Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Финансовый и инвестиционный менеджмент. Учебник
.pdf
Чтобы воспользоваться вышеприведенной формулой истинного значения среднеквадратического отклонения необходимо рассчитать ожидаемую доходность для каждой из
ценных бумаг по следующей формуле:
n
kPk
ii
1
i
где Pi — вероятность наступления i-го исхода событий;
k
— доходность при i-ом исходе развития событий.
i
Ожидаемая доходность для акций Компании А и Компании Б является одинаковой и составляет 15,17 %.
kA = 0,02*( 5) + 0,25*6+0,45*15+0,25*24+0,03*34 = 15,17
kБ = 0,02* ( 18) + 0,25*2+ 0,45*16+ 0,25*27+ 0,3*36 =
15,7 %
Таким образом, среднеквадратическое отклонение для
акций Компании А составит 7,7.
Для акций Компании Б величина среднеквадратического отклонения составит 10,66.
111
Хотя ожидаемая доходность по акциям обеих компаний
одинакова, риск инвестирования в акции Компании Б выше,
поскольку у нее выше рассеивание доходности относительно ожидаемого значения.
Выше был рассмотрен случай, когда известен полный набор вероятностей, что крайне редко встречается на
практике. Гораздо чаще возникает необходимость расчета
среднеквадратического отклонения случайной величины на
основании исторических данных. Примером таких данных
может быть историческая доходность ценной бумаги, которая представлена статистическим рядом.
Важным аспектом является тот момент, что при исследовании рассматривается вся генеральная совокупность
исторической информации, или расчеты производится на
основании некой выборки из генеральной совокупности. В
первом случае для расчета среднеквадратического отклонения
используется формула.
n
()
1
i
2
kk
i
n
где ki — доходность ценной бумаги в i-ом периоде;
k — средняя доходность ценной бумаги за послед-
ние n периодов;
n — количество периодов.
Если при исследовании анализируется не весь массив
имеющихся данных, а определенная выборка, то для расчета величины среднеквадратического отклонения используется следующая формула:
n
()
i
1
Уменьшение степеней свободы (n) на 1 вызвано тем
обстоятельством, что при проведении анализа на основе
112
kk
i
1
n
2
выборки происходит смешанная оценка ожидаемого значения случайной величины, что выражается в ее недооценке.
Устранение этого момента достигается за счет снижения количества степеней свободы на 1.
Чтобы разобраться в методике расчета оценочного
среднеквадратического отклонения рассмотрим пример.
Пример расчета. Доходность ценной бумаги Компании
А за последние 10 недель представлена в таблице.
Если представленная информация отражает генеральную совокупность данных о доходности этой ценной бумаги,
то для расчета среднеквадратического отклонения необходимо использовать формулу:
n
()
i
1
2
kk
i
n
Для этого нам надо найти ожидаемую доходность ценной бумаги по формуле:
n
k
i
1
i
k
n
Она будет равна ее математическому ожиданию 3,764 %.
Подставив имеющиеся данные в формулу, рассчитаем
значение среднеквадратического отклонения.
σ = (((2,73-3,764)
3,764)
3,764)
2
+(3,77-3,764)2 +(4,17-3,764)2 +(4,04-3,764)2 +(4,55-
2
+(4,41-3,764)2 +(4,92-3,764)2)/10)
Чем выше величина среднеквадратического отклонения, тем больший разброс относительно ее ожидаемого
значения демонстрирует случайная величина. Например,
применительно к акциям среднеквадратическое отклонение используется в качестве показателя их волатильности.
2
+ (2,96-3,764)2 +(2,84-3,764)2 +(3,25-
0,5
= 0,738
113
Для акций крупнейших корпораций, называемых «голубыми
фишками», волатильность, как правило, существенно ниже
волатильности рынка. И наоборот, для акций корпораций
с маленькой капитализацией и нестабильными доходами,
среднеквадратическое отклонение доходности может в несколько раз превышать рыночное. Другими словами, этот
показатель может использоваться как мера риска инвестирования в определенную ценную бумагу.
При
условии, что случайная величина является нормально распределенной, приблизительно 99,73 % наблюдений попадут в интервал (k ± 3 σ) . На графике плотности
вероятности нормального распределения это выглядит следующим образом.
Рис. 9. Правило трех сигм
Таким образом, можно утверждать, что в интервал (k ±
σ) попадут примерно 68,26 % наблюдений случайной величины, а в интервал (k ± 2 σ) примерно 95,46 %.
Для сравнения рассеивания двух случайных величин,
имеющих разные единицы измерения, относительно ожидаемого значения в статистике используют коэффициент
вариации (англ. Coeffi cient of Variation, CV). Он позволяет
получить сопоставимые результаты. В портфельной теории
этот показатель
114
используется в качестве относительной
меры риска, связанного с инвестированием в определенный
актив или портфель активов. Коэффициент вариации особенно полезен в ситуации, когда два актива имеют разную
ожидаемую доходность и разный уровень риска (среднеквадратическое отклонение). Например, одна инвестиция
может характеризоваться более высокой ожидаемой доходностью, а другая более низким среднеквадратическим отклонением.
Коэффициент вариации
является отношением среднеквадратического отклонения случайной величины к ее ожидаемому значению, для чего необходимо использовать следующую формулу:
CV =
σ — среднеквадратическое отклонение случайной величины;
k — ожидаемое (среднее) значение случайной величины.
Коэффициент вариации является относительной мерой
риска, в отличие от дисперсии и среднеквадратического
отклонения, поэтому позволяет сопоставлять риск и доходность двух и более активов, которые могут существенно
отличаться. Другими словами, этот показатель увязывает
среднеквадратическое отклонение с ожидаемой доходностью
актива, что дает возможность оценить соотношение
риск/доходность в относительном выражении, что позволяет обеспечить сопоставимость полученных результатов.
Следует отметить, что когда ожидаемая доходность
ценной бумаги близка к 0, то значение коэффициента вариации может быть очень большим. Поэтому незначительное
изменение ожидаемой доходности ценной бумаге может
приводить к значительному изменению этого
показателя,
что необходимо учитывать при обосновании инвестиционных решений.
Финансовый аналитик должен обосновать включение в
портфель дополнительной ценной бумаги, выбрав из двух
ценных бумаг, историческая доходность которых за последние пять лет представлена в таблице.
115
Ожидаемая доходность акций Компании А составит
13,646 %, а Компании Б 15,608 %.
kА = (14,75+7,23+15,66+18,45+12,14)/5 = 13,646 %
k
= (20,33+10,85+5,22+22,41+19,23)/5 = 15,608 %
Б
При этом среднеквадратическое отклонение доходности для акций Компании А составляет 4,236 %, а акций Компании Б 7,284 %.
В этом примере акции одновременно обладают разной
ожидаемой доходностью и разным уровнем риска. При этом
одна из них характеризуется более высокой ожидаемой доходностью, а другая более низким уровнем риска. Чтобы
сопоставить эти ценные
бумаги необходимо рассчитать коэффициент вариации доходности, который для акций Компании А будет равен 0,31, а для акций Компании Б 0,47.
CV
= 4,263/13,646 = 0,31
А
= 7,287/15,608 = 0,47
CV
Б
Итак, ожидаемая доходность акций Компании Б превышает доходность акций Компании А в 1,144 раза
(15,608/13,646), однако и риск инвестирования в них больше в 1,516 раза (0,47/0,31). Следовательно, акции Компании А являются более предпочтительными для включения
в портфель, поскольку обладают лучшим соотношением
риск/доходность.
Пример расчета. Предпринимателю необходимо выбрать лучший из
двух альтернативных финансовых инстру-
ментов, если имеются следующие их характеристики:
116
ВАРИАНТ А ВАРИАНТ Б
Стоимость ценной бумаги, тыс.
руб.
Доходность (экспертная оценка), %
пессимистическая
наиболее вероятная
оптимистическая
Размах вариации доходности 4 8
12 18
14
16
18
13
17
21
Из таблицы видно, что оба финансовых актива имеют
примерно одинаковую вероятную доходность, однако второй из них считается в два раза более рисковым.
Можно рассчитать и другие меры риска, основанные на
построении вероятностного распределения значений доходности и исчислении стандартного отклонения от средней доходности и коэффициента вариации, которые и рас
-
сматриваются как степень риска. Чем выше коэффициент
вариации, тем рисковым является данный вид актива. Последовательность аналитических процедур в этом случае
такова:
— делаются прогнозные оценки значений доходности
(k
) и вероятностей их осуществления (Pi), i = 1, 2, …, n —
i
число исходов;
— рассчитывается наиболее вероятная доходность
(k
) по уравнению:
m
— рассчитывается стандартное отклонение (σ) по уравнению:
,
— рассчитывается коэффициент вариации (CV) по уравнению:
117
Пример расчета. В условиях предыдущего примера оценить риск каждого из альтернативных финансовых инструментов, если в обоих случаях вероятности наиболее возможной доходности 60 %, а вероятности пессимистической
и оптимистической оценок равны и составляют 20 %.
Вариант А
Вариант В
Вариант В является более рискованным по сравнению с
вариантом А.
4.3. Оценка риска портфеля ценных бумаг
Для оценки риска портфеля ценных бумаг используют
коэффициенты ковариации, корреляции, стандартное отклонение доходности портфеля.
Математически ковариация (англ. Covariance) представляет собой меру линейной зависимости двух случайных величин. В портфельной теории этот показатель используется
для определения зависимости между доходностью определенной ценной бумаги и доходностью портфеля ценных бумаг. Чтобы
воспользоваться следующей формулой:
118
рассчитать ковариацию доходности необходимо
где ki — доходность ценной бумаги в i-ом периоде;
— ожидаемая (средняя) доходность ценной бумаги;
p
— доходность портфеля в i-ом периоде;
i
— ожидаемая (средняя) доходность портфеля;
n — количество наблюдений.
Следует отметить, что в знаменатель формулы подставляется (n-1), если ковариация рассчитывается на основании
выборки из генеральной совокупности наблюдений. Если в
расчетах учитывается вся генеральная совокупность, то в
знаменатель подставляется n.
Пример. В таблице представлена динамика доходность
акций Компании А и Компании Б,
а также динамика доход-
ности портфеля ценных бумаг.
12345678910
Доходность
акций компании А, %
Доходность
акций компании Б, %
Доходность
акций портфеля, %
5,93 5,85 5,21
4,25 4,47 4,68
2,27 2,39 3,47
5,37 4,99 4,87 4,7 4,75 4,33 3,86
4,71 4,77 5,25 5,45 5,33 5,55 5,85
3,21 2,95 2,97 3,32 3,65 3,97 3,81
Чтобы воспользоваться вышеприведенной формулой
для расчета ковариации доходности каждой из акций с
портфелем необходимо рассчитать среднюю доходность,
которая составит:
— для акций Компании А 4,986 %;
— для акций Компании Б 5,031 %;
— для портфеля 3,201 %.
119
Таким образом, ковариация акций Компании А с порт-
фелем составит -0,313, а акций Компании Б 0,242.
Cov (k
, kp) = ((5,93-4,986)(2,27-3,201) + (5,85-4,986)
A
(2,39-3,201) + (5,21-4,986)(3,47-3,201) + (5,37-4,986)(3,213,201) + (4,99-4,986)(2,95-3,201) + (4,87-4,986)(2,97-3,201)
+ (4,70-4,986)(3,32-3,201) + (4,75-4,986)(3,65-3,201) + (4,334,986)(3,97-3,201) + (3,86-4,986)(3,81-3,201))/(10-1) = -0,313
Cov (k
, kp) = ((4,25-5,031)(2,27-3,201) + (4,47-5,031)
Б
(2,39-3,201) + (4,68-5,031)(3,47-3,201) + (4,71-5,031)(3,213,201) + (4,77-5,031)(2,95-3,201) + (5,25-5,031)(2,97-3,201)
+ (5,45-5,031)(3,32-3,201) + (5,33-5,031)(3,65-3,201) + (5,555,031)(3,97-3,201) + (5,85-5,031)(3,81-3,201))/(10-1) = 0,242
Значение коэффициента ковариации может быть как
отрицательным, так и положительным. Его отрицательное
значение говорит о том, что доходность ценной бумаги и
доходность портфеля демонстрируют разнонаправленное
движение. Другими словами, если доходность ценной бумаги будет расти, то доходность портфеля будет падать, и
наоборот. Положительное значение свидетельствует о том,
что доходность
ценной бумаги и портфеля изменяются в од-
ном направлении.
Низкое значение (близкое к 0) коэффициента ковариации наблюдается в том случае, когда колебания доходности
ценной бумаги и доходности портфеля носят случайный характер.
В статистике коэффициент корреляции ( англ. Correlation
Coeffi cient) используется для проверки гипотезы о суще-
ствовании зависимости между двумя случайными величи
-
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]