем: OK CD, отрезок OK — проекция отрезка MK на плоскость основания. Тогда MK CD. Так как CD OK и CD MK, то MKO — линейный угол двугранного угла при ребре CD основания пирамиды, MKO = γ.
Из ∆COD ( COD = 90°): OD = CO tg OCD = d2 tg α2 .
17
Тогда BD = d tg α2 и площадь основания пирамиды
S = 1 |
AC BD = 1 d 2 |
tg α . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
sin α . |
|||
Из ∆OKC ( OKC = 90°): OK = OCsin OCK = |
|
|
||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
Из ∆MOK ( MOK = 90°): MO = OK tg MKO = |
|
d |
sin |
α tg γ . |
||||||||||||
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
Объем пирамиды V = |
1 |
S MO = |
1 |
1 d 2 |
tg α |
d |
sin α tg γ = |
|||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
= |
1 |
d 3 |
tg α sin α tg γ . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
12 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: 121 d 3 tg α2 sin α2 tg γ .
Схема оценивания примера 12.
1.Если учащийся указал положение основания высоты пирамиды, то он получает 1 балл.
2.Если учащийся обосновал, что угол MKO является линейным углом двугранного угла при ребре основания пирамиды, то он получает еще 1 балл.
3.Если учащийся правильно нашел высоту пирамиды, то он получает еще 1 балл.
4.За нахождение объема пирамиды учащемуся начисляется еще 1 балл.
18
Вариант 1
Часть первая
Задания 1.1 – 1.16 содержат по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, по Вашему мнению, ответ и отметьте его в бланке ответов.
1.1. Упростите выражение |
(1−cosα)(1+cosα) . |
|
|
А) –1; |
Б) 1; |
В) −sin2 α; |
Г) sin2 α . |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||
1.2. Представьте в виде степени выражение a8a2 . |
|
|||||||
1 |
|
5 |
1 |
|
|
|
||
А) a |
16 |
; |
Б) a 8 ; |
В) a |
4 |
; |
|
|
1.3. Какая функция является степенной? |
|
|
||||||
А) y = 5x ; |
Б) y = 5x ; |
В) y = x5 ; |
|
|||||
1.4. Какое из уравнений не имеет корней? |
|
|
||||||
А) sinx = π ; |
Б) sin x = 7 ; |
В) sin x |
= 1 |
; |
||||
|
|
|
8 |
|
|
|
2 |
|
1.5. Чему равно значение выражения log5(25b) , если
А) 125; |
Б) 3; |
В) 7; |
|
|
|
1.6. Решите уравнение (12)x (1627)x = (23)3 . |
|
|
|||
А) –3; |
Б) –1; |
В) 1; |
|
|
|
1.7. Решите неравенство 7log7(2−x) < 2 . |
|
|
|
|
|
А) (–∞; 0); |
Б) (0; 2); |
В) (0; +∞); |
|||
1.8. Найдите производную функции |
f (x) = |
|
x −1 |
|
|
|
x +2 |
||||
|
|
|
|
|
|
1
Г) a10 .
Г) y = 5x .
Г) sin x = − π4 .
log5 b = 5? Г) 30.
Г) 3.
Г) (–∞; 2).
А) f '(x) = − |
|
3 |
|
; |
В) f '(x) = |
|
3 |
|
; |
|
(x +2)2 |
(x +2)2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Б) f '(x) = − |
1 |
|
; |
Г) f '(x) = |
1 |
|
. |
|||
(x +2)2 |
(x +2)2 |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
1.9. Вычислите |
площадь |
заштрихованной |
фигуры, |
y |
|
|
||||
|
|
|
||||||||
изображенной на рисунке. |
|
|
|
|
y = 2x |
|
||||
А) |
7 |
; |
|
В) |
9 |
; |
|
|
|
|
|
2ln2 |
|
|
|
2ln2 |
|
|
|
|
|
Б) |
7ln2 |
; |
|
Г) |
9ln2 . |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
1 |
2 x |
19
1.10. Найдите номер члена арифметической прогрессии (an ) , который равен 7,2, если a1 =10,2 и разность прогрессии d = −0,5.
А) 4; |
Б) 5; |
В) 6; |
Г) 7. |
1.11. Сколько корней имеет уравнение (x +3)(x −6)
x +1 = 0 ?
А) один корень; |
В) три корня; |
Б) два корня; |
Г) ни одного корня. |
1.12. Сколько четных пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать, используя цифры 3, 4, 5, 7 и 9?
А) 24; |
Б) 12; |
В) 120; |
Г) 60. |
1.13. Какое из данных утверждений ошибочно?
А) любой квадрат является ромбом; Б) существует ромб, который является прямоугольником;
В) если диагонали четырехугольника равны, то он является прямоугольником;
Г) любой квадрат является прямоугольником.
1.14. В окружности, радиус которой равен 17 см, проведена хорда длиной 30 см. Найдите расстояние от центра окружности до данной хорды.
А) 8 см; |
Б) 10 см; |
В) 12 см; |
1.15. На рисунке изображен куб ABCDA1B1C1D1. Укажите угол, который образует прямая B1D с плоскостью ABB1.
А) A1B1D; Б) BB1D; В) AB1D; Г) ADB1.
1.16. При каком положительном значении n мо- |
||
дуль вектора aG |
(n; −2;1) |
равен 3? |
А) 2 ; |
Б) 4; |
В) 6; |
Г) 15 см.
B1 C1
A1 D1
B C A D
Г) 2.
20