Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Физика полупроводниковых систем. Основные понятия
.pdf
Перенос электронов и дырок. Термоэлектричество. Сверхпроводимость 171
# Электрический ток в невырожденном изотропном немагнитном полупроводнике в отсутствие внешнего магнитного поля
а)
E = −
dϕ
dx
Электрон с зарядом −e < 0
v
n
Jnf= −envn= enµnE = σnE
б)
Электро-
статический
Концентрации
электронов n(x)
потенциал
и дырок p(x)
ϕ(x)
Координата x
dn
;
dx
p(x)
Координата x
n(x)
dp
dx
Дырка с зарядом +e > 0
Jpf= epvp= epµpE = σpE
Электрон e
Jnd= eDndn/dx
Дырка h
Jpd= −eDpdp/dx
−
+
v
p
Стационарный ток в изотермических условиях: дрейфовая (а)
и диффузионная (б) компоненты плотности тока; индексы “f” и
“d”. “Движущие силы” (слева) и потоки (справа) в кристалле с
концентрациями n и p электронов c-зоны и дырок (электронных
вакансий v-зоны), дрейфовыми скоростями vnи vp, дрейфовыми
подвижностями µnи µp, коэффициентами диффузии Dnи Dp. Полная плотность тока электронов Jn= Jnf+Jndи дырок Jp= Jpf+Jpd.
В термодинамическом равновесии Jp+ Jn= 0 и выполняется соотношение Dn/µn= Dp/µp= kBT/e, где kBT — тепловая энергия.
В переменном во времени электрическом поле плотность тока
J = Jn+ Jp+ ε ∂E/∂t,
где ε = εrε0— диэлектрическая проницаемость кристаллической
решетки, t — время, E — напряженность электрического поля.
Уравнения непрерывности (для электронов и дырок):
∂n
= Gn− Rn+
∂t
1e∂J
∂x
∂p
n
;
= Gp− Rp−
∂t
∂J
1
p
,
e
∂x
где Gn, Gp; Rn, Rp— темпы генерации и рекомбинации. Если рекомбинация электронов c-зоны с дырками v-зоны происходит в
соотношении 1 : 1 (т. е. в отсутствие их захвата ловушками, например точечными атомными дефектами решетки), то Rn= Rp.
172 Глава 10
# Типичные температурные зависимости удельного электрического сопротивления полупроводниковых и металлических
кристаллических материалов с неподвижными атомами примеси (точечными дефектами структуры)
а)
б)
ln ρ
1
2
Рассеяние электронов (или дырок) фононами
при полной ионизации точечных дефектов
Переходы электронов из v-зоны в c-зону; энергия
термической активации равна половине ширины
запрещенной зоны (энергетической щели)
ρ
3
4
1
0
T
K
Прыжки электронов (или дырок)
между примесями
Переходы электронов с уровней энергии
доноров в c-зону (или дырок с уровней
энергии акцепторов в v-зону)
Обратная абсолютная температура 1/T
Увеличение частоты столкновений электронов c-зоны
с фононами при нагревании
металла
2
T
s
Абсолютная температура T
а) Изменение удельного электрического сопротивления ρ (в ло-
гарифмическом масштабе) слабо легированного и слабо компенсированного ковалентного полупроводникового кристалла с водородоподобными примесями (кривая 1) и без них (2) при нагревании;
предполагается, что и уровни энергии примесей, и местоположения
примесей в решетке от температуры T не зависят.
б) Изменение электросопротивления нормального (1) и сверх-
проводящего (2) металлов при охлаждении; Ts— температура перехода в сверхпроводящее состояние. В легированном магнитными
примесями нормальном металле (3) при температуре Кондо TKдостигается минимум ρ(T); кривая 4 отражает “замораживание” локализованных магнитных моментов в какой-то одной ориентации.
Перенос электронов и дырок. Термоэлектричество. Сверхпроводимость 173
PSfrag replacements
# Схема измерения классического эффекта Холла
Если в тонкой пластине однородного полупроводника между
контактами (электродами) 1 и 2 возбужден постоянный электрический ток силой I12= Ix, то между контактами 3 и 4 существует
разность электрических потенциалов U34= U56. В этом случае отношение U34/I12= Rxx= ρxxLx/LyLz, где ρxx— удельное сопротивление образца. В отсутствие внешнего магнитного поля напряжение U35= U46= 0. Если приложить к образцу внешнее магнитное
поле с индукцией B = Bz, перпендикулярной плотности тока J12=
= I12/LyLz= Jx, то возникает холловская разность электрических
потенциалов UH= U35= U46; величина напряженности холловского поля EH= UH/Ly. Холловское сопротивление есть Ryx= UH/Ix,
где UH= U35= Uy— разность электрических потенциалов между холловскими контактами 3 и 5, причем U34= U56и U35= U46.
Эффект Холла относится к изотермическим гальваномагнитным
эффектам (в измеряемом образце
отсутствует градиент температуры). На рисунке показана схема
расположения электродов к плоскому образцу. Электрический ток
I12плотностью Jx= I12/LyLzвоз-
(n)
E
H
4
3
L
L
z
L
y
x
JnJ
B
2
(p)
E
H
p
6
5
z
буждается между контактами 1
и 2 (вдоль оси x). Производится
измерение холловской разности
1
y
x
электрических потенциалов UH= U35= U46, возникающей между
парами холловских контактов 3–5 и 4–6 под действием индукции
внешнего магнитного поля B на поток носителей заряда (электронов c-зоны и дырок v-зоны). Вектор индукции внешнего магнитного поля B направлен вдоль оси z, перпендикулярно плоскости
образца и векторам плотности тока электронов Jnи плотности
тока дырок Jp, направленных от контакта 2 к контакту 1 (электроны дрейфуют от контакта 1 к контакту 2, а дырки наоборот).
Так как вектор напряженности холловского электрического поля
EH= E
(n)
H
+ E
(p)
направлен вдоль оси y, то холловская разность
H
потенциалов UH= Uy= EHLy. Если основными носителями заряда
(тока) в образце являются дырки v-зоны, то на электродах 3 и
4 под действием силы Лоренца накапливаются дырки, а на электродах 5 и 6 остается нескомпенсированный этими дырками заряд
отрицательно заряженных водородоподобных акцепторов.
174 Глава 10
# Напряжение и ток Холла
а)
б)
B
Кристаллический полупроводник
I
x
Омический контакт
(токовый электрод)
B
δ
I
x
A
L
x
Холловский контакт
V
U
y
L
x
I
x1
I
y
I
x2
L
I
x
y
L
y
x
z
B k z
а) Напряжение Холла Uy= UHизмеряется вольтметром V в
длинном прямоугольном образце (Lx Ly) с разностью электрических потенциалов Uxмежду токовыми электродами. Произведение холловской подвижности носителей заряда µHна магнитную
индукцию B (вектор B направлен вдоль оси z) определяется так:
y
|Uy|
L
µHB =
x
y
.
|Ux|
L
Холловская подвижность µH= rHµ, где rH— холл-фактор, µ —
дрейфовая подвижность носителей заряда. В сильных магнитных
полях (µB 1) и для вырожденных полупроводников rH= 1. Для
полупроводника n-типа |Uy| = |RH|JxLyB, где |RH| = rH/en — постоянная Холла, e — элементарный заряд, n — концентрация электронов проводимости, Jx= enµEx= enµUx/Lx— плотность тока.
б) Ток Холла Iyизмеряется амперметром A в разрыве токового
электрода (δ Lx) в коротком образце (Lx Ly) с дрейфовым
электрическим током Ix= Ix1+ Ix2. Величина µHB определяется из
соотношения:
2L
I
y
µHB =
y
.
L
I
x
x
Перенос электронов и дырок. Термоэлектричество. Сверхпроводимость 175
k
z
# Делокализованные электроны кристаллического полупроводника n-типа в квантующем магнитном поле (циклотронная
энергия больше тепловой энергии)
а)
E
E
√
3ћω
2ћω
ћω
3ћω
2ћω
ћω
c
c
c
00
c
c
c
k
z
g3∝
E
а) Параболы Ландау (уровни одноэлектронной энергии E(kz)
без учета спинового расщепления) и соответствующая плотность
состояний g(E) для движения электрона c-зоны трехмерного кристалла вдоль вектора индукции B внешнего магнитного поля. Вектор B направлен вдоль оси z декартовой системы координат, kz—
проекция волнового вектора на направление индукции магнитного
поля, ћωc— циклотронная энергия, ωc— циклотронная частота.
б)
3ћω
2ћω
ћω
3ћω
2ћω
c
c
c
c
Уровни
Ландау
c
(kz= 0)
ћω
c
3ћω
2ћω
ћω
EEE
c
c
c
g
E
µt
E
µb
0
Плотность состояний
в идеальном 2D-газе
g
00
Плотность состояний
с учетом беспорядка
g
б) Уровни энергии и плотность состояний для электрона, движение которого ограничено в плоскости, перпендикулярной направлению вектора индукции B. Плотность состояний двумерного
электронного газа показана для случаев отсутствия и присутствия
беспорядка. Заштрихованные области обозначают локализованные
состояния, которые отделены от делокализованных состояний границами подвижности (штриховые линии Eµbи Eµt).
176 Глава 10
# Схема измерения квантового эффекта Холла
а)
б)
в)
p-Si
Исток
Исток
p+-Si
Металл
(затвор)
Холловские электроды
Канал
Потенциальные электроды
U
g
Затвор
SiO
2
+
n
L
y
SiO
2
E
2
E
1
Сток
+
n
Затвор
U
d
Сток
z
x
n
+
p-Si
2D-электронный газ
в индуцированном канале
c-зона
p-Si
v-зона
B
z
B
z
y
E
F
Энергия электрона
Координата z
а) Холловский образец (по К. фон Клитцингу; 1980 г.) на основе
полевого транзистора с изолированным затвором (металл–диэлектрик–полупроводник) в плоскости xy. б) Поперечное сечение образца (плоскость yz) вдоль приповерхностного индуцированного
канала (n-типа проводимости). в) Изменение электронной энергии
вдоль оси z, когда напряжение, приложенное к затвору полевого
транзистора, формирует инверсионный слой в p-Si под слоем диоксида кремния; E1, E2— квантовые уровни движения электронов
поперек индуцированного канала; Bz— величина вектора индукции внешнего магнитного поля, направленного вдоль оси z.
Перенос электронов и дырок. Термоэлектричество. Сверхпроводимость 177
# Схематическое изображение холловской квантовой электронной капли (заштрихованные области в плоскости xy), направ-
ления движения двумерных электронов (кривые со стрелками)
и плотности состояний для трех положений уровня Ферми E
относительно краев подвижности Eµbи Eµt, разделяющих локализованные и делокализованные состояния электронов с энергией E.
F
а)
Токовый
электрод
б)
в)
Холловский образец
−
e
Холловские электроды
−
e
−
e
Плотность состояний
g
B
z
E
F
E
µb
E
µt
y
x
0
g
B
z
0
ћωc/2
E
F
E
µb
E
ћωc/2
E
µt
E
g
B
z
E
F
E
0
µb
E
µt
ћωc/2
E
а) Уровень Ферми EFнаходится в области локализованных состо-
яний (заштрихованные области на зависимости одноэлектронной
плотности состояний g от энергии E электрона) ниже границы подвижности Eµb. б) EFв области делокализованных электронных
состояний. в) EFв области локализованных состояний выше границы Eµtподвижности; ћωc— циклотронная энергия электрона.
178 Глава 10
# Диффузионно-дрейфовая модель однородно легированных
кристаллических полупроводников электричества
Математические модели полупроводников разработаны с разной степенью детализации. Наиболее развитой является диффузионно-дрейфовая (или гидродинамическая) модель, которая включает в себя уравнения непрерывности для подвижных носителей
заряда (электронов и дырок) и уравнение Пуассона, связывающее
электрический потенциал с плотностью нескомпенсированного заряда. Электрический ток есть сумма двух составляющих: дрейфовой, описывающей миграцию носителей заряда под действием
электрического поля (коэффициентом пропорциональности между
дрейфовой скоростью и напряженностью поля является подвижность), и диффузионной, описывающей миграцию электронов и
дырок вследствие градиентов их концентраций (коэффициентом
пропорциональности между диффузионной скоростью и градиентом концентрации служит коэффициент диффузии). Система уравнений этой модели в декартовых координатах (x, y, z) имеет вид:
∂n
+ div(nvn− Dn∇n) = G − R;
∂t
div(ε∇ϕ) = −e(p − n + N
d,+1
− N
∂p
+ div(pvp− Dp∇p) = G − R,
∂t
); E = −∇ϕ,
a,−1
vn= −µnE; vp= µpE; Jn= −e(nvn− Dn∇n); Jp= e(pvp− Dp∇p),
где n и p — концентрации электронов и дырок, t — время, vnи
vp— дрейфовые скорости электронов и дырок, µnи µp— дрей-
фовые подвижности, Dnи Dp— коэффициенты диффузии, G и
R — скорости генерации и рекомбинации электронно-дырочных
пар, e — элементарный заряд, ε — диэлектрическая проницаемость кристаллической матрицы, N
атомов, которые отдали электроны в c-зону, N
— концентрация донорных
d,+1
— концентрация
a,−1
акцепторных атомов, которые приняли электроны из v-зоны и “поставили” дырки в v-зону, E — напряженность внешнего электрического поля, Jnи Jp— плотности токов. В общем случае N
d,+1
, N
a,−1
и ε зависят от x, y, z, а величины µ, D, G и R — от концентраций
носителей заряда и примесей, электрического поля, температуры.
По мере уменьшения размеров полупроводниковых образцов
становятся все менее справедливыми предположения, лежащие
в основе диффузионно-дрейфовой модели, т. е. предположения о
том, что все параметры являются функциями мгновенных значений локального электрического поля напряженностью E(x, y, z, t).
Перенос электронов и дырок. Термоэлектричество. Сверхпроводимость 179
# Фильтрационно-полупроводниковая аналогия
Принцип электрогидродинамической аналогии основан на
том, что идеализированная модель фильтрации жидкости в пористой среде описывается теми же уравнениями (например, Лапласа,
Фурье), что и течение носителей заряда (электронов и/или дырок)
в полупроводниковых материалах.
Нелинейность. Аналогом закона Дарси (в фильтрации) является закон Ома (в электричестве). Для проводников он выполняется
в широких пределах изменения плотности тока. Для полупроводников, как правило, имеют место отступления от этого закона.
Температурный эффект. При увеличении температуры вязкость нефти, а значит и фильтрационное сопротивление пористой
среды уменьшается. Электрическое сопротивление полупроводника также падает с увеличением температуры. Нагревание металла
обычно ведет к увеличению электрического сопротивления.
Взаимодействие. На электросопротивление полупроводников
влияет много факторов. Так, введение ничтожного количества специальных примесей его уменьшает. То же самое наблюдается и в
фильтрации. Присадки для уменьшения трения фильтрующихся
жидкостей в нефтяном пласте, а также воздействие на пласт инфразвуком, уменьшают фильтрационное сопротивление пласта.
Тензорезистивный эффект. Фильтрационное сопротивление,
так же как и электрическое сопротивление полупроводника, изменяется в результате действия нагрузки, создающей деформацию. Тензочувствительность кристаллических полупроводников в
десятки раз превышает тензочувствительность металлов.
Термодиффузия. И в пористой среде, и в полупроводнике градиент температуры приводит к градиенту концентрации подвижных элементов, вследствие чего возникает их диффузионный поток. Протекание жидкости через пористую среду и носителей заряда через полупроводник с градиентом температуры вызывает их
охлаждение или дополнительное выделение тепла.
Барьерный эффект. Фильтрационное сопротивление, когда одна жидкость вытесняет другую, в прямом и обратном направлениях неодинаково. Ток через полупроводниковый диод с p–n-переходом зависит от полярности приложенного к нему напряжения.
Итак, явления протекания зарядов в полупроводнике и протекания жидкости в пористой среде качественно подобны. Роль кристаллической решетки (матрицы) играет пористый скелет среды, а
роль подвижных электронов и дырок — частицы жидкости.
180 Глава 10
# Распространение и локализация электрона и электромагнитной волны в конденсированной системе с одномерным профи-
лем потенциальной энергии U (x) и показателя преломления˜n(x)
U(x) /˜n(x) Электрон Электромагнитная волна
Яма конечной
ширины и глубины
Барьер конечной ширины и
высоты
Решетка из N
одинаковых
барьеров/ям
Периодические
по x функции
U(x) и˜n(x)
а) б) в)
ω = c
Отражение/прохождение
над ямой. Локализация
Отражение/прохождение
над барьером. Туннелирование под барьером
N-кратное расщепление
стационарных уровней
энергии в сверхрешетке
Чередование зон разрешенных и запрещенных
значений энергии
ω ωω
Полоса
пропускания
κ
h˜ni
κ
0 00
Полоса
пропускания
Отражение/прохождение
над ямой (моды Фабри –
Перо в зазоре между
двумя диэлектриками)
Отражение/прохождение
над барьером (моды
Фабри – Перо пластины)
N-кратное расщепление
полос пропускания в
связанных резонаторах
Чередование частотных
полос пропускания и
отражения
Полоса
отражения
κ κ
Полоса
отражения
−π/Lπ/L π/L2π/L
Зависимость угловой частоты ω от волнового числа κ для элек-
тромагнитных волн в однородной (рис. а) и в одномерно-периодической системах (рис. б) с периодом L изменения показателя
преломления˜n(x) =˜n(x + L). Рис. в получен из рис. б перемещением двух верхних ветвей ω(κ) вдоль оси κ влево и вправо на
величины, кратные 2π/L. Если частота падающей извне на перио-
дическую систему волны, находится в полосе непропускания (запрещенной зоне), волна полностью отражается от системы. Для
κ π/L дисперсионная кривая не отличается от кривой для кон-
тинуума (рис. а). Скорость распространения волны dω/dκ → 0 при
κ → ±π/L. В точках ±π/L имеем две стоячие волны: электромаг-
нитная энергия сосредоточена в подрешетке с высоким значением
показателя преломления˜n и в подрешетке с низким значением˜n.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]